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1、1作业：作业：2-3 (2)、(3)、(4)提纲提纲3 力学量用算符表达和本征方程力学量用算符表达和本征方程 自由粒子的自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程 力学量算符力学量算符 本征值和本征函数本征值和本征函数 力学量算符的平均值力学量算符的平均值4 薛定谔方程薛定谔方程例题：例题：动量算符的本征值方程动量算符的本征值方程2德拜德拜指出：指出：几周后薛定谔几周后薛定谔找到找到（提出）了波函数满足的（提出）了波函数满足的微分方程微分方程 薛定谔方程，薛定谔方程，从而建立了描述从而建立了描述微观粒子运动规律的学科微观粒子运动规律的学科 量子力学。量子力学。薛定谔方程是描述微观粒子的薛定谔方程是描述微
2、观粒子的基本方程，基本方程，同牛顿同牛顿定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了它的正确性，它的正确性，薛定谔因此薛定谔因此获得了获得了1933年的诺贝尔年的诺贝尔物理奖物理奖。“对于波，应该有一个波动方程。对于波，应该有一个波动方程。”1925年年薛定谔薛定谔在介绍德布罗意波的报告后在介绍德布罗意波的报告后,34 薛定谔方程薛定谔方程 3、4将简单介绍量子体系的运动状态如何用将简单介绍量子体系的运动状态如何用波波函数函数来描述；力学量如何用来描述；力学量如何用力学量
3、算符力学量算符来描述。来描述。建立薛定谔方程的主要依据和思路建立薛定谔方程的主要依据和思路：* 要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足 德布罗意关系式德布罗意关系式* 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， 质量为质量为m，动量为动量为P的粒子：的粒子：* 若若 是方程的解，则是方程的解，则 也是它的解；也是它的解； 若波函数若波函数 与与 是某粒子的可能态，则是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。也是该粒子的可能态。因此，因此，波函数应遵从线性方程波函数应遵从线性方程。* 自由粒子的外势场应为零。自由
4、粒子的外势场应为零。4自由粒子的波函数自由粒子的波函数一个自由粒子有动能一个自由粒子有动能E和动量和动量p。对应的德布对应的德布罗意波具有频率和波长：罗意波具有频率和波长：或者用角频率和波矢量表示：或者用角频率和波矢量表示：单色平面波的复数形式为：单色平面波的复数形式为：称它为称它为在在坐标表象坐标表象中中动量为动量为 的的本征态本征态。单色平面波的实数形式单色平面波的实数形式5 自由粒子的自由粒子的 薛定谔方程薛定谔方程沿沿x方向运动的动能为方向运动的动能为E和动量为和动量为P 的自由粒子的自由粒子的波函数的波函数时间偏导时间偏导位置偏导位置偏导二阶偏导二阶偏导6为自由粒子的质量，因为势能为
5、零，所以为自由粒子的质量，因为势能为零，所以所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：动动力力学学方方程程经经典典波波动动的的n奥地利人奥地利人nErwin Schrodingern1887-1961n创立量子力学创立量子力学7一个动能为一个动能为E和动量为和动量为 ，即，即波矢为波矢为的自由粒子，在坐标表象的波函数：的自由粒子，在坐标表象的波函数：同样推广到三维同样推广到三维显然，波函数对时间求导，可得出显然，波函数对时间求导，可得出一维自由粒子的薛定谔方程：一维自由粒子的薛定谔方程：8波函数对空间求导可得出：波函数对空间求导可得出：9The u
6、pside-down capital delta symbol also called nabla used to denote the gradient and other vector derivatives (From Wolfram MathWorld)10定义算符：定义算符：则得：则得：考虑自由粒子的能量考虑自由粒子的能量又因为又因为得出：得出：许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。所以，可不写角码所以，可不写角码k。自由粒子的自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程11量子体系的运动状态由量子体系的运动状态由波函数波函数来描述来描述,力学量用
7、力学量力学量用力学量算符算符来描述。来描述。在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值（因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该（因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量的波函数所描述的状态是该力学量的本征态本征态。下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系前面从经典自由粒子前面从经典自由粒子的波函数得出了它应的波函数得出了它应满足的方程，从中可满足的方程，从中可得到些得到些启示启示该方程是一个该方程是一
