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1、9.3圆的方程数学数学 苏苏（理）（理）第九章平面解析几何基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.圆的定义在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是 和 .3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中 为圆心， 为半径.定点定长集合圆心半径(a，b)r4.圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为 ，半径r .D2E24F05.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b
2、，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：；(2)点在圆外：；(3)点在圆内：.(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)20.()(4)方程x22axy20一定表示圆.()题号答案解析1234(2，3)1a0)，思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想与方法系列思想与方法系列16 利用几何性质巧设方程求半径利用
3、几何性质巧设方程求半径故圆的方程是x2y26x2y10.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想与方法系列思想与方法系列16 利用几何性质巧设方程求半径利用几何性质巧设方程求半径(几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，巧妙解法思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想与方法系列思想与方法系列16 利用几何性质巧设方程求半径利用几何性质巧设方程求半径所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.思 维 点
4、拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想与方法系列思想与方法系列16 利用几何性质巧设方程求半径利用几何性质巧设方程求半径(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒典例：在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想与方法系列思想与方法系列16 利用几何性质巧设方程求半径利用几何性质巧设方程求半径巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平
5、分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算.显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.失 误 与 防 范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.1.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点
6、与圆的位置关系是_.23456789101解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a0，原点在圆外2.点P(2，1)为圆(x1)2y225内弦AB的中点，则AB的方程为_.34567891102解析由题意可知圆心Q(1,0)，故kPQ1.kAB1，AB的方程为y11(x2).即xy30.xy303.已知点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是_.24567891103解析圆的标准方程为(x1)2y21.直线AB的方程为xy20，245678911034.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.23567
7、891104解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，(x2)2(y1)2123467891105解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，234678911056.(2013江西)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.23457891106解析如图，设圆心坐标为(2，y0)，7.若方程x2y22x2my2m26m90表示圆，则m的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_.23456891107解析原方程可化为(x1)2(ym)2m26m8，r2m26m8(m2)(m4)0，2m4.当m3时，r最大为1，圆的方程为(x1)2(y
8、3)21.2m0，即a5.又圆关于直线y2xb成轴对称，22b，b4.aba40)，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.(x2)2(y1)24234513.设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_.解析 依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，23451而四边形PACB的面积等于23451解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求.2345123451(1)求圆心P的轨迹方程；解设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.23451y0x01，即y0x01.圆P的方程为x2(y1)23.23451圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.23451
