投资学屠新曙著第二章课件

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1、第二章第二章 证券的收益及其度量证券的收益及其度量1投资学屠新曙著第二章本章的主要内容本章的主要内容n2.1 业绩表现业绩表现 n2.2 单期收益率单期收益率n2.3 多期收益率多期收益率n2.4 对数收益率对数收益率 n2.5 预期收益率预期收益率 2投资学屠新曙著第二章收益与风险的关系收益与风险的关系n在证券投资活动中，收益与风险是其核心问题。在证券投资活动中，收益与风险是其核心问题。n人们之所以放弃消费，而投资于各种证券，就是为人们之所以放弃消费，而投资于各种证券，就是为了获得投资收益。了获得投资收益。n证券投资收益不是在进行投资的时候就能获得的，证券投资收益不是在进行投资的时候就能获得

2、的，而是在投资一段时间后才能获得的，而且在一般情而是在投资一段时间后才能获得的，而且在一般情况下，投资收益是难以确定的，也就是说，证券投况下，投资收益是难以确定的，也就是说，证券投资活动是一项有风险的活动。资活动是一项有风险的活动。n投资风险可能来自于外部客观条件的变化，也可能投资风险可能来自于外部客观条件的变化，也可能来自于投资者自己的决策。来自于投资者自己的决策。3投资学屠新曙著第二章n在投资活动中，投资者总是希望自己的投资收益越大越好，在投资活动中，投资者总是希望自己的投资收益越大越好，同时希望自己的投资风险越小越好。同时希望自己的投资风险越小越好。n在现实生活中，收益与风险是并存的，市

3、场上很少有低风在现实生活中，收益与风险是并存的，市场上很少有低风险高收益的证券。险高收益的证券。n投资者在证券投资过程中应遵循两个投资者在证券投资过程中应遵循两个原则原则：n在风险相同的证券中选择收益较高的资产；在风险相同的证券中选择收益较高的资产；n在收益相同的证券中选择风险较小的资产。在收益相同的证券中选择风险较小的资产。n计算和预测各种证券的投资收益和度量它们的投资风险是计算和预测各种证券的投资收益和度量它们的投资风险是投资者在进行证券投资之前必须要做的一项重要工作。投资者在进行证券投资之前必须要做的一项重要工作。n任何机构和个人进行在证券投资前，都必须计算证券在一任何机构和个人进行在证

4、券投资前，都必须计算证券在一定时期内的收益率，并以此为基础来估计该证券的风险。定时期内的收益率，并以此为基础来估计该证券的风险。4投资学屠新曙著第二章3.1 业绩表现业绩表现n金融风险通常通过价格的变化来测量，如资产组合的风金融风险通常通过价格的变化来测量，如资产组合的风险就是指在一定的持有期及给定的概率水平下该资产组险就是指在一定的持有期及给定的概率水平下该资产组合价格的最大可能变动。合价格的最大可能变动。n尽管人们一向对证券的价格感兴趣，但事实上证券的业尽管人们一向对证券的价格感兴趣，但事实上证券的业绩表现却是用收益率或价格变动来衡量的。这是因为：绩表现却是用收益率或价格变动来衡量的。这是

5、因为：n价格是一个绝对的数值，无法反映证券的业绩变化，价格是一个绝对的数值，无法反映证券的业绩变化，我们不能根据价格就说市场报价为￥我们不能根据价格就说市场报价为￥6/每股的股票每股的股票A的未的未来收益就比市场报价为￥来收益就比市场报价为￥9/每股的股票每股的股票B的未来收益高。的未来收益高。n从统计角度来看，价格具有的一些性质，如非平稳性，从统计角度来看，价格具有的一些性质，如非平稳性，使建模过程更为复杂、困难；而价格变动序列和收益率使建模过程更为复杂、困难；而价格变动序列和收益率序列则比价格序列具有更好的性质，更易于建模。序列则比价格序列具有更好的性质，更易于建模。5投资学屠新曙著第二章

