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1、第第3节节 三重积分的计算三重积分的计算 (化三重积分为累次积分化三重积分为累次积分)1.在直角坐标系中计算三重积分在直角坐标系中计算三重积分2.柱面和球面坐标下三重积分的计算柱面和球面坐标下三重积分的计算2013年5月1南京航空航天大学 理学院 数学系(1) 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面柱面坐标柱面坐标2013年5月2南京航空航天大学 理学院 数学系利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体
2、积元素为因此因此如图所示如图所示,2013年5月3南京航空航天大学 理学院 数学系解解知交线为知交线为由由 2013年5月4南京航空航天大学 理学院 数学系注：此题也可以用截面法，但是要分成两个部分来做注：此题也可以用截面法，但是要分成两个部分来做.2013年5月5南京航空航天大学 理学院 数学系解法解法1所围成的立体如图，所围成的立体如图， 2013年5月6南京航空航天大学 理学院 数学系所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2013年5月7南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月8南京航空航天大学 理学院 数学系解法解法2（截面法）：（截面法）： 注：合理选择不同的积
3、分方法，可降低计算量注：合理选择不同的积分方法，可降低计算量.2013年5月9南京航空航天大学 理学院 数学系解法解法3：适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.2013年5月10南京航空航天大学 理学院 数学系(2) (2) 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分球面坐标球面坐标yoxzM(x,y,z)r就称为点就称为点M 的的球面坐标球面坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系2013年5月11南京航空航天大学 理学院 数学系球坐标
4、面分别为球坐标面分别为球面球面xyzOR半平面半平面锥面锥面2013年5月12南京航空航天大学 理学院 数学系利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分2013年5月13南京航空航天大学 理学院 数学系ABCDEyoxZ2013年5月14南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月15南京航空航天大学 理学院 数学系oyzx2013年5月16南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月17南京航空航天大学 理学院 数学系例例4. 计算三重积分计算三重积分解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面2013年5月18南京航空航天大学 理学院 数学系例例5
5、. 求曲面求曲面所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,利用对称性利用对称性, 所求立体体积为所求立体体积为yoz面对称面对称, 并与并与xoy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xoz 2013年5月19南京航空航天大学 理学院 数学系适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.2013年5月20南京航空航天大学 理学院 数学系内容小结内容小结积分区域积分区域多
6、由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为变量可分离变量可分离.围成围成 ;2013年5月21南京航空航天大学 理学院 数学系三重积分的换元公式三重积分的换元公式2013年5月22南京航空航天大学 理学院 数学系作球坐标变换作球坐标变换2013年5月23南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月24南京航空航天大学 理学院 数学系解法
7、二解法二2013年5月25南京航空航天大学 理学院 数学系xyzoEX1解解2013年5月26南京航空航天大学 理学院 数学系解解2013年5月27南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月28南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题2013年5月29南京航空航天大学 理学院 数学系练练 习习 题题2013年5月30南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月31南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月32南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月33南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案2013年5月34南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月35南京航空航天大学 理学院 数学系2013年5月36南京航空航天大学 理学院 数学系
