《高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.1 利用导数求函数的最大（小）值课件 北师大版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.1 利用导数求函数的最大（小）值课件 北师大版选修11（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.2.1利用导数求函数的最大(小)值1.理解最大值、最小值的概念.2.会利用导数求函数在闭区间上的最大(小)值.函数的最大值与最小值函数y=f(x)在a,b上的最大(小)值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过(不小于)f(x0).最大值或者在极大值点取得,或者在区间的端点取得.函数的最大值和最小值统称为最值.【做一做1】设f(x)是a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下面结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间(a,b)上可能没有极值点D.f(x)在区间a,b上可能没有最值点答案:C答案:A 题型一题型二
2、题型三求函数的最值 分析:先对函数求导,再求出极值与区间端点的函数值,从而确定最大值与最小值.题型一题型二题型三反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可考虑用导数的方法求解.2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至需要分类讨论,由函数的最值求参数值.题型一题型二题型三【变式训练1】已知函数f(x)=ax3+c,且f(1)=6,函数在1,2上的最大值为20,则c的值为()A.1B.4C.-1D.0解析:f(x)=ax3+c,f(x)=3ax2.则f(1)=3a=6,a=2.f(x)=2x3+c,f(x)=6x20,f(x)在1,2上是增加的.f(x)的最大
3、值为f(2)=16+c=20,c=4.答案:B题型一题型二题型三利用导数求含参的函数的最值【例2】已知函数f(x)=x3-ax2+3x,x=3是函数f(x)的极值点,求函数f(x)在区间1,5上的最大值和最小值.解:由f(x)=x3-ax2+3x,得f(x)=3x2-2ax+3.根据题意,x=3是函数f(x)的极值点,得f(3)=0,即27-6a+3=0,解得a=5.所以f(x)=x3-5x2+3x.所以f(x)=3x2-10x+3.令f(x)=0,得x=3或 (舍去).当1x3时,f(x)0;当3x0.故当x=3时,函数f(x)有极小值f(3)=-9,题型一题型二题型三这也是函数f(x)在区
4、间1,5上的最小值.又因为f(1)=-1,f(5)=15,所以函数f(x)在区间1,5上的最大值为f(5)=15.综上所述,函数f(x)在区间1,5上的最大值为15,最小值为-9.反思函数的最值与极值及单调性密切相关,因此在求解函数的最值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数与极值的有力工具.题型一题型二题型三【变式训练2】已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的递减区间;(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:(1)f(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3).令f(x)0,得x3.故函数f(x)的递减区
5、间为(-,-1),(3,+).题型一题型二题型三(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2),因为在(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上是增加的,所以f(-1)是f(x)的极小值,且f(-1)=a-5.所以f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.所以f(-1)=-2-5=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.题型一题型二题型三已知函数最值求参数值【例3】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在-1,2上有最大值3,最小值-29,求a,
6、b的值.解:由题意,知a0.因为f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x-1,2,所以令f(x)=0,得x=0或x=4(舍去).若a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:由上表,知当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3,又因为f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故f(-1)f(2),题型一题型二题型三所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.若af(-1).所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.题型一题型二题型三反思若参数变化影响着函数的单调性变化,要对参数进行分类讨论.题型一题型
7、二题型三答案:C 1234561.函数y=f(x)在a,b上()A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值答案:D1234562.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间-4,4上的最大值为10,则k的值为()A.-5B.5C.-15D.15解析:f(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).令f(x)=0,得x=3或x=-1.因为f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5.答案:B1234563.若函数f(x)=x3-3x-a在区间0,3上的最大值、最小值
8、分别为M,N,则M-N的值为()A.2B.4C.18D.20解析:f(x)=3x2-3,令f(x)=0得x=1.当0x1时,f(x)0;当10.则f(1)最小,又f(0)=-a,f(3)=18-a,又f(3)f(0),最大值为f(3),即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20.答案:D1234561234561234566.求函数f(x)=x3-3x2+6x-5在区间-1,1上的最值.解:f(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3.因为f(x)在-1,1上恒大于0,所以f(x)在-1,1上是增加的.所以当x=-1时,f(x)取得最小值,即f(-1)=-15;当x=1时,f(x)取得最大值,即f(1)=-1.故函数f(x)的最大值为-1,最小值为-15.