6、n与与价价格格本本身身不不同同，价价格格变变动动可可以以在在不不同同的的金金融融资资产产之之间间进进行行比比较较。例例如如，在在指指定定时时间间段段，股股票票A的的价价格格涨涨了了￥0.6，而而股股票票B的的价价格格跌跌了了￥0.2，那么我们可以说，股票那么我们可以说，股票A的业绩表现强于股票的业绩表现强于股票B。n收收益益率率则则从从另另一一方方面面更更好好地地体体现现了了金金融融资资产产的的业业绩绩表表现现。因因为为收收益益率率是是按按初初始始价价格格标标准准化化了了的的一一种种不不考考虑虑规规模模的的标标量量指指标标，所所以以它它使使得得价价格格不不同同的证券之间进行业绩比较成为可能。的

7、证券之间进行业绩比较成为可能。6投资学屠新曙著第二章例例1：股票：股票A、B的的价格、价格变动和收益率如下表价格、价格变动和收益率如下表股股 票票 初始价格初始价格 最终价格最终价格 价格变动价格变动收益率收益率A￥2.0￥2.5￥0.50.5/2*100%=25%B￥4.0￥4.8￥0.80.8/4*100%=20%n虽然股票虽然股票B的价格变动大于股票的价格变动大于股票A的价格变动，但由于的价格变动，但由于股票股票A的收益率是的收益率是25%，而股票，而股票B的收益率是的收益率是20%，因，因此我们可以断定股票此我们可以断定股票A的业绩比股票的业绩比股票B的更好。的更好。n所以无论是在金融

8、研究还是在金融实践中，人们更关所以无论是在金融研究还是在金融实践中，人们更关注的是证券的价格变动和收益率而非价格本身。注的是证券的价格变动和收益率而非价格本身。7投资学屠新曙著第二章投资目的投资目的n投资者的投资目的就是为了获得投资收益。投资者的投资目的就是为了获得投资收益。n对投资者来说，在保证本金安全的前提下，不仅对投资者来说，在保证本金安全的前提下，不仅希望得到稳定的红利或利息收入，还希望得到投希望得到稳定的红利或利息收入，还希望得到投资资金的增值收入。资资金的增值收入。n这就需要对证券投资项目进行收益率的计算与度这就需要对证券投资项目进行收益率的计算与度量。量。8投资学屠新曙著第二章2

9、.2 单期收益率单期收益率n单期（一期）收益率是收益率的一种基本形式，也是价格单期（一期）收益率是收益率的一种基本形式，也是价格变动中最简单的形式。变动中最简单的形式。n用用Pt 表示时间表示时间t 的证券价格，的证券价格，Pt1表示时间的前一期表示时间的前一期 t-1的的证券价格，则该证券在时间段证券价格，则该证券在时间段 t-1, t 上的单期价格变动上的单期价格变动可定义为：可定义为：（2.1）n这里，时间期限并不限于某一固定不变的区间，它可以是这里，时间期限并不限于某一固定不变的区间，它可以是一天、一周、一个月或其他任何一个选定的时间段。一天、一周、一个月或其他任何一个选定的时间段。n

10、这样，证券的第这样，证券的第t 期的单期收益率期的单期收益率rt可以定义为：可以定义为：（2.2）9投资学屠新曙著第二章n事事实实上上，收收益益率率是是相相对对的的价价格格变变动动，是是按按初初始始价价格格标标准准化化了了的的一一种种不不考考虑虑规规模模的的标标量量指指标标，通通常常用用百百分分数数形形式式表示的。表示的。n如果考虑利息或者红利支付，则第如果考虑利息或者红利支付，则第t 期收益率可调整为如期收益率可调整为如下形式：下形式：（2.3）n其中，其中，Dt 表示在时间段表示在时间段t-1, t 上支付的利息或红利。上支付的利息或红利。n公公式式（2.2）或或（2.3）反反映映了了证证

