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1、简单的优化模型简单的优化模型存储模型存储模型销售时机销售时机( (猪猪) )销售时机销售时机( (酒酒) )深林救火深林救火最优价格最优价格血管分支血管分支消费者均衡消费者均衡冰山运输冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题。人类不论是自觉还是不自觉，总现实世界中普遍存在着优化问题。人类不论是自觉还是不自觉，总是在追求自身效益的最大化中奋斗、发展。是在追求自身效益的最大化中奋斗、发展。 静态优化问题是指在资源、环境不变下考虑效益最优问题静态优化问题是指在资源、环境不变下考虑效益最优问题, 最优解是最优解是数数 (不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键是根据建模目的选定恰当的目标函数和决策建立
2、静态优化模型的关键是根据建模目的选定恰当的目标函数和决策变量变量 求解静态优化模型一般利用极值。求解静态优化模型一般利用极值。静静 态态 优优 化化 模模 型型Maple求解静态最优化语句求解静态最优化语句(符号符号)readlib(extrema)： #调入条件极值命令extrema( f(x1,x2,)，条件方程，决策变量列表，极值点变量名)；maximize(函数，变量=范围)；#8.0maximize(函数，变量=范围)；#5.0minimize(函数，变量=范围)；#8.0minimize(函数，变量=范围)；#5.0求指定范围内函数的最大、最小值求指定范围内函数的最大、最小值用方程
3、求解命令解最优值点用方程求解命令解最优值点fsolve(函数=最大(最小)值，变量)；用条件极值命令求极值、极值点用条件极值命令求极值、极值点Min=5000/t+100*(t-1);endLINGO 程序程序(数值数值)gin(t); 整数变量整数变量Max=200+15*t+100*t2;end存贮模型存贮模型 某商场每日销售某商品约某商场每日销售某商品约200件，每次进货费件，每次进货费约约5千元，贮存费每日每件千元，贮存费每日每件 1 元。试安排该商品的元。试安排该商品的进货计划。进货计划。问问 题题问问题题分分析析费用最小的意思？费用最小的意思？ 每天进货一次：每次每天进货一次：每次
4、200件，贮存费为件，贮存费为0，进货费，进货费5千元。总费用千元。总费用5000元。元。2天进货一次：每次天进货一次：每次400件，贮存费件，贮存费200元，进货费元，进货费5千元。总费用千元。总费用5200元。元。多少天进货一次？每次进货多少？尽可能减少费用多少天进货一次？每次进货多少？尽可能减少费用.目的目的10天进货一次：每次天进货一次：每次2000件，进货费件，进货费5千元，贮存费千元，贮存费1800+1600+200 =9000元。总费用元。总费用14000元。元。费用应为同样时间内的费用费用应为同样时间内的费用(如一年或一月等如一年或一月等)。进货间隔是否越长费用越小？进货间隔是
5、否越长费用越小？目标：一定时间内总费用目标：一定时间内总费用(a天天)最小最小. 包括进货费、存储费。包括进货费、存储费。决策变量：进货量、进货周期决策变量：进货量、进货周期(间隔时间间隔时间)。基本假设：基本假设：1. 每天销售量不变；每天销售量不变；模型建立：模型建立： 在假设在假设1，2下，下，进货费进货费=c1a/T，一个周期存储费，一个周期存储费= bc2(1+2+T-1)=bc2dT(T-1)/2符号说明：符号说明：2. 每件每天存储费不变，每次进货每件每天存储费不变，每次进货费不变，立即到货费不变，立即到货.1. P为总费用；日销货量为总费用；日销货量b2. 单位进货费为单位进货
6、费为c1，单位，单位存储费存储费c2，进货周期为，进货周期为T;3. 计算总费用时间为计算总费用时间为a 。总存储费总存储费=bc2T(T-1)/2 a/T=abc2(T-1)/2模型求解：模型求解：带入带入b 、c1、c2，得，得 T=7，每次进货量，每次进货量=2007=1400(件件)即每隔即每隔7天进货一次，每次进货天进货一次，每次进货1400件，平均每天费用为件，平均每天费用为1314元。元。总费用总费用 P=ac1 /T+abc2(T-1)/2 , 每次进货量每次进货量=bT允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型上述模型不允许出现缺货的情况。但是，当贮上述模型不允许出现缺货的情况。但
7、是，当贮存量降到零，又没有及时供货，就会出现缺货。存量降到零，又没有及时供货，就会出现缺货。缺货会造成部分利润损失。缺货会造成部分利润损失。假设：允许缺货假设：允许缺货, 每件缺货损失费每件缺货损失费 c3，周期，周期T, t=T1贮存量降到零。贮存量降到零。0qQbT1tT一周期贮一周期贮存费存费一周期缺一周期缺货费货费为了方便，采用连续化讨论。为了方便，采用连续化讨论。一周期总费用一周期总费用b为存储量递减速度为存储量递减速度每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）求求 T ,Q 使使为与为与不允许缺货的存贮模型相比，不允许缺货的存贮模型相比，T记作记作T , Q记作记作Q
8、不允许不允许缺货模缺货模型型记记允许缺允许缺货模型货模型不不允允许许缺缺货货允许缺允许缺货模型货模型Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生千克重的生猪体重增加猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出元，问生猪应何时出售。售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时
9、间减少，故存在最佳出售投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时机，使利润最大求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt (r增重速度增重速度) 出售价格出售价格 p=8-gt (g降价速度降价速度)销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 max Q=R-C=pw -C估计估计r=2若当前出售，利润若当前出售，利润Q=808=640（元）（元）t 天出天出售售=10Q(10)=660 640g=0.1目标函数目标函数(p价格价格,w重量，重量
10、，C成本成本)敏感性分析敏感性分析(比较静态比较静态)研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2，g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2，g=0.1研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 gt强健性分析强健性分析保留
