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1、第三章第三章: 常见曲面常见曲面 定义定义1 1：设空间曲面设空间曲面S及三元方程及三元方程 F(x, y, z)=0. 如如果果 S 上任一点上任一点 M(x, y, z). 其坐标其坐标 x, y, z 都满足都满足 F(x, y, z)=0. 反之，反之，F(x, y, z)=0的任一解的任一解(x, y, z)对应的空间点对应的空间点(x, y, z)也在也在S上上. 则称则称F(x, y, z)=0为为 曲面曲面S的方程的方程. 而而曲面曲面S 则称为则称为方程方程F(x, y, z)=0的图形的图形.空间中曲面的一般方程空间中曲面的一般方程 空间直线可以表示为两个平面的交一样，空间
2、两空间直线可以表示为两个平面的交一样，空间两个曲面一般地相交于一条曲线个曲面一般地相交于一条曲线, 所以我们称方程所以我们称方程组组为为空间中曲线的一般方程空间中曲线的一般方程空间中曲线的一般方程空间中曲线的一般方程 那族平行直线中的那族平行直线中的那族平行直线中的那族平行直线中的 每一条直线，都叫做柱面的每一条直线，都叫做柱面的每一条直线，都叫做柱面的每一条直线，都叫做柱面的直母线直母线直母线直母线. . . .一、柱面的概念一、柱面的概念定义定义定义定义4.1.14.1.14.1.14.1.1 在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一在空间，
3、由平行于定方向且与一条定曲线相交的一在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所生成的曲面叫做族平行直线所生成的曲面叫做族平行直线所生成的曲面叫做族平行直线所生成的曲面叫做柱面（柱面（柱面（柱面（cylindercylinder）， 定方向叫做柱面定方向叫做柱面定方向叫做柱面定方向叫做柱面的的的的方向方向方向方向， 定曲线叫做柱面的定曲线叫做柱面的定曲线叫做柱面的定曲线叫做柱面的准线（准线（准线（准线（directrixdirectrix），母线母线母线母线准线准线准线准线一、柱面的概念一、柱面的概念准线准线准线准线母线母线母线母线说明：说明：说明：说明：柱面的柱面的柱面的柱面的准
4、线不是惟一准线不是惟一准线不是惟一准线不是惟一的，每一条与柱面的母线都相交的，每一条与柱面的母线都相交的，每一条与柱面的母线都相交的，每一条与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线的曲线都可以作为柱面的准线的曲线都可以作为柱面的准线的曲线都可以作为柱面的准线. . . .一、柱面的概念一、柱面的概念xzy0准线准线准线准线母线母线母线母线准线准线准线准线注注注注: :一般柱面的准线不惟一一般柱面的准线不惟一一般柱面的准线不惟一一般柱面的准线不惟一, ,可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线可用一张不平行于母线的平面与柱面相交
5、得到的交线为准线可用一张不平行于母线的平面与柱面相交得到的交线为准线. .二、柱面的方程二、柱面的方程1 1 1 1 柱面的一般方程柱面的一般方程柱面的一般方程柱面的一般方程 准线方程准线方程准线方程准线方程 母线母线母线母线l l 的方向向量：的方向向量：的方向向量：的方向向量：普通方法普通方法设设设设MM1 1( (x x1 1, , y y1 1, , z z1 1) )为准线上任意一点为准线上任意一点为准线上任意一点为准线上任意一点, ,写出写出母线族方程母线族方程母线族方程母线族方程:写出参数写出参数写出参数写出参数 x x1 1, , y y1 1, , z z1 1的的的的约束约
6、束约束约束条件条件条件条件: :消消消消去去参参参参数数 x1, y1, z1得一个三元方程得一个三元方程:二、柱面的方程二、柱面的方程1 1 1 1 柱面的一般方程柱面的一般方程柱面的一般方程柱面的一般方程 准线方程准线方程准线方程准线方程分析：分析：母线方程母线方程母线方程母线方程母线母线母线母线l l 的方向向量的方向向量的方向向量的方向向量例例例例1 1 1 1 柱面的准线方程为柱面的准线方程为柱面的准线方程为柱面的准线方程为 ，而母线的一个方向向量是，而母线的一个方向向量是，而母线的一个方向向量是，而母线的一个方向向量是 ， 求这柱面的方程求这柱面的方程求这柱面的方程求这柱面的方程.
