文科数学第1节1函数

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1、文科数学第文科数学第1节1函数函数教材内容教材内容l数学的分支众多，根据现在数学界已经公认的资料，数学总体上可以理解为离散、连续和随机三个门类，通过逻辑互相关联。目前，结合工科专业本科教育教学的实际情况，按照高等学校工科数学课程教学大纲的要求，各类工科专业的学生都把数学课作为公共基础必修课，除了高等数学课（主要为连续的微积分学）外，根据专业的特点和需要，还选取了离散的线性代数和随机的概率与数理统计。2021/5/222l微积分学的主要内容微积分学的主要内容极限、微分、积分三大概念极限、微分、积分三大概念关关键键极限理论极限理论一元微积分的理论及应用一元微积分的理论及应用微分方程简介微分方程简介

2、研究对象：研究对象： 函数（关系）函数（关系） 研究方法：研究方法： 极限方法极限方法2021/5/223l线性代数的主要内容线性代数的主要内容行列式，矩阵，初等变换行列式，矩阵，初等变换关关键键行列式行列式矩阵矩阵线性方程组线性方程组研究对象：研究对象： 矩阵矩阵研究方法：研究方法： 初等变换初等变换2021/5/224l概率统计的主要内容概率统计的主要内容随机变量分布，统计规律性随机变量分布，统计规律性关关键键随机事件及其概率随机事件及其概率随机变量及其分布随机变量及其分布数理统计数理统计参数估计和假设检验参数估计和假设检验研究对象：研究对象： 随机变量随机变量2021/5/225教学目的

3、教学目的l通过本课程的学习，掌握微积分、线性代数、概率论与数通过本课程的学习，掌握微积分、线性代数、概率论与数理统计的基本知识、基本理论和基本运算技能；理统计的基本知识、基本理论和基本运算技能；l培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；l逐步增加学生自学能力与比较熟练的运算能力，同时强调逐步增加学生自学能力与比较熟练的运算能力，同时强调分析问题和解决问题的能力；分析问题和解决问题的能力；l为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。学基础。2021/5/226学习方法学习方法l适当预习，培养自学能力；适

4、当预习，培养自学能力；l重视听课，边听边记；重视听课，边听边记；l深入课后复习，及时做好作业；深入课后复习，及时做好作业；l做好阶段复习，提高综合能力。做好阶段复习，提高综合能力。2021/5/227成绩考核成绩考核l平时成绩：主要包括课堂表现、作业；平时成绩：主要包括课堂表现、作业；l期末考试成绩：闭卷；期末考试成绩：闭卷；l最终成绩最终成绩 = = 期末考试成绩期末考试成绩80% + 80% + 平时成绩平时成绩20%20%2021/5/228教材及参考资料教材及参考资料l教材：世纪数学教育信息化精品教材教材：世纪数学教育信息化精品教材 大学文科数学（第三版）大学文科数学（第三版） 吴赣昌

5、主编，中国人民大学出版社吴赣昌主编，中国人民大学出版社l参考书：参考书：吴赣昌编吴赣昌编高等数学高等数学中国人民大学出版社中国人民大学出版社 20062006吴赣昌编吴赣昌编线性代数线性代数（第三版）中国人民大学出版社（第三版）中国人民大学出版社 20092009吴赣昌编吴赣昌编概率论与数理统计概率论与数理统计（简明版）中国人民大学出（简明版）中国人民大学出版社版社 200720072021/5/229答疑安排答疑安排l时间：周一至周五时间：周一至周五 上午上午8:3011:008:3011:00 下午下午2:305:002:305:00l地点：地点：7JC1027JC1022021/5/22

6、10作业作业l准备两个作业本，每周交一次作业。准备两个作业本，每周交一次作业。l每班选出一位课代表，负责作业的收发等工作。每班选出一位课代表，负责作业的收发等工作。l交作业地点：交作业地点：7JC1027JC1022021/5/2211第一部分第一部分 微积分微积分Chap1 Chap1 函数、极限与连续函数、极限与连续Chap2 Chap2 导数与微分导数与微分Chap3 Chap3 导数的应用导数的应用Chap4 Chap4 不定积分不定积分Chap5 Chap5 定积分及其应用定积分及其应用Chap6 Chap6 微分方程简介微分方程简介2021/5/2212第一章第一章 函数、极限与连

