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1、第三章第三章 向量代数与几何应用向量代数与几何应用本章主要内容本章主要内容:空间直角坐标系空间直角坐标系平面方程平面方程向量及其坐标向量及其坐标向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积空间直线方程空间直线方程及其方程及其方程13.1 3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系本节主要内容：本节主要内容：空间点的坐标空间点的坐标空间两点间的距离空间两点间的距离21. 1. 空间向量空间向量【确定向量的方法确定向量的方法】只要确定向量的模和方向只要确定向量的模和方向. 3单位向量：单位向量： 长度为长度为1的向量的向量相反向量：相反向量： 方向相反且长度相等的向量是互为相反方
2、向相反且长度相等的向量是互为相反的向量的向量平行平行(垂直垂直): 若两个向量若两个向量 a 和和 b 所在的直线平行所在的直线平行(垂垂直直)，则称这两个向量为共线的或平行的，则称这两个向量为共线的或平行的(垂直的垂直的)向向量量42. 2. 向量的加法和减法向量的加法和减法平行四边形平行四边形法则或三角法则或三角形法则形法则数乘向量数乘向量( (用一个数和一个向量造新的向量用一个数和一个向量造新的向量) ) 67向量向量 在向量在向量 上的投影上的投影 向量的夹角向量的夹角投影性质投影性质83. 3. 空间直角坐标系空间直角坐标系(1) 在空间中取一定点在空间中取一定点 O ;(2) 过点
3、过点 O 作三条作三条两两互两两互 相垂直相垂直, 且且成右手系成右手系的的 数轴数轴:拇指方向拇指方向9VIIVII面面面面面面【卦限卦限】空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限. .【坐标平面坐标平面】xOy, yOz, zOx 面面10空间点的坐标空间点的坐标11空间两点间的距离空间两点间的距离13向量的标准分解向量的标准分解 【向量的标准分解向量的标准分解】向量向量在三个坐标轴上的投影在三个坐标轴上的投影称为称为的坐标，的坐标，向量向量经常表示为经常表示为称为向量的坐标表示或代数表示称为向量的坐标表示或代数表示15【公式公式】 在前面的条件下在前面的条件下从而从而16若向
4、量若向量 则则 【公式公式】【证明证明】1718【解解】【公式公式】向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 21【解解】23243.2 3.2 向量的内积、外积与混合积向量的内积、外积与混合积 向量的内积向量的内积向量的外积向量的外积 向量的混合积向量的混合积 251. 1. 两个向量的数量积两个向量的数量积2627【证明证明】 由三角形的余弦定理由三角形的余弦定理,28由上述定理由上述定理, 通过直接、简单的通过直接、简单的代数验算代数验算, 很轻松地很轻松地得到下列有关数量积的性质得到下列有关数量积的性质.【向量内积的性质向量内积的性质】令令29【解解】302. 2. 两个向量的向量
5、积两个向量的向量积( (由两个向量造一个新向量由两个向量造一个新向量) ) 31【评注评注】32【证明证明】由上面的说明由上面的说明, 令令 另一方面另一方面, 再由再由知知33由上述定理由上述定理, 通过直接、简单的通过直接、简单的代数验算代数验算, 很轻松地很轻松地得到下列有关向量积的性质得到下列有关向量积的性质.【向量积的性质向量积的性质】【练习题练习题】 验证验证(2).34【解解】353. 3. 两个向量的混合积两个向量的混合积【定义定义3】三个向量三个向量的混合积的混合积是一个数是一个数几何意义：几何意义：以三个非零向量以三个非零向量为棱作一个平行为棱作一个平行六面体，该平行六面体
6、的体积为：六面体，该平行六面体的体积为：36设：设：则有则有三个向量三个向量共面的充要条件是：共面的充要条件是：37例例3：设向量设向量 它们的始点它们的始点解：解：同为同为O，求以，求以a，b，c为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积V.例例4：当当k为何值时，四个点为何值时，四个点P(2,0,1)， A(1,2,3)，B(2,3,1)， C(3,1,k)共面？共面？解：解：3.3 3.3 平面及其方程平面及其方程本节主要内容本节主要内容: :平面的一般方程平面的一般方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的截距式方程平面的截距式方程两平面间的关系和平面束两平面间的关系和平面束平面的三
7、点式方程平面的三点式方程39【法向量法向量】垂直于平面的非零向量垂直于平面的非零向量. .1. 1. 平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点平面的点法式方程法式方程【求平面方程的方法求平面方程的方法】( (记住记住!)!):40取法向量取法向量化简得化简得平面方程为平面方程为【解解】41取法向量取法向量化简得化简得平面方程为平面方程为【解解】422. 2. 平面的一般方程平面的一般方程由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面一平面一般方程般方程其中法向量为其中法向量为几种特殊情况几种特殊情况：其它情况可以类似讨论其它情况可以类似讨论43【解解】(2) 过过 y 轴轴;(3) 平行平行z 轴轴
8、;(4) 平行平行 zOx 平面平面.(1) 过原点过原点;【解解】【例例】443. 3. 平面的截距式方程平面的截距式方程45令令 y=z=0 得：得：x=2截距方程为截距方程为【解解】令令 x=z=0 得：得：y=4令令 x=y=0 得：得：z=5截距式方程便于画图截距式方程便于画图464. 4. 平面的三点式方程平面的三点式方程在几何上，不共线的三个点确定唯一一个平面在几何上，不共线的三个点确定唯一一个平面.由于这三个向量共面，因此它们的混合积为零由于这三个向量共面，因此它们的混合积为零.于是于是平面的三点式方程平面的三点式方程47取取平面方程为平面方程为化简得化简得【解解】48. .