7、 . . .解解解解: :设设设设MM1 1( (x x1 1, , y y1 1, , z z1 1) )为准线上任意一点为准线上任意一点为准线上任意一点为准线上任意一点, ,( (x x1 1, , y y1 1, , z z1 1为参数为参数为参数为参数) )且且且且为消参数为消参数为消参数为消参数x x1 1, , y y1 1, , z z1 1, ,可设可设可设可设则则则则代入代入代入代入(1)(1)式得式得式得式得消去参数消去参数消去参数消去参数 t t, ,并化简得所求柱面方程并化简得所求柱面方程并化简得所求柱面方程并化简得所求柱面方程: :即即即即约束方程约束方程约束方程约束
8、方程例例2：已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为 点点(1,-2,1)在此圆柱面的方程在此圆柱面的方程.轴轴分析分析普通方法普通方法:关键关键: 求圆柱面的准线求圆柱面的准线(圆圆)方程方程.圆柱面的轴圆柱面的轴:以以M0为球心为球心, M0M1为半径的球面为半径的球面球面球面球面球面: :平面平面平面平面: :过点过点M1为与轴垂直的平面为与轴垂直的平面圆柱面的准线方程圆柱面的准线方程:到定直线到定直线(轴线轴线)的距离等于定值的距离等于定值(半径半径)的点的轨迹的点的轨迹. -圆柱面圆柱面圆柱面圆柱面轴轴圆柱面圆柱面:设圆柱面的轴线为设圆柱面的轴线为其中其中:为轴线上的定点为轴线上的定点,为轴
9、线方向向量为轴线方向向量.是圆柱面上任意点是圆柱面上任意点已知轴线及半径已知轴线及半径已知轴线及柱面上一定点已知轴线及柱面上一定点M1解解:圆柱面的轴的方向向量圆柱面的轴的方向向量圆柱面的轴的方向向量圆柱面的轴的方向向量: :为轴上定点为轴上定点为轴上定点为轴上定点. .是圆柱面上任意点是圆柱面上任意点是圆柱面上任意点是圆柱面上任意点, , 且点且点且点且点 MM1 1(1,-2,1)(1,-2,1)在此圆柱面上在此圆柱面上在此圆柱面上在此圆柱面上, ,则点则点则点则点MM与点与点与点与点 MM1 1在到轴的距离相等在到轴的距离相等在到轴的距离相等在到轴的距离相等, ,即即即即: :所求圆柱面
10、的方程所求圆柱面的方程所求圆柱面的方程所求圆柱面的方程: :例例例例2 2 2 2 已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为 ，点，点，点，点 在此圆柱面上，在此圆柱面上，在此圆柱面上，在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程求这个圆柱面的方程求这个圆柱面的方程求这个圆柱面的方程. . . .abzxyo 椭圆椭圆柱面柱面（直角坐标系）（直角坐标系）（直角坐标系）（直角坐标系）方程的形式与方程的形式与方程的形式与方程的形式与柱面的图形特柱面的图形特柱面的图形特柱面的图形特征之间有联系征之间有联系征之间有联系征之间有联系吗？吗？吗？吗？3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面、直母线
11、平行于坐标轴的柱面性质性质性质性质3 3 3 3.1.1.1.1.1.1.1.1 3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面、直母线平行于坐标轴的柱面证证证证: :方程方程F(x, y) = 0 表示的曲面是表示的曲面是柱面柱面, ,且母线平行于且母线平行于z z轴轴. .取曲面与取曲面与xoy坐标面的交线坐标面的交线为准线为准线,z轴方向轴方向(0,0,1)为母线方向为母线方向建立柱面方程建立柱面方程建立柱面方程建立柱面方程.设设M1(x1, y1, 0)为准线上任意一点为准线上任意一点,则过点则过点M1的母线方程为的母线方程为:且有且有即即将将代入代入消去参数消去参数x1, y1得所求柱面方程得
12、所求柱面方程: F(x, y) = 0 与原方程与原方程一致一致.这样就证明了原方程表示的曲面是一个柱面这样就证明了原方程表示的曲面是一个柱面.性质性质性质性质3 3 3 3.1.1.1.1.1.1.1.1 3.1.2、直母线平行于坐标轴的柱面、直母线平行于坐标轴的柱面abzxyozxyO Ozxyo椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面叫做空间曲线叫做空间曲线L对对xoy面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空间曲线叫做空间曲线L对对xoz面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空间曲线叫做空间曲线L对对yoz面射影的射影柱面面
13、射影的射影柱面. .叫做空间曲线叫做空间曲线L在在xoy面上的射影曲线面上的射影曲线. .叫做空间曲线叫做空间曲线L在在xoz面上的射影曲线面上的射影曲线. .叫做空间曲线叫做空间曲线L在在yoz面上的射影曲线面上的射影曲线. .消去消去y 得得:例例: 求空间曲线求空间曲线L:消去消去z 得得:消去消去x 得得:对三个坐标面的射影柱对三个坐标面的射影柱面方程及射影曲线面方程及射影曲线.解解:即为曲线即为曲线对对xoy坐标面坐标面射影的射影的射影柱面射影柱面.即为曲线对即为曲线对yoz 坐标面射影的射影柱面坐标面射影的射影柱面.即为曲线对即为曲线对xoz坐标面射影的射影柱面坐标面射影的射影柱面.且且且且且且为曲线为曲线L在在yoz 坐标面射影的射影曲线坐标面射影的射影曲线.为曲线为曲线L在在xoy坐标面射影的坐标面射影的射影曲线射影曲线.为曲线为曲线L在在xoz坐标面射影的射影曲线坐标面射影的射影曲线.主要内容:1、建立柱面方程的一般方法及步骤;2、已知中心轴及(可求)半径的圆柱面方程的建立. 3、准线在坐标面上，母线平行于坐标轴的柱面的建立4、将空间曲线在某一平面上投影，会求所作的射影柱面方程和射影平面的曲线方程。
