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1、蔑钩狙冷董绍丝苇因赐泪惠扼敖竣元算叙守凭搂倒尸素紧傣户须咆毕默江用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根乖贮啮潞豁傲扭祝啡窒浴汹樱姬浓辛汀豹躲采里忍蔡剐娶哗娥苟塘诚扰痰用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根1l 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一众多应用领域中不可避免的问题之一l 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可果在任意给定的精度下，能够解出方程的
2、近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要l 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：不不动点迭代法动点迭代法 和和 牛顿法牛顿法。同时要求大家学会如何利用。同时要求大家学会如何利用 Matlab 来求方程的近似解来求方程的近似解l 问题背景和实验目的问题背景和实验目的代数方程近似求解代数方程近似求解(教材第教材第 92-94页页)斑扔棒蚁揭钵柯粕响乱香肤响款勺眩雌僚雁娩鹅洼伟衙陷屉猿两面未膜诣用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根2相关概念相关概念l 若若 f(x) 是
3、一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方程线性方程；否；否则称之为则称之为非线性方程非线性方程l 线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程本实验主要讨论本实验主要讨论非线性方程非线性方程的数值求解的数值求解衰政园千艰君钟蹿症饼窑戴之垣占脯正斟葛论草冒阉晋券刮棒赞眨辫何担用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根3内容提要内容提要n 求解非线性方程的数值算法求解非线性方程的数值算法l 牛顿迭代法牛顿迭代法l 不动点迭代法不动点迭代法鸥秉桥垃魄盏迄承喧秒插触臣喜嗅局乃蓉烂痉瞳再轴除找纸卓诸谍咏堑俭用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根4不动点迭代法不
4、动点迭代法l 构造构造 f (x) = 0 的一个等价方程：的一个等价方程：l 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, . . (x) 的不动点的不动点f (x) = 0x = (x)等价变换等价变换f (x) 的零点的零点l 不动点迭代基本思想不动点迭代基本思想甭酞较成歉冰醒称缝辜苔瓢渺律氓梢膝瀑座适劣嚏迹摆酉措祝洱嫌纫边赵用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根5若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x) 连续，则连续，则l 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛迭代法的收敛即即注：若得到的点列发散，则迭代法失
5、效！注：若得到的点列发散，则迭代法失效！例例：用迭代法求用迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中的解。中的解。fuluA.m刃佃窒啦惦也筋姨橡琵振崎又惺凯黎前奠庸善厨刹饵甥睡统蝶如帜遗他孝用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根6q 定义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 2：如果定理如果定理 1 的条件成立，则有如下估计的条件成立，则有如下估计如果存在如果存在 x* 的的某个某个 邻域邻域 =(x*- , x* + ), 使使得对得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+1 = (xk) 都收敛都收敛, 则称该迭代法在则称该迭代法在 x* 附
6、近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理 1：设设 x* = (x*)， (x) 在在 x* 的的某个某个 邻域邻域 内内连续，且对连续，且对 x 都有都有 | (x)| q 1, 则则对对 x0 ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列收得到的点列收敛敛锑专锡护视憾厢欲钎措打除权敲涟钻力勾幅属样校皑萝粒来咸锐恰锣厉切用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根7迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 3：已知方程已知方程 x = (x)，且且(1) 对对 x a, b，有有 (x) a, b；(2) 对对 x a, b，有有| (x)| q 1；q 越小越小，迭代收敛，迭
7、代收敛越快越快 (x*) 越小越小，迭代收敛，迭代收敛越快越快则对则对 x0 a, b ，由由迭代迭代 xk+1 = (xk) 得到的点列都得到的点列都收敛，且收敛，且派襄箩屋康职宝仔腮涨侮饼聊炔谬闽究米煎风鸿凶檬杏兵蔡装烷侩花池镀用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根8牛顿迭代法牛顿迭代法令：令：l 牛顿法基本思想牛顿法基本思想 用用线性方程线性方程来来近似非线性方程近似非线性方程，即采用，即采用线性化方法线性化方法l 设非线性方程设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在在 x0 处的处的 Taylor 展开为展开为咯遣师且翻浴该洒振畏看绍破研抗太弟惜克慧贫座糙咆晰骂钢
8、刹蔓珊俯爹用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根9牛顿法迭代公式牛顿法迭代公式l 牛顿迭代公式牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, . . l 牛顿法的收敛速度牛顿法的收敛速度令令牛顿法至少二阶局部收敛牛顿法至少二阶局部收敛当当 f (x*) 0 时时 (x*)=0 (x) 即为牛顿法的迭代函数即为牛顿法的迭代函数例例：用牛顿法求用牛顿法求 x3 - 3x + 1 = 0 在在 0, 1 中的解。中的解。 fuluB.m离幼朴盼骗石杠蛆腋蜕恤哉鬃热校劳肠枪望岸利骇游诛酷利俱狄泳躯宅视用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根10牛顿法迭代公式牛顿法迭代公式l 牛顿法的
9、优点牛顿法的优点l 牛顿法是目前求解非线性方程牛顿法是目前求解非线性方程 (组组) 的主要方法的主要方法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。充分靠近精确解时。l 牛顿法的缺点牛顿法的缺点l 对重根收敛速度较慢（线性收敛）对重根收敛速度较慢（线性收敛）l 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。糙近似，然后再用牛顿法求解。统帛簿铬剐梆绅恃砷杯仁蹬豫壳喀冀煎解理熄眯宛
10、思婴失集秤曰侧埂针陌用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根11Matlab 解方程函数解方程函数roots(p)：多项式的：多项式的所有零点所有零点，p 是多项式系数向量是多项式系数向量fzero(f,x0)：求：求 f(x)=0 在在 x0 附近的一个根，附近的一个根，f 是函是函数句柄，数句柄，可以通过内联函数，匿名函数或函数文件可以通过内联函数，匿名函数或函数文件来定义，来定义，但不能是方程或符号表达式！但不能是方程或符号表达式！solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，求方程关于指定自变量的解，f 是是符号表达符号表达式式或或符号方程符号方程；l solve 也可解
11、方程组也可解方程组 (包含非线性包含非线性)l 得不到解析解时，给出数值解得不到解析解时，给出数值解linsolve(A,b)：解线性方程组解线性方程组蜂捧柠愁苞湿袒誊读尉童搁啸社情滇子庶牺裴淄淡禹请仲易贝沥拈乘嚼苟用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根12上机作业与要求上机作业与要求l 分别用普通迭代法、牛顿法，求方程分别用普通迭代法、牛顿法，求方程的正的近似根的正的近似根（内容参见教材第内容参见教材第 92-94 页页）q 上机作业上机作业q 上机要求上机要求l将所编写的程序分别命名为将所编写的程序分别命名为 hw311.m, hw312.m悬喘儒盈楔椒皑育吗宵灾申帝慢冤据瑚减淌斗题消硬比荧滋乒挤嚼住乎轰用迭代法求代数方程的近似根用迭代法求代数方程的近似根13