11、生猪直到的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 每天的增值每天的增值 每天投入的资金每天投入的资金 森林救火森林救火消防队接到火警，消防队接到火警，t0 时刻森林失火，立刻时刻森林失火，立刻派出队员前往扑救。派出派出队员前往扑救。派出队员多，队员多，扑救快森林损失小，救援费用大；队员少森林损失大，救援费用
12、小。扑救快森林损失小，救援费用大；队员少森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问问题题目标总费用最小目标总费用最小森林损失、救援费用。都随队员数变化。关键量化描森林损失、救援费用。都随队员数变化。关键量化描述变化规律。述变化规律。队员人数为决策变量，记为队员人数为决策变量，记为x。森林损失随烧毁面积单增，烧毁面积与燃烧时间有关。记时刻森林损失随烧毁面积单增，烧毁面积与燃烧时间有关。记时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积 S(t). 则烧则烧毁面积毁面积S(t2)随随x单减单减. 救援费救援费f2(x) 由队员人数和救火时间
13、决定由队员人数和救火时间决定. 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2.损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数. 由由S(t2)决定决定.进一步分析进一步分析灭火条件灭火条件:救火快救火快,燃烧扩大慢才有可能燃烧扩大慢才有可能.如何衡量快慢？如何衡量快慢？ rS火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径径 r与与 t 成正比成正比S与与r2成正比成正比,即与即与t2正比正比, 故故d2S/dt2为常数为常数, 燃烧面积匀燃烧面积匀加速增加加速增加.该常数称为蔓延速度该常数称为蔓延速度.救火能力指每个队
14、员降低蔓延速度的能力救火能力指每个队员降低蔓延速度的能力, 救火队员救火能力可以认为相差不大救火队员救火能力可以认为相差不大,. 则则总救火能力可看作与人数总救火能力可看作与人数x成正比成正比模型假设模型假设 3) f1(x)与与S(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费) 1) 火势向四周均匀蔓延；即火势向四周均匀蔓延；即0 t t1, dS/dt 与与 t成正比，系数为成正比，系数为 (蔓延速度蔓延速度烧毁烧毁面积的加速度面积的加速度)（无风）（无风） 2) 救火队员灭火能力相同救火队员灭火能力相同;即即 x名队员救火名队员救火,蔓延速度蔓延速度 降为降
15、为 - x ( 为每个队员降低蔓为每个队员降低蔓延速度值延速度值) 4) 救援费救援费f2(x)为为一次性费用一次性费用(与与队员人数队员人数x成正比成正比,系数系数c3)和灭火费和灭火费(与与队员人数队员人数x,灭灭火时间成正比火时间成正比,系数系数c2).符号说明符号说明t1开始救火时刻开始救火时刻,t2灭火时刻灭火时刻,S(t)森林森林烧毁面积烧毁面积, f1(x)损损失费失费, f2(x)救援费救援费, x救火人数救火人数, C(x)总费用总费用.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用由假设由假设3)假设假设2）假设假设4)模型求解模型求解由极值的必要条
16、件由极值的必要条件结果说明结果说明 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, 由过去救火的数据取平均值确定由过去救火的数据取平均值确定. c2 x c1, t1, x c3 , x c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开开始救火时刻始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火能力队员平均灭火能力.为什么为什么? ? t1在接警后要较准确估计出在接警
17、后要较准确估计出. 为蔓延速度为蔓延速度, 接警一定要详细了解火场变化接警一定要详细了解火场变化情况情况,以便确定以便确定.根据以上数据，由模型决定队员数量根据以上数据，由模型决定队员数量x .最优价格最优价格问问题题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假假设设2. 成本成本C是是x的递增函数的递增函数；模型与求解模型与求解理性经济人必然追求效益最大化。设利润为理性经济人必然追求效益最大化。设利润为U(p)，则目标函数为，则目标函数为1. 需求需求x是价格是价格p递减函数递减函数,最大需求为最大需求为a
18、 ,且且 ；3. 产销平衡产销平衡. 即产量等于销量即产量等于销量, 等于需求量等于需求量x . p* 的存在性证明：的存在性证明：1) 成品的可变成本为常数成品的可变成本为常数 q ;2) 销量销量 x 随价格随价格 p 线性递减线性递减 .收入收入成本成本利润利润数学模型数学模型求求p使使U(p)最大最大为了更具体地确定价格，在上述结果中，再作进一步假设为了更具体地确定价格，在上述结果中，再作进一步假设补充假设补充假设使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到求解求解边际收入边际收入边际支出边际支
19、出结果分析结果分析 q / 2 可变成本的一半可变成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格幅度（需求对价格的敏感度）的敏感度） a 最大需求最大需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b? 固定成本不影响最优价格固定成本不影响最优价格血管分支血管分支背景背景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原在长
20、期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则则研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度角度问题问题模型假设模型假设1.一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面2.血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动3. 血液给血管壁的能量随管壁的内表面血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似积和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比与血管半径成正比qq1q1ABBCHLll1rr1 血流量血流量 q=2q
