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1、第一节第一节 不等关系与不等式不等关系与不等式1. 不等式的定义：用不等号 连接 的式子叫做不等式. 、两个数2. 不等式的基本性质(1) abbb,bcac;(3) aba+cb+c;(4) ab,c0acbc;(5) ab,c0acb,cda+cb+d;(7) ab0,cd0acbd;(8) ab0,nN*,n1anbn, .基础梳理基础梳理或代数式3. 实数比较大小的方法 (1)a-b0 ab; (2)a-b=0 a=b; (3)a-b0 a 至多 小于 ”、“b,则acbc2,则ab;若ababb2;若cab0,则 ;若ab, ,则a0,bbc2知c0,又c20,则ab,故为真.中，由
2、 ab, ab bb2, 由 aab,a2abb2为真.中，由ab,得-a-b,c-aab0,0c-a 0.又ab0, 为真.中，由aba-b0, 0,又a-b0,abb,a0,bb0,cd0,e0,求证： 证明：cd-d0.又ab0,a-cb-d0, 又e0, ,即 题型三题型三 比较大小比较大小【例3】设xy0，试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小.解 xy0,xy0,x-y0, 学后反思 （1）作差法步骤：作差，变形，判断差的符号，结论.作商法步骤：作商，变形，判断商与1的大小关系，结论.分析 作差，通过分解因式判断差的符号.（2）作差法的目的是判断差的符号，而
3、作商法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形，常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等.有时等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的，这也是一种变形技巧.(3)当两个代数式正负不确定且为多项式形式时常用作差法比较大小，当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商法.举一反三举一反三3. 设a、b是不相等的正数， ,试比较A、G、H、Q的大小.解析： a,b为不相等的正数, ,即HG. 由 ,即GA.由 即AQ .综上可知，当a、b是不相等的正数时，HGAQ.题型四题型四 利用不等式性质求范围利用不等式性质求范围【例4】(14分)设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)
4、4,求f(-2)的取值范围.分析 易知1a-b2，2a+b4,只要将f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出来，再利用不等式性质求解4a-2b的取值范围即可.解方法一：设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数).2则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, .4于是得 m+n=4, m=3, n-m=-2,解得 n=1, .6f(-2)=3f(-1)+f(1). .9又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10, .12故5f(2)10. .14方法二：由 f(-1)= a-b, f(1)= a+b, 得 a= f(
5、-1)+f(1),3 b= f(1)-f(-1),6f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 9又1f(-1)2,2f(1)4, .1253f(-1)+f(1)10,5f(-2)10. .14学后反思 由af1(x1,y1)b,cf2(x1,y1)d,求g(x1,y1)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2（x1,y1)，用恒等变形求得p,q,再利用不等式的性质求得g(x1,y1)的范围.此外，本例也可用线性规划的方法来求解.举一反三举一反三4. 已知 ，求 , 的取值范围.解析： , ,+得-+， , .又 ,-, 又, , 易错警示易错
6、警示已知2a3,1b2,求a+b,a-b, 的取值范围.错解 2a3,1b2,3a+b5,1a-b1,2 .错解分析 在运用不等式性质时忽视了性质成立的必要条件;另外，同向不等式相加，不等号方向不变，相减、相除则行不通.正解 2a3,1b2,3a+b5.又-2-b-1,0a-b2.又 1,1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可
7、以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.
8、分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P
9、 |及 的大小.解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得
10、到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 8以AB为直径的圆过椭圆的右顶
11、点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). 14学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这
12、是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长
13、为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0xr).S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段
14、AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2.易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为 12. (2008北京）已知菱形ABCD
15、的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