7、续函数、极限与连续 微积分的基础和研究对象微积分的基础和研究对象2021/5/2213第一章函数、极限与连续第一章函数、极限与连续l本章研究的是微积分中最基本的内容：函数与极限。本章研究的是微积分中最基本的内容：函数与极限。l函数是现代数学的基本概念之一，是微积分研究的对象。函数是现代数学的基本概念之一，是微积分研究的对象。l极限是微积分最重要的基本概念，极限理论是微积分的支极限是微积分最重要的基本概念，极限理论是微积分的支柱，微积分中几乎所有的概念都离不开极限。柱，微积分中几乎所有的概念都离不开极限。l极限方法是微积分的基本分析方法。极限方法是微积分的基本分析方法。l故，运用好极限方法是学好

8、微积分的关键。故，运用好极限方法是学好微积分的关键。l本章，我们将首先讨论函数的概念及性质，然后给出极限本章，我们将首先讨论函数的概念及性质，然后给出极限的概念、性质及基本理论，求极限的方法，最后用极限定的概念、性质及基本理论，求极限的方法，最后用极限定义函数连续的概念。义函数连续的概念。 2021/5/2214二、邻域二、邻域四、函数特性四、函数特性一、实数与区间一、实数与区间第一节第一节函数函数五、数学建模五、数学建模-函函数关系的建立数关系的建立三、函数的概念三、函数的概念六、反函数六、反函数七、基本初等函数七、基本初等函数八、复合函数八、复合函数九、初等函数九、初等函数2021/5/2

9、215对加法、乘法、减法封闭有理点在数轴上稠密分布，不具有连续性将所学过的数归纳如下：将所学过的数归纳如下：一、实数具有连续性对加法、乘法封闭，对减法不封闭 微积分研究的是连续变化的事物在数量方面的关系，今后所指的数是实数.2021/5/2216区区 间间区间区间(interval)是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.2021/5/2217有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称

10、为区间的长度.称为半闭半开区间称为半闭半开区间,称为半开半闭区间称为半开半闭区间,2021/5/2218二、邻域二、邻域(neighborhood): :点点 的去心的去心 邻域邻域2021/5/2219把开区间把开区间称为称为a 的左的左邻域，邻域，把开区间把开区间称为称为a 的右的右邻域，邻域，2021/5/2220三、函数的概念三、函数的概念 常量：保持不变的量. 如常数 1、2、50、 e 、 变量：可以取不同值的量. ln(1+ x)中的 x ,ln(1+ x)如 sinx 中的 x, sinx变量并不是孤立变化的，而是变量并不是孤立变化的，而是相互联系并遵循一定的规律，相互联系并遵

11、循一定的规律，函数就是描述这种联系的一个函数就是描述这种联系的一个法则。法则。2021/5/2221函数的定义函数的定义定义（传统定义） 如果在变化过程中有两个变量x、y,在 x某个变化范围 D 内的每一确定的值,按照某个对应法则 f , y 都有唯一确定的值与它对应,那么 y 就是 x 的函数.记作y = f (x)，称 x 为自变量, D 是 f 的定义域,全体函数值的集合称作函数的值域.2021/5/2222 函数的定义表函数的定义表明了函数的结构明了函数的结构. 函数是由定义域、函数是由定义域、 对应法则、值域组成对应法则、值域组成的的. 函数的模型如同一部机函数的模型如同一部机器，把

12、器，把X中任一原材料中任一原材料x输入输入f (x),就可产出实数就可产出实数y = f (x).2021/5/2223定义域自变量因变量 定义域是自变量所能取的,使算式有意义的一切实数值.y=f（x）a2021/5/2224 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相等的. 如 如果两个函数定义域和对应法则二者有一个不同，那么这两个函数是不同的. 如.2021/5/22252021/5/22262021/5/2227 若对于每一个若对于每一个 , 仅有一个值仅有一个值 与之对与之对应应,则称则称f (x)为为单值函数单值函数，否则称之为，否则称之为多值函数多值函数.定义定

13、义条件条件多值函数多值函数单值函数单值函数2021/5/2228函数的表示方法函数的表示方法: :表格法、图形法表格法、图形法与与解析法解析法( (公式法公式法).).函数的图形：函数的图形：2021/5/2229分段函数分段函数例例2 2 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国格尔系数，它反映了一个国家的富裕程度，也是国际通用的一项重要指标际通用的一项重要指标. .20 40 50 60 100绝对富裕比较富裕小康水平 温饱 贫困。O 在定义域的不同区间上在定义域的不同区间上由不同的代数式来表示的由不同的代