11、券券价价格格变变化化和和收收益益率率之之间间的的关关系系。已已知知证证券券的的单单期期收收益益率率，可可以以很很容容易易地地导导出出该该时间段上证券价格变动的大小。时间段上证券价格变动的大小。10投资学屠新曙著第二章n根根据据公公式式（2.3），我我们们就就可可以以得得到到时时间间段段t-1, t上上证证券的价格变化：券的价格变化：（2.4）n由由公公式式（2.1）和和（2.4），我我们们可可以以得得到到时时间间的的证证券券价价格：格：（2.5）n值值得得注注意意的的是是，尽尽管管收收益益率率的的定定义义与与绝绝对对量量无无关关，它它独独立立于于所所考考察察的的证证券券的的价价格格水水平平，但

12、但收收益益率率也也是是有有数数量单位的，它总是与某个时间区间有关系。量单位的，它总是与某个时间区间有关系。n因因此此，“收收益益率率为为15%”的的说说法法是是对对某某证证券券业业绩绩表表现现的的不完整表述，因为它没有确定具体的时间范围。不完整表述，因为它没有确定具体的时间范围。n没有指明时间段的收益率是没有任何意义的。没有指明时间段的收益率是没有任何意义的。11投资学屠新曙著第二章单期收益率的缺陷单期收益率的缺陷n在在计计算算证证券券的的单单期期收收益益率率时时，如如果果在在对对应应的的时时间间期期限限内内，除除了了在在期期末末以以外外的的其其它它时时点点上上再再没没有有其其它它收收入入，那

13、那么么用用单单期期收收益率来确定一种证券的业绩是很有用的。益率来确定一种证券的业绩是很有用的。n但但是是股股票票红红利利在在通通常常情情况况下下不不只只是是一一年年发发放放一一次次，而而单单期期收收益率却没有考虑这些股票红利的时间价值。益率却没有考虑这些股票红利的时间价值。n一一位位投投资资者者宁宁愿愿在在年年初初而而不不是是在在年年底底收收到到股股票票红红利利。相相应应地地，当当某某个个人人投投资资于于债债券券时时，他他也也必必须须考考虑虑累累积积的的应应计计利利息息，也也就就是是说说，在在二二级级市市场场上上买买卖卖债债券券时时，买买者者除除向向卖卖者者支支付付债债券券价价格格外外，还还应

14、应支支付付从从上上次次利利息息支支付付日日到到债债券券出出售售日日这这段段时时期期所累积的利息。所累积的利息。n这这些些事事实实导导出出了了不不同同时时间间范范围围下下收收益益率率之之间间关关系系的的问问题题，即即多期收益率问题。多期收益率问题。12投资学屠新曙著第二章2.3 多期收益率多期收益率n令令P0表示一只证券（比如股票）在第一天开始时的表示一只证券（比如股票）在第一天开始时的价格，价格，P1表示该证券在第一天结束时的价格，表示该证券在第一天结束时的价格，Pk表表示该资产第示该资产第k天结束时的价格。假设利息和红利支天结束时的价格。假设利息和红利支付为零，则由公式（付为零，则由公式（2

15、-5），可得：），可得：n其中，其中，r1表示第一天的日收益率；表示第一天的日收益率；r2表示第二天的表示第二天的日收益率；日收益率；rk表示第表示第k天的日收益率。天的日收益率。13投资学屠新曙著第二章n通过迭代，我们得到：通过迭代，我们得到：（2.6）n或其等价形式或其等价形式（2.7）n根据公式（根据公式（2-2），我们可以得到该证券的），我们可以得到该证券的k日收益日收益率率r(k)（2.8）n于是，由公式（于是，由公式（2-7）和（）和（2-8），我们可得），我们可得（2.9）14投资学屠新曙著第二章多期收益率的本质多期收益率的本质n公式（公式（2-9）说明我们可以从单期收益率构造多

