《高等数学：3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：3-4 函数的单调性与曲线的凹凸性（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.4 函数的单调性与曲线的凹凸性2一、函数的单调区间一、函数的单调区间3定理定理单调区间的特征单调区间的特征4证证应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得5定理定理特殊情性特殊情性： 6例例1 1解解因为因为 7二、函数的极值二、函数的极值8定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极使函数取得极值的点称为值的点称为极值点极值点.9注注：极值是局部性的概念：极值是局部性的概念, ,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大. . 10定理定理1 1( (极值的极值的必要必要条件条件) )由由费马引理费马引理可知，可知，所以对可导函数来讲所以对可导函数来
2、讲, ,极值点必为极值点必为驻点驻点。 （1 1）极值点的特征）极值点的特征11例例2 2解解x yO12此外此外, , 不可导点不可导点也可能是极值点也可能是极值点, , x yO函数的不可导点也不一定是极值点。函数的不可导点也不一定是极值点。 13可能的极值点：可能的极值点：(1) 驻点；驻点； (2) 不可导点不可导点. .问题：不可导点怎么找？问题：不可导点怎么找？初等函数的不可导点必是其导函数没有定义的点。初等函数的不可导点必是其导函数没有定义的点。14定理定理1 (1 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件) )15单调区间和极值点的求法单调区间和极值点的求法求单调区间关键在于找出
3、单增区间与单减区间的求单调区间关键在于找出单增区间与单减区间的分界点。如何找单调区间的分界点呢？分界点。如何找单调区间的分界点呢？单调区间的分界点要么是极值点，要么是函数单调区间的分界点要么是极值点，要么是函数无定义的点无定义的点(但邻域内有定义但邻域内有定义).16例例3 3解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值17例例4 4解解18例例4 4非非极极值值极极大大值值极极小小值值19定理定理4.8(4.8(极值的第二充分判别法极值的第二充分判别法) )说明：说明：( (1) 1) 此此法法只只适适用用于于驻驻点点,不不能能用用于于判判断断不不可可导导点点; ;20例例5 5解解利用单调
4、性证明不等式利用单调性证明不等式例例6 6证证例例6 624例例7 7解解三三 曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?凹凹凸凸定义定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的;(2) 若恒有则称连续曲线上凹凸性改变的点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：凹凹凸凸曲线凹曲线凹 导函数递增？导函数递增？定理定理导函数递增导函数递增 曲线凹曲线凹 ？定理定理定理定理定义定义 . 设函数在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有则称图形是凹凹的;(2) 若恒有则称
5、连续曲线上凹凸性改变的点称为拐点拐点 .图形是凸凸的 .因此拐点就是凹凸的分界点因此拐点就是凹凸的分界点.单调区间的分界点：极值点和函数无定义的点单调区间的分界点：极值点和函数无定义的点. .(1) 导数等于零的点；导数等于零的点； (2) 不可导点不可导点. .可能的拐点可能的拐点(1) 二阶导数等于零的点；二阶导数等于零的点；(2) 二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点. .的自变量满足：的自变量满足：定理定理4(4(拐点判别定理拐点判别定理) )上下凹区间和拐点的求法：上下凹区间和拐点的求法：1.1.求出定义域内二阶导数为零的点或二阶不可导点求出定义域内二阶导数为零的点或二阶不可导点; ;4.4.若它两侧的二阶导数值异号若它两侧的二阶导数值异号, ,则为拐点；若同号则为拐点；若同号则不是拐点则不是拐点. .注意：注意：拐点要写出纵坐标。拐点要写出纵坐标。2.2.以这些点为分界点把定义域分成子区间；以这些点为分界点把定义域分成子区间；3.3.判断各子区间内二阶导数的符号；判断各子区间内二阶导数的符号；例例8 8解解凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点3: (1)(6)5: (3)9: (4)10: (3)12作业作业：P152