21、1r/r1, ?考察血管考察血管AC与与CB, CB粘性流体在刚性管道粘性流体在刚性管道中运动中运动 pA,C压力差，压力差， 粘性系粘性系数数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量管壁内表面积管壁内表面积 2 rl=k1rl管壁体积管壁体积 (d2+2rd)l=k2r2l,管壁厚度管壁厚度d与与r成成正比正比资料与进一步假设资料与进一步假设qq1q1ABBCHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模型求解qq1q1ABBCHLll
22、1rr1 模型检验模型检验结果与生物学家观察大致吻合结果与生物学家观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有多少次分岔大动脉到毛细血管有多少次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数模型应用模型应用n=？q2U(q1,q2) = cq10消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消费者
23、的无差别消费者的无差别曲线族曲线族(单调减、下凸、不相交），单调减、下凸、不相交），记作记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2, 有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq10模型及模型及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大几几何何解解释释直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点斜率斜率MQN结果解结果解释释边际效用边际效用消费
24、者均衡状态在两种商品的边际效用之消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。比恰等于它们价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱
25、程度。两种商品的偏爱程度。 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米米0.1英镑。英镑。 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性
26、。从经济角度研究冰山运输的可行性。资料资料1. 拖船租金和运输能力拖船租金和运输能力船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 1051061072. 燃料消耗（英镑燃料消耗（英镑/千米）千米）3. 表面融化速率（米表面融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 1
27、6.2 13.2 16.5 19.8建模目的建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较化海水的费用比较模型假设模型假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水问题问题分析分析总费用总费用燃料消耗燃料消耗租金租金时间时间, 船型船型船型船型运送体运送体积积速度速度融化水体融化水体积积目的地冰山体目的地冰山体积积运送体积
28、运送体积时间时间, 融化速度融化速度运输过程融运输过程融化化路路程程速速度度距距离离速速度度速速度度船型船型速速度度变变量量模型模型建立建立船速船速u (千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天） 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律显然显然r是是 u 的线性函数；的线性函数；但是但是, r随随d变化变化(如图如图)却仅却仅仅仅近似线性；故假设近似线性；故假设分段线性分段线性 d1000时时, r 与与d成正比成正比1000d4000时时, r 与与d无关无
29、关.航行航行 t 天天第第t天融天融化速率化速率融化厚度随时间变化函数：融化厚度随时间变化函数：总航行天数总航行天数R0为初始冰山半径为初始冰山半径.(49.237,62.035,133.56) t 时刻冰山体积时刻冰山体积到达体积为到达体积为V2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性, 对对log10V线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用 V0 5
30、 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 冰山初始体积冰山初始体积V0的日租金的日租金 f(V0)（英镑）（英镑）航行天数航行天数拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用3. 租船费用租船费用 冰山到达目的地后得到的冰山到达目的地后得到的水体积水体积4. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每立方运送每立方米水费用米水费用 到达目的地时冰山到达目的地时冰山体积体积模型求解模型求解选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最最小小u=
31、45(千米千米/小时小时), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用）用枚举法枚举法计算计算结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于显著小于V(u,V0)。有关部门认为，
32、只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小时小时), 冰山到达目的地后每立米水的费冰山到达目的地后每立米水的费用用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑)虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。常简化与粗糙。MapleMaple程序程序readlib(extrema)：extrema(5000/t+200*1*(t-1)/2.,t,s)； -1514.213562, 1314.213562s； t = -7.071067812, t = 7.071067812Min=5000/t+100*(t-1);Gin(t);endLINGO 程序程序 C:=x-c1*beta*t12/2+c1*beta2*t12/2/(lambda*x-beta)+ c2*beta*t12/(lambda*x-beta)+c3*x: solve(diff(C(x),x)=0,x);模型求解模型求解 Maple Maple 命令命令