16、期收益率。）说明我们可以从单期收益率构造多期收益率。n公公式式（2-9）不不仅仅是是一一个个数数学学上上的的等等价价形形式式，而而且且还还定定义义了了一一个个无无套套利利条条件件。在在没没有有交交易易费费用用的的情情况况下下，一一个个“买买入入并且持有证券并且持有证券”的策略等价于的策略等价于“不断买卖证券不断买卖证券”的策略。的策略。n上述两种策略分别体现在公式（上述两种策略分别体现在公式（2-9）的等号左侧和右侧。）的等号左侧和右侧。n从从公公式式（2-9）中中，我我们们可可以以看看出出多多期期收收益益率率的的计计算算充充分分考考虑了资金的时间价值。虑了资金的时间价值。n公公式式（2-9）

17、假假定定了了投投资资者者在在实实现现现现金金流流入入时时，立立即即将将这这部部分分现现金金再再投投入入到到现现存存的的证证券券上上，所所以以多多期期收收益益率率是是以以复复利利思想计算收益率的。思想计算收益率的。n从从本本质质上上说说，多多期期收收益益率率是是解解决决这这样样一一个个问问题题：投投资资者者在在第第一一期期期期初初投投资资1元元，经经过过若若干干期期之之后后，这这1元元在在最最后后一一期期期末的价值是多少？期末的价值是多少？15投资学屠新曙著第二章多期收益率的计算多期收益率的计算n有两种有两种方法方法可以计算多期收益率：综合法和指标法。可以计算多期收益率：综合法和指标法。n综合法

18、使用的是各个时期的单期收益率和公式（综合法使用的是各个时期的单期收益率和公式（2.9）n指标法则是重点强调：现金收入应该立即被用来购买额指标法则是重点强调：现金收入应该立即被用来购买额外的证券。外的证券。n两种方法的计算结果是一致的。两种方法的计算结果是一致的。n指标法有助于我们用直观的方法来理解多期收益率指标法有助于我们用直观的方法来理解多期收益率n综合法在实际上计算起来比较方便和简单综合法在实际上计算起来比较方便和简单16投资学屠新曙著第二章n例例2：假设一个投资者正投资于：假设一个投资者正投资于ABC公司的股票。公司的股票。表表2-2(a)给出了计算多期收益率所需的有关数据：给出了计算多

19、期收益率所需的有关数据：日日 期期每股每股现现金金红红利利发发放放红红利利时时的股票价格的股票价格1月1日2月15日5月15日8月15日11月15日12月31日￥2￥2￥2￥2￥100￥80￥95￥105￥120￥100表表2-2(a) ABC股票的有关数据股票的有关数据可可以以看看出出，ABC公公司司每每季季度度发发放放现现金金红红利利，并并且且它它的的股股票票价价格格波波动动幅幅度度比比较较大大。该该年年的的前前一一段段时时间间其其股股票票价价格格下下跌跌，然然后后再再上上升升，最最后后在在年年末末时时，其其股股票票价价格格又又下下跌跌到到年初的水平年初的水平17投资学屠新曙著第二章n表表

20、2-2(b) 用综合法计算用综合法计算ABC公司股票的多期收益率公司股票的多期收益率n第一个时期（从第一个时期（从1月月1日到日到2月月15日）的单期收益率是日）的单期收益率是日日 期期 时时 期期单期收益率单期收益率 多期收益率多期收益率 1月月1日日2月月15日日5月月15日日8月月15日日11月月15日日12月月31日日12345-18%21.25%12.63%16.19%-16.67%-18%0.57%11.98%30.11%8.42%综合法计算多期收益率综合法计算多期收益率18投资学屠新曙著第二章n第二个时期（从第二个时期（从2月月15日到日到5月月15日）的单期收益率是日）的单期收

21、益率是n这样，在这样，在1月月1日到日到5月月15日这段时间内，日这段时间内，ABC公司股票公司股票的多期收益率就是：的多期收益率就是：(1-18%)(1+21.25%)-1=0.57%n重复上述过程，我们可以得出该公司股票全年的多期收重复上述过程，我们可以得出该公司股票全年的多期收益率为益率为8.42%（见表（见表2-2(b)最后一栏的最后一项）。最后一栏的最后一项）。19投资学屠新曙著第二章n注注意意，如如果果我我们们用用公公式式（2.3）来来计计算算单单期期收收益益率，那么率，那么ABC公司股票全年的收益率就是：公司股票全年的收益率就是：n怎怎样样解解释释存存在在8.42%与与8%之之间

