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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 切贝谢夫不等式切贝谢夫不等式研究随机变量的离差与方差的关系。切贝谢夫不等式：用切贝谢夫不等式估计：700021002 2 大数定律大数定律测量多次，结果的计算平均值未必等于a测量次数很大时，算术平均值接近于a这种现象为平均结果的稳定性。 大量随机现象中的平均结果与每一个别随机现象无关，几乎不再随机。例2 测量一个长度a，一次测量，结果未必等于a=1也称为切贝谢夫大数定律。它有如下重要的推论。大量重复试验中，事件发生的频率接近于概率。若P(A)很小，则A发生的频率也很小如P(A)=0.001,约在1000次试验中，A发生一次在一次
2、试验中认为A几乎不可能发生。这称为小概率事件的实际不可能性原理。实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得到观察值x1,xn3 3 中心极限定理中心极限定理钉板试验 研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限，这一类定理称为中心极限定理。 一般地，若某项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，则这些大量独立偶然因素总和的随机变量近似服从正态分布。这就是如下的李雅普诺夫定理：例1 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两。求一盒(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率。=0.02275例2 对敌人的防御地段进行10
3、0次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69。求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。0.87644=0.008158解法二：正态分布的线性函数也是正态分布0.5=0.008158例4 某大型商场每天接待顾客10000人，设某位顾客的消费额(元)服从100,1000上的均匀分布，且顾客的消费额是独立的，试求该商场的销售额在平均销售额上、下浮动不超过20000元的概率。例5 计算机在进行加法时，每个加数取整数(四舍五入)，设所有取整误差是相互独立的，且它们都在-0.5，0.5上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过1
4、5的概率是多少？(2)最少几个数相加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不超过90？=0.18024(2)设有n个数相加二项分布可以看成多个0-1分布之和当n增加时，它以正态分布为极限。例6 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率。(1)直接计算相差较大，这是因为n较小。例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率。n=500 p=0.01(1)直接计算0.17635(2)用局部极限定理0.1793(3)由于n很大，p很小，也可用Poisson分布计算P5(5)=0.175467比用正态分布更精确正态分布与Poisson分布都是二项
5、分布的极限分布。用Poisson分布近似计算比用正态分布精确实际应用更多的是积分极限定理n=10000p=0.005=0.9977例8 产品为废品的概率为p=0.005,求10000件产品中废品数不大于70的概率。例9 已知一次试验中P(A)=0.75,分别用切贝谢夫不等式与中心极限定理计算。(1)在1000次试验中，A发生的次数在700-800之间的概率。(2)n取多大时，才能使n次重复独立试验中A出现的频率在0.740.76间的概率至少为0.9？n=1000p=0.75用切贝谢夫不等式计算=0.925用正态分布计算用切贝谢夫不等式用正态分布例10 某单位有200台电话分机，每台大约有5时间使用外线。若各分机是否使用外线是相互独立的，问总机至少要装多少条外线才能使打外线的接通率达到90？设要装k条外线。至少要装14条外线
