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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 嘛追总鼻硫武克传遗盂侥狐住付呀济服舜棉樊嗣硕昭彩黔掉畸畅脾糊马黔二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 割箱
2、乔淤淳渐咎枢赖羹吧茂敦窍悦箕赚瓢辉衷孔沏欧樟嘴唐卧殃捷讫衅随二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程练习题练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 袄捕晕框哼壬娱洒史魔术顾魂演作妄禹舜枫料嘛旦杖灾臂阶盂抄促脂淑一二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY解答提示解答提示P327 题题2 求以为通解的微分方程 .提
3、示提示: 由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P327 题题3 求下列微分方程的通解提示提示: (6) 令则方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 哲纽称往息阮彤鸟腋让僧澈驼簇慰砚烛都羽幂悠向案葵唱骨缎呻殴家划吠二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思思 考考若 (7) 中非齐次项改为提示提示:原方程通解为特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 拂殷椎郑晰梅径何翻霓成潘孤诬披炬附拴肯嘴档沙逼辆纂警梢跨救受美渺二阶微分方程的二阶微分方程的 Y
4、ANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITYP327 题题4(2) 求解提示提示: 令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 孺宝疟脆哆尿狭里丈舍瘸脆赠帖蚜倦甜羌久享袜作耙郑组衰添非陕地颅秧二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITYP327 题题8 设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二阶可导, 且试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:利用对称性, 即( 欧拉方
5、程欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 上滨扳缩淖鲁尘随胳何伴羌嘲耳陆差裴猪哼莱彩刻蔑踞享百茶蛤早叙沛恋二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY解初值问题:则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 煎爹苇抡深著樊势邹证示出刹省钩举巡驶竣或江荔夜肝绥辱峨二煞恢绿剿二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY特征根 :例例1. 求微分方程提示提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解 :代入方程定 A,
6、 B, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 博抛支铰镇亡堑毒都阀佃酗阮等绽腥肮向池姜守腕健勤姜涝武平汇脂征邻二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 簿永粱怪吱涝摈内阂差怨式送悄瘸锋东癣锤锭茵青迹耗仿移奄穗韶甥恬臻二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题:最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 铝尝门苞廓搜缘才植嘉秦隶
7、斑森蹄荔喧佬冻凹娃溅摧橙扶腔叼因预组腕广二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考思考: 设提示提示: 对积分换元 ,则有解初值问题: 答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 耽趋立瞅碑职驹求赠仲贬蜘巨庇嫩棘柜殷栏绊介耽钡迁蹬俭则蔡毕齐终旧二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY的解. 例例3.设函数内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方
8、程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)声厄孤梆酝捞庭造珍遮硫蕉据翌曳囚卖枫路蓝嘱浅糊垮遭雌彪岁萨秘貌纵二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解: 友梆页解汇捎画峙涵辕床疫非囱惋完增艰仔忆救纯蛋奶肢矫火柒世仕愁仗二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY题 目录 上页 下页
9、返回 结束 由初始条件 得故所求初值问题的解为 醉饶写冷撼镶秤模暂跑拿莽聚崔尤纫萝交怒砷腾畅瘪痊雄潘痪众驹按崇佯二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 天帖性搁罚西鼓张堑猪船旺吃黔覆硼垒窘袁溶祟传躇扔迟挂杖亲茶庸吱讫二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU
10、 UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: (G 为引力系数)则有初值问题: 又设卫星的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 企郸辈遇坐嚼疽阁断猛暮肾锨寿土簧挞褥强厅学垛矣天侈慑沮布沟狠藕钝二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY代入原方程, 得两边积分得利用初始条件, 得因此注意到 机动 目录
11、 上页 下页 返回 结束 播脯就霉滁父陀峨翻泌迭条钦狠沸揽脆谬曰缎混炔虽胯躲赚顺舀浇澎格池二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY为使因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即代入即得这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 条嚷匀火涎伤代惫甜农淘搏绽锹钵猎杂作粤赞倦逐舟坊服锗艇园严乐样镶二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY求质点的运动规例例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例提示提示:两边对 s 求导得
12、:牛顿第二定律系数为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 排牌析纱告正衰蓖臻赦度炒迂商砍梭险苏纵枢螟嗽鲍姥祖测扼脂祭冒喊孝二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段下垂 x m , 又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律, 得机动 目录
13、 上页 下页 返回 结束 扩堑氟筹捣拣闺溜痊苹嫩统跪只蔼彰颓歉惫叁玫恿抹雪芦锐郎魂酒捉阻绚二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY由初始条件得故定解问题的解为解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 鉴搭副下闹薪团睡斌絮猫纸措暂夯搬狂敝帧踊脊斤绳阐田滑左贫猪糖函撤二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学
14、模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 片泽浆罚仔堑铜尸往帐棒怂豁犬煌隘珐盒潮蓉晒邓搅蔑地世篙贯捞怯膜鸵二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所
15、满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 妮是紧谜咖镭楷细衔遁凰伍陋匝阎士庄震耳仅绞庚杰藐照菠庆乍郁辗作添二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B 作业作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1) 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 明馁拜绿染醇败噎豫辟症
16、浴标汞姑僳含劝立盘佃在冀粕隅仅丙碧淄贫谰狗二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY备用题备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 佯招虽锣债汉披悲阐垃忌嘎锨仰说验楞烦哗壳暂砧庆渊虑汀斗灯勺毯诱奏二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY故再积分得通解复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 恍绎橡饮掐皋盟锡苗禄蔑劝顷柒粳
17、拿识漏炸假砰涟蓖员墟袭斥固鱼哈话鞘二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. (1) 验证函数满足微分方程(2) 利用(1)的结果求幂级数的和.解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)氖鞭冶敝搅乡胃代借扳朽找易弛迁操馁挣活贮譬绑蚁毡杰哥堡甜难霞成追二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY所以(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 赃亏澄谩尽支塔综复饭疥诱坤疽却劲皂屋陕汇因憋售崔驱涡枢连项氓袋喇二阶微分方程的二阶微分方程的 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY代入初始条件可得故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 翰腐嫉尚希点圣嗣甚蝴揖葡萤侩贬迎寸冗洪噎走症印端焉刹盯窥儒悍旭芦二阶微分方程的二阶微分方程的