8、个线性方程线性方程，所以叠加原理成立。，所以叠加原理成立。它是它是时间时间的的一阶微分方程一阶微分方程，因此其解（几率幅）将作因果变化，因此其解（几率幅）将作因果变化，即即t = 0 的值唯一地决定随后任何时刻的值。的值唯一地决定随后任何时刻的值。12从上面推导可知有如下对应关系从上面推导可知有如下对应关系利用上述对应关系可得出利用上述对应关系可得出动量动量算符算符动能动能算符算符3 力学量用算符表达和本征方程力学量用算符表达和本征方程 力学量算符力学量算符13第一类第一类:以坐标为函数的力学量，其量以坐标为函数的力学量，其量子力学所对应的算符形式不变。子力学所对应的算符形式不变。如势能如势能
9、 和作用力和作用力 。力学量用算符表达力学量用算符表达经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学中的算符形式中的算符形式另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对应的算符可用与动量的对应关系得出，例如所对应的算符可用与动量的对应关系得出，例如动能算符的表达式：动能算符的表达式：14角动量算符角动量算符的表达式的表达式15角动量算符的模方定义为：角动量算符的模方定义为：角动量的投影算符角动量的投影算符球坐标球坐标16 本征值和本征函数本征值和本征函数当力学量算符当力学量算符 作用在波函数作用在波函数 上，其结果是上，
10、其结果是同一个函数乘以一个常量时：同一个函数乘以一个常量时： 是力学量是力学量A 取确定值取确定值 时的本征态时的本征态称上式为算符称上式为算符 的本征值方程的本征值方程。 是力学量是力学量A的一个本征值。的一个本征值。由本征值方程解出的全部本征值由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的就是相应力学量的可能取值可能取值。17如如能量算符能量算符 的本征值方程的本征值方程如如角动量平方算符角动量平方算符 的本征值方程的本征值方程如如角动量沿角动量沿z 方向的分量算符方向的分量算符 的本征值方程的本征值方程如如自旋角动量算符自旋角动量算符 的本征值方程的本征值方程18则称本征值则称本征值 是是
11、 重简并的。称重简并的。称 为简并度为简并度简并态的选择不是唯一的简并态的选择不是唯一的如果属于本征值如果属于本征值 的本征态不是一个，而是的本征态不是一个，而是 个，即力学量个，即力学量A的本征方程为：的本征方程为：矩阵代数中的厄米矩阵矩阵代数中的厄米矩阵 矩阵代数中的本征矢矩阵代数中的本征矢 矩阵代数中的本征值矩阵代数中的本征值 物理量算符物理量算符微观粒子的定态微观粒子的定态与定态对应的与定态对应的物理量的确定值物理量的确定值19力学量算符的对易关系力学量算符的对易关系通常一个力学量通常一个力学量 的本征值是简并的的本征值是简并的,这时必定存这时必定存在独立于在独立于 ,而又与它而又与它
12、对易对易的其它力学量的其它力学量 。20力学量算符的本征值方程力学量算符的本征值方程 力学量算符的平均值力学量算符的平均值体系的任一状态可用守恒量的完全集合展开体系的任一状态可用守恒量的完全集合展开力学量力学量 在该态中的平均值：在该态中的平均值：利用正交利用正交归一性归一性测量测量到到An 的几率的几率21结论结论是粒子在是粒子在 处出现的几率。处出现的几率。例一：位置例一：位置 的平均值的平均值力学量力学量 在某态在某态 中的测量平均值：中的测量平均值：22例二：例二：势能势能U(r) 的平均值的平均值例三：例三：动量算符动量算符 的平均值的平均值下面以动量本征方程、本征函数为例说明下面以
13、动量本征方程、本征函数为例说明23例四：例四：动量算符的本征值方程是动量算符的本征值方程是它就是它就是 的单色平面波，在量子力的单色平面波，在量子力学中，学中，平面波平面波代表粒子代表粒子有确定的动量、在有确定的动量、在空间各处出现的几率相同的状态。空间各处出现的几率相同的状态。在坐标表象中：在坐标表象中：式中式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下是动量算符的本征值，在直角坐标系下为为 均为实数。动量本征值方程的解均为实数。动量本征值方程的解24因此，任一态因此，任一态 可用动量本征函数系展开可用动量本征函数系展开展开系数展开系数 给出在该态中测量到动量为给出在该态中测量到动量为 的几率的几率上两式称为傅里叶变换上两式称为傅里叶变换 书书P338（ 2.7 ）式）式 是任意态是任意态 在在动量动量表象表象表象表象中的表述中的表述25在动量表象中动量算在动量表象中动量算符符的平均值的平均值