14、数式来表示的函数称为函数称为分段函数分段函数. .2021/5/2230前例中的分段函数是不能用统一的代数式表示前例中的分段函数是不能用统一的代数式表示的函数的函数. .再如再如: :需注意需注意: : 分段函数不可认为是若干函数的和分段函数不可认为是若干函数的和, , 也不是几个函数也不是几个函数, ,而是一个函数而是一个函数. .只是只是 随着自变量随着自变量 x x 取不同范围的值取不同范围的值, ,函数函数的的 表达式不同表达式不同. .2021/5/22312021/5/2232特殊的函数特殊的函数（1） 符号函数符号函数1-1xyo2021/5/2233（2） 绝对值函数绝对值函数

15、2021/5/2234定义定义设函数设函数y = =f( (x) )的定义域为的定义域为Df ，1.1.函数的有界性函数的有界性则称则称f (x)为在为在I上的上的有界函数有界函数, 否则称之为否则称之为无界无界.有界和数集有界和数集I 有关有关四、函数特性四、函数特性2021/5/2235定义定义设函数设函数y = =f( (x) )的定义域为的定义域为Df ，2.2.函数的单调性函数的单调性则称则称f (x)在区间在区间I上上单调增加单调增加或称或称递增递增,则称则称f (x)在区间在区间I上上单调减少单调减少或称或称递减递减.xyoxyo2021/5/2236定义定义设函数设函数y =

16、=f( (x) )的定义域的定义域D关于原点对称，关于原点对称，3.3.函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x则称则称f (x)为为偶函数偶函数;则称则称f (x)为为奇函数奇函数.2021/5/2237定义定义设函数设函数y = =f( (x) )的定义域为的定义域为Df ，4.4.函数的周期性函数的周期性则称则称f (x)为为周期函数周期函数, l称为称为f (x)的的周期周期.通常说周期函数的周期是指其通常说周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期. .注注：2021/5/2238六、反函数六、反函数 设函数设函数 ,Y 是值域是值域. 如果对于如果对于

17、Y 内的任一内的任一 y, D内都有唯一确定的内都有唯一确定的 x 与之对与之对应，使应，使 f (x) = y, 则在则在Y 上确定了一个函数，上确定了一个函数，这个函数称为函数这个函数称为函数 y = f ( x )的反函数的反函数. 记作记作 x = f 1( y ), y Y. 反函数的定义反函数的定义原来的函数原来的函数 y = f ( x ) 称为直接函数称为直接函数.2021/5/2239(1) 反函数反函数f -1的对应法则完全由函数的对应法则完全由函数f 的对应法则所确定的对应法则所确定.(2) 反函数反函数f -1的定义域与值域为的定义域与值域为f 的值域与定义域的值域与定

18、义域.注注： (3) 习惯上习惯上, 常以常以x记为自变量记为自变量, y记为函数记为函数,故反函数又记为故反函数又记为2021/5/2240 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称. .(4)2021/5/22412021/5/2242反函数存在性定理：反函数存在性定理： 单调函数存在反函数，且函单调函数存在反函数，且函数与其反函数的单调性相同数与其反函数的单调性相同. .2021/5/2243例例解解可解得可解得或或其定义域为其定义域为 (0,1) .由由变换的变换的x、y的的位置位置, ,即得所求反函数即得所求反函数2021/5/22442021/5/22

19、452021/5/2246七、基本初等函数七、基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为函数统称为基本初等函数基本初等函数.2021/5/2247函数函数由确定函数的由确定函数的定义域定义域1. . 幂函数幂函数2021/5/22482. .指数函数指数函数由确定函数由确定函数的单调性的单调性(0，1)2021/5/22493. .对数函数对数函数指数函数的反函数指数函数的反函数,记作记作2021/5/2250常用三角函数常用三角函数4. .三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数 y= sinx，y =cos x 的定义域是（的定义域是（，），值域是），值域是 1，1，以，以2为最小为最小周期，有界函数周期，有界函数.2021/5/2251正切函数2021/5/2252余切函数2021/5/22535. 反三角函数反三角函数2021/5/22542021/5/22552021/5/2256反余切函数反余切函数2021/5/2257汇报结束谢谢大家!请各位批评指正