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1、7.47.4非线性系统的描述函数分析法非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为假设非线性系统的输入函数为 输出输出n(tn(t) )将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数，数，n(tn(t) )是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。假设假设1 1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号输出信号n(tn(t) )的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符
2、号相反）输出不含直流分量，输出响前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。应的平均值为零。假设假设2 2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。波性越好，用描述函数法分析的精度越高。上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系上述两个假设满足时，非
3、线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。究其基波成分就足够了。假设系统中非线性环节的输入函数为假设系统中非线性环节的输入函数为输出信号可以展成傅利叶级数输出信号可以展成傅利叶级数 若非线性部分是齐次对称的，则若非线性部分是齐次对称的，则A A0 0=0=0，线性部分又具有，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。能够通过闭环回路反馈到输入端。输出部分的基波分量为输出部
4、分的基波分量为 可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。号基波的关系。 在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函数。用符号数。用符号N(X)N(X)表示：表示： Y Y1 1非线性环节输出基波分量的振幅；非线性环节输出基波分量的振幅；1 1表示其相位表示其相位差；差；X X表示输入正弦信号的幅值。表示输入正弦信号的幅值。 这样一种仅取输出的基波（把非线
5、性环节等效为一个这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。非线性线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。非线性环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大系数。复放大系数。 非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号幅值信号幅值A A和频率和频率的函数，表示为的函数，表示为N(X, )N(X, )。如果非线性特性是单值奇函数的，则如果非线性特性是单值奇函数的，则A A0 0=0=0，A A1 1=0=0。N(X)
6、N(X)是一个实函数。是一个实函数。二、典型环节的描述函数理想继电器特性的描述函数理想继电器特性的描述函数傅氏展开傅氏展开斜对称、奇函数斜对称、奇函数A A0 0=A=An n=0=0( (偶次对称性偶次对称性) )饱和特性饱和特性死区特性死区特性死区饱和特性死区饱和特性非线性增益I非线性增益II理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性间隙、滞环特性非线性环节的正弦响应非线性环节的正弦响应y(t)ty(t)ty(t)tty(t) 7.5 典型非线性系统的稳定性典型非线性系统的稳定性( (尼奎斯特判据尼奎斯特判据) )若开环稳定，则闭环若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是稳定的充要条件是G(jG
7、(j ) ) 轨迹不包围轨迹不包围G G平平面的面的(-1,j0)(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描述函数负倒特性) )线性系统线性系统(-1,j0)? G(jG(j ) ) 与负倒描述与负倒描述函数相交函数相交 闭环系统出现自闭环系统出现自持振荡持振荡( (极限环振荡极限环振荡) ) ？稳定？稳定 ？不稳？不稳定定 振幅（振幅（X X）？）？ 频率频率( ( ) )？设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(jG(j ) )不包围不包围负倒描述函数负倒描述函数 闭环系统稳闭环系统稳定定 G(jG(j ) )包围包围负倒描述函数负倒描述函数 闭环系统闭环系统不稳定不稳
8、定当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅X X增大到增大到c c点时，点时，c c点点“(-1,j0)(-1,j0)” 被被G(j G(j ) )轨迹包轨迹包围，围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅X X继续增大；继续增大；不返回到不返回到a a。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅X X减小到减小到d d点，点，d d点点“(-1,j0)(-1,j0)”未被未被G(j G(j ) )轨迹包轨迹包围，围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅X X继续减小；继续减小；不返回到不返回到a a。a a点为不稳定自振交点。点为不稳定自振交点。分析法分析法当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅X X增大到增大到e e点点时，时