9、两平面间的关系和平面束两平面间的关系和平面束49【例例】求过点求过点且与平面且与平面平行的平面方程平行的平面方程所求平面方程为：所求平面方程为：【例例】讨论以下各组里两平面的位置关系讨论以下各组里两平面的位置关系:【解解】(1(1) )(2)(2)50同轴平面束同轴平面束经过同一直线的所有平面的集合叫做同轴平面束经过同一直线的所有平面的集合叫做同轴平面束51【例例】【解解】由于所求平面与两个已知平面均为同轴平面束中的由于所求平面与两个已知平面均为同轴平面束中的平面，因此可设所求平面为平面，因此可设所求平面为523.4 3.4 空间直线及其方程空间直线及其方程本节主要内容本节主要内容:直线的一般
10、方程直线的一般方程直线的点向式与参数式方程直线的点向式与参数式方程直线与平面、直线与直线的位置关系直线与平面、直线与直线的位置关系直线与平面的夹角直线与平面的夹角点到直线与点到平面的距离点到直线与点到平面的距离53【直线的方向向量直线的方向向量】与直线平行的一非零向量与直线平行的一非零向量. .1. 1. 直线的点向式与参数式方程直线的点向式与参数式方程直线的点向式直线的点向式( (对称式对称式) )方程方程54【评注评注】55【解解】【例例】56直线的参直线的参数式方程数式方程【例例】【解解】57空间直线空间直线 L 可看成两平面的交线可看成两平面的交线: :其中其中 L 的方向向量的方向向
11、量2.2. 直线的一般方程直线的一般方程直直线线 的的一一般般方方程程58【解解】在直线上令在直线上令L的方程的方程:【例例】59【解解】从而该直线的对称式方程为从而该直线的对称式方程为:60【例例】3. 3. 直线与平面间的关系直线与平面间的关系（【直线与平面的特殊位置关系判定直线与平面的特殊位置关系判定】61【两直线的特殊位置关系判定两直线的特殊位置关系判定】4. 4. 两直线间的关系两直线间的关系624. 4. 两直线间的关系两直线间的关系63【解解】64【例例】设两条直线分别为设两条直线分别为6566夹角和距离夹角和距离 平面和平面的夹角平面和平面的夹角直线和平面的夹角直线和平面的夹角
12、点到平面的距离点到平面的距离直线和直线的夹角直线和直线的夹角点到直线的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离，两条平行直线间的距离，两个平行平面间的距离，两个平行平面间的距离，平行于平面的直线与平面间的距离平行于平面的直线与平面间的距离【两直线的夹角两直线的夹角】 方向的夹角方向的夹角( (锐角锐角).).【两直线的特殊位置关系判定两直线的特殊位置关系判定】(1). (1). 直线与直线的夹角直线与直线的夹角675.5.直线和平面间的夹角直线和平面间的夹角则这两个平面的夹角则这两个平面的夹角【约定约定】 两个平面的法线两个平面的法线( (不是法向不是法向) )的夹角的夹角( (锐角锐角) )称
13、称为为两个平面的夹角两个平面的夹角. .68(2) .平面和平面的夹角平面和平面的夹角(3). (3). 直线与平面的夹角直线与平面的夹角（则则【直线与平面的特殊位置关系判定直线与平面的特殊位置关系判定】69【解解】70【例例】(1). (1). 点到直线的距离点到直线的距离【公式公式】【证明证明】根据几何图形知根据几何图形知716. 距离距离【解解】72【例例】（2 2）. . 点到平面的距离点到平面的距离【公式公式】【证明证明】7374(3). 两条平行直线间的距离，两条平行直线间的距离， 两个平行平面间的距离，两个平行平面间的距离， 平行于平面的直线与平面间的距离平行于平面的直线与平面间
14、的距离1. 两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离：规定为规定为一条直线上任意一点到另外一条直线的距离一条直线上任意一点到另外一条直线的距离2. 两个平行平面间的距离：两个平行平面间的距离：规定为规定为一个平面上任意一点到另外一个平面的距离一个平面上任意一点到另外一个平面的距离3. 平行于平面的直线与平面间的距离：平行于平面的直线与平面间的距离：规定为规定为直线上任意一点到平面的距离直线上任意一点到平面的距离【解解】75【例例】习题课习题课 判断下列结论是否正确判断下列结论是否正确, 并说明理由并说明理由. 1.7677对于空间两点对于空间两点 P (2, 2, 5) 和和 Q (1, 6
15、, 7). 试求试求: :2. 7879804.8283证证5. 用数量积证明三角形的三条高交于一点用数量积证明三角形的三条高交于一点. . 84直线直线 L 的方向向量为的方向向量为平面方程为平面方程为:851.又由已知平面过又由已知平面过 L, 故故 平面平行平面平行 x 轴轴, 可设平面方程为可设平面方程为从而从而平面方程为平面方程为:86平面方程为平面方程为:87【注注】 在研究有关直线及平面的一些复杂问题时在研究有关直线及平面的一些复杂问题时, 关键是利用向量这一工具关键是利用向量这一工具, 通过分析图形找思路通过分析图形找思路. 2.若已知两异面直线为若已知两异面直线为求这两条直线公垂线求这两条直线公垂线 L 的方程的方程.88893. 解答下问题:909192本周作业 P8416，18，20，22，25(2),(4)，27(1)(3)，2893