22、间的的42个个基基本本点点的的差异？差异？n我我们们可可以以通通过过用用指指标标法法计计算算多多期期收收益益率率来来回回答答这这个问题。个问题。20投资学屠新曙著第二章指标法计算多期收益率指标法计算多期收益率n表表2-2(c) 用指标法计算用指标法计算ABC公司股票的多期收益率公司股票的多期收益率日日 期期每股的现每股的现金红利金红利发放红利发放红利时的股票时的股票价格价格用红利新购用红利新购买的股票买的股票拥有的股拥有的股票数量票数量1月1日2月15日5月15日8月15日11月15日12月31日￥2￥2￥2￥2￥100￥80￥95￥105￥120￥1002.52.15791.99351.77

23、75100102.5104.6579106.6519108.4289108.428921投资学屠新曙著第二章指标法计算多期收益率指标法计算多期收益率n指标法强调投资者将其所获得的红利再去购买股票，例指标法强调投资者将其所获得的红利再去购买股票，例如，在如，在2月月15日，股票投资者每股获得￥日，股票投资者每股获得￥2的红利，且的红利，且他可以以每股￥他可以以每股￥80的价格购买新股票。的价格购买新股票。n我们可以从表我们可以从表2-2(c)中看出，在中看出，在2月月15日，拥有日，拥有100股股ABC公司股票的股东可以获得￥公司股票的股东可以获得￥200的红利，并且他还的红利，并且他还可以将这

24、￥可以将这￥200购买购买2.5股新股票。股新股票。n在在5月月15日，当日，当ABC公司可发放每股￥公司可发放每股￥2的红利时，这的红利时，这位股东除了可以按其拥有的位股东除了可以按其拥有的100股原有股票来领取红利股原有股票来领取红利以外，还可以按其在以外，还可以按其在2月月15日购买日购买2.5股的新股票来领股的新股票来领取红利。该股东在取红利。该股东在5月月15日获得红利后又可以将其获得日获得红利后又可以将其获得的红利在当天以每股￥的红利在当天以每股￥95的价格购买股票。的价格购买股票。n表表2-2(c)给出了贯穿全年的这个重复投资的过程。给出了贯穿全年的这个重复投资的过程。22投资学

25、屠新曙著第二章n在第在第i期期末时，投资者用红利新购买的股票数量期期末时，投资者用红利新购买的股票数量ASi可以用公式（可以用公式（2.10）来表达：）来表达：（2.10）n其中，其中，Ni-1表示投资者在第表示投资者在第i-1期期末所拥有的股票期期末所拥有的股票数量。数量。n将投资者原来拥有的数量加上新购买的股票数量，将投资者原来拥有的数量加上新购买的股票数量，便可得到他现在所拥有的股票数量，即：便可得到他现在所拥有的股票数量，即：Ni =Ni-1 +ASin从表从表2-2(c)中我们可以看到，当股票价格较低时，中我们可以看到，当股票价格较低时，投资者可以用红利购买较多的股票；相反，当股投资

26、者可以用红利购买较多的股票；相反，当股票价格较高时，只能购买较少的股票。票价格较高时，只能购买较少的股票。23投资学屠新曙著第二章n在在这这个个例例子子里里，因因为为在在年年初初股股票票价价格格下下跌跌，所所以以投投资资者者能能用用其其获获得得的的红红利利来来购购买买较较多多的的股股票票；进进而而他他又又可可以以在在以以后后获获得得更更多多的的红红利利。到到了了年年末末时时，该该投投资资者者已已经经拥拥有有了了价价格格为为每每股股￥100、数数量量约约为为108.43股股的的股股票票资资产产。这这样样，我我们们就就可可以以用用该该投投资资者者在在年年末末所所拥拥有有股股票票的的市市场场价价值值