9、， e e点点“(-1,j0)(-1,j0)”未被未被G(j G(j ) )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅X X减小；减小；返回到返回到b b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅X X减小到减小到f f点，点，f f点点“(-1,j0(-1,j0) )”被被G(j G(j ) )轨迹轨迹包围，包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅X X增大；增大；返回到返回到b b。 b b点为稳定自振交点。点为稳定自振交点。振幅振幅X X增大侧取点作为增大侧取点作为“(-1,j0)(-1,j0)”，连，连接接“(-1,0j)(-1,0j)”与原点，与原点， “负实轴负实轴”a a点为不稳定自
10、振交点点为不稳定自振交点b b点为稳定自振交点点为稳定自振交点负实轴法负实轴法c c点点: :不稳定自振交点不稳定自振交点a a点点: :不稳定自振交点不稳定自振交点 b b点点: :稳定自振交点稳定自振交点具有饱和特性的非线性系统具有饱和特性的非线性系统X Xa a时时X X 时时负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹= =实轴上（实轴上（-1/k, -)-1/k, -)。G G1 1(j(j ) )轨迹不与负倒描述函数轨迹相轨迹不与负倒描述函数轨迹相交交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j ) )轨迹与负倒描述函数轨迹相交轨迹与负倒描述函数轨迹相交b b点点: :稳定自振交点稳定自振
11、交点( ( b b， A Ab b) )具有死区特性的非线性系统具有死区特性的非线性系统X Xa a时时X X 时时负倒描述函数轨迹负倒描述函数轨迹= =实轴上（实轴上（-,-1/k)-,-1/k)。G G1 1(j(j ) )轨迹不与负倒描述函数轨迹不与负倒描述函数轨迹相交轨迹相交不存在自持振荡不存在自持振荡G G2 2(j(j ) )轨迹与负倒描述函数轨轨迹与负倒描述函数轨迹相交迹相交b b点点: :不稳定自振交点不稳定自振交点具有间隙特性的非线性系统具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为负倒描述函数为 G G平面上一条曲线。平面上一条曲线。X X 时时G G1 1(j(j ) )轨迹不与
12、负倒描述函轨迹不与负倒描述函数轨迹相交数轨迹相交不存在自持不存在自持振荡振荡G G2 2(j(j ) )轨迹与负倒描述函轨迹与负倒描述函数轨迹相交数轨迹相交b b点点: :稳定自振交点稳定自振交点 b b A Ab b具有理想继电器特性的非线性系统具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴负倒描述函数轨迹为整个负实轴2 2）如有数个交点）如有数个交点 必有稳定的自振交点必有稳定的自振交点1 1）如只有一个交点）如只有一个交点 必为稳定的自振交点必为稳定的自振交点具有滞环继电器特性的非线性系统具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。负倒描述函数
13、为第三象限内平行于横轴的一组直线。3 3）单边滞环宽度）单边滞环宽度 h h增加增加 负倒描述函数轨迹向下移负倒描述函数轨迹向下移动动 自持振荡频率将低，振幅自持振荡频率将低，振幅增大增大2 2）如有数个交点）如有数个交点 必有稳定的自振交点必有稳定的自振交点1 1）如只有一个交点）如只有一个交点 必为稳定的自振交点必为稳定的自振交点h2h1试求：试求：当当K K1010时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；自持振荡的振幅和频率；当当K K为何值时，系统处于稳定边界状态。为何值时，系统处于稳定边界状态。非线性饱和特性参数非线性
14、饱和特性参数 a=1 a=1 、k=2k=2相交于稳定自振交点相交于稳定自振交点m mX Xa a时时X X 时时负倒描述函数轨迹为实轴上（负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5-0.5，-)-)。a/X=0.24X=4.38X=4.38非线性饱和特性参数非线性饱和特性参数 a=1 a=1 、k=2k=2稳定自振交点稳定自振交点m:m:临界状态下，轨迹在负实轴上的交点临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n nK=3非线性系统的校正非线性系统的校正！改变！改变G(j G(j ) )！改变！改变N(A)N(A)试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何
15、消除之？K K2020，死区继电器特性死区继电器特性M M3 3，a al l。Aa=1A G(jG(j ) )轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值G(jG(j ) )轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：a a不稳定自振交点不稳定自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点a a不稳定自振交点不稳定自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.3如要求稳定如要求稳定1 1）改变）改变G(j G(j ) )调整调整K K2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M M取取a=1a=1、M=2M=2