27、除除以以他他在在年年初初所所拥拥有有股股票票的的市市场场价价值值，然然后后减减1，得到得到ABC公司股票在这一年的多期收益率公司股票在这一年的多期收益率n用用指指标标法法计计算算多多期期收收益益率率的的结结果果基基本本上上与与综综合合法法计计算算的的结果是相同的。结果是相同的。n公公式式（2-9）表表示示的的是是一一种种对对时时间间的的归归并并，即即由由单单日日收收益率构造出多日收益率。益率构造出多日收益率。24投资学屠新曙著第二章截面数据归并截面数据归并n此外，还有另一种数据归并的方法此外，还有另一种数据归并的方法截面数据截面数据归并，即对某一特定时点上的多个证券进行归并归并，即对某一特定时

28、点上的多个证券进行归并n截面数据归并可以用来计算资产组合的收益率。截面数据归并可以用来计算资产组合的收益率。包含种证券的组合的收益率是单个证券收益率的包含种证券的组合的收益率是单个证券收益率的加权平均，即加权平均，即（2.11）n其中，其中，rp 表示证券组合的回报；表示证券组合的回报；ri 表示第表示第 i 个证券个证券的收益率，的收益率，wi 表示第表示第 i 个证券在证券组合中所占个证券在证券组合中所占的比重，且的比重，且wi =1。25投资学屠新曙著第二章百分比收益率的缺陷百分比收益率的缺陷n前面给出的单期收益率和多期收益率都是百分比收益率，它前面给出的单期收益率和多期收益率都是百分比

29、收益率，它的含义直观且计算简单，但它存在一些的含义直观且计算简单，但它存在一些缺点缺点：n在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从在金融研究中，我们总是假定证券的收益率（近似）服从正态分布，但如果收益率是按公式（正态分布，但如果收益率是按公式（2.2）定义的话，那么）定义的话，那么收益率的概率密度函数既不会对称也不可能呈现钟形外观。收益率的概率密度函数既不会对称也不可能呈现钟形外观。n对于一个投资者而言，其最大损失就是他的全部投资，不可对于一个投资者而言，其最大损失就是他的全部投资，不可能再多，即所谓有限负债。这样，对证券的持有者而言，最能再多，即所谓有限负债。这样，对证券的持有者而

30、言，最坏的情形是证券的价格跌为坏的情形是证券的价格跌为0，这就意味着单期收益率的变，这就意味着单期收益率的变动范围是动范围是100%到到，这与正态分布的规定不符。，这与正态分布的规定不符。n尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使单期收益率小尽管我们可以通过选取适当的均值和方差，使单期收益率小于于100%的概率变得任意的小，但这个概率不可能为零。的概率变得任意的小，但这个概率不可能为零。n因此，百分比收益率序列不会呈正态分布形式，这就复杂化因此，百分比收益率序列不会呈正态分布形式，这就复杂化了分布形式。了分布形式。26投资学屠新曙著第二章n如果假定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就如果假

31、定单期收益率服从正态分布，那么多期收益率就不可能服从正态分布。不可能服从正态分布。n虽然个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是虽然个正态分布的随机变量的和仍然服从正态分布，但是n个正态分布随机变量的乘积却不服从正态分布。个正态分布随机变量的乘积却不服从正态分布。n周收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态周收益率如果是百分比收益率，那么可以假设它服从正态分布；但如果它是由分布；但如果它是由5个服从正态分布的日收益率的乘积个服从正态分布的日收益率的乘积计算得到的，那么它就不能被认为服从正态分布。计算得到的，那么它就不能被认为服从正态分布。n这就导致了一个悖论。这就导致了一个悖论。

32、n尽管可以认为百分比收益率近似描述了证券价格行为，但尽管可以认为百分比收益率近似描述了证券价格行为，但其理论性质却难以令人满意。尤其是计算跨期复合收益率其理论性质却难以令人满意。尤其是计算跨期复合收益率时，问题会变得很突出，这的确是一个很大的缺陷。时，问题会变得很突出，这的确是一个很大的缺陷。n为此，我们引入为此，我们引入对数收益率对数收益率的概念，使收益率具有满意的的概念，使收益率具有满意的统计性质，从而有效地应用于金融建模过程中。统计性质，从而有效地应用于金融建模过程中。27投资学屠新曙著第二章2.4 对数收益率对数收益率n公式（公式（2.9）定义了一个）定义了一个k天的真实收益率，下面我

33、们就从天的真实收益率，下面我们就从该公式来推导一个新的定义该公式来推导一个新的定义年名义收益率。年名义收益率。n业内人士通常将任一时间期限的收益率通过换算转化为年业内人士通常将任一时间期限的收益率通过换算转化为年名义收益率。名义收益率。n例如，一个例如，一个5%的的6个月真实收益率通常用个月真实收益率通常用10%的年名义收的年名义收益率表示。显然，由公式（益率表示。显然，由公式（2.9）得到的年真实收益率）得到的年真实收益率（10.25%）比年名义收益率（）比年名义收益率（10%）更大。）更大。n给定名义收益率给定名义收益率rn，由公式（，由公式（2.9）可推导出年真实收益率）可推导出年真实收

34、益率re的计算公式：的计算公式：（2.12）28投资学屠新曙著第二章n公式（公式（2.12）中，）中，m是一年内复利的频数。当是一年内复利的频数。当m 趋于无穷趋于无穷大时，大时， 一致收敛到一致收敛到 ，称之为连续复利，于是，称之为连续复利，于是当当m趋于无穷大时，我们就可以得到年真实收益率为趋于无穷大时，我们就可以得到年真实收益率为nrn表示年名义收益率，有表示年名义收益率，有n两边取对数，得：两边取对数，得：（2.13）29投资学屠新曙著第二章n结合（结合（2.12）和（）和（2.13），可得），可得（2.14）n我们将公式（我们将公式（2.14）定义的收益率称为）定义的收益率称为连续复

35、利连续复利收益率收益率，也称为，也称为对数收益率对数收益率。n把公式（把公式（2.13）换成百分比收益率，可得）换成百分比收益率，可得（2.15）n公式（公式（2.15）非常重要，它是定义资产收益率的）非常重要，它是定义资产收益率的另一种方式。另一种方式。30投资学屠新曙著第二章对数收益率的性质对数收益率的性质n在非常短的时间段里，百分比收益率和对数收益率在非常短的时间段里，百分比收益率和对数收益率看上去相等，但是，对数收益率有百分比收益率所看上去相等，但是，对数收益率有百分比收益率所不具备的性质。不具备的性质。n对数收益率的取值范围扩展到整个实数域，不会对数收益率的取值范围扩展到整个实数域，

36、不会违背有限负债原则。违背有限负债原则。n事实上，证券价格的取值范围是从事实上，证券价格的取值范围是从0到到，因此如，因此如果给定果给定Pt-1，则，则Pt/Pt-1的变化范围是的变化范围是0到到。n因此因此n结论结论1：对数收益率更适合于对证券的行为进行建模：对数收益率更适合于对证券的行为进行建模31投资学屠新曙著第二章n公式（公式（2.9）给出了多期复合收益率的定义）给出了多期复合收益率的定义（2.16）n结论结论2：多期对数收益率是单期对数收益率的和。：多期对数收益率是单期对数收益率的和。n通过对数变换，乘法运算就转换成加法运算了，这就使得通过对数变换，乘法运算就转换成加法运算了，这就使

37、得计算更为简单。计算更为简单。n如果单期的对数收益率如果单期的对数收益率rt，rt+1，rt-k+1服从正态分布，服从正态分布，那么多期的对数收益率那么多期的对数收益率rt (k)也是服从正态分布的。也是服从正态分布的。n由于推导时间序列之和的性质比推导时间序列之积的性由于推导时间序列之和的性质比推导时间序列之积的性质要容易得多，所以对数收益率的定义使收益率的统计建质要容易得多，所以对数收益率的定义使收益率的统计建模变得更为简单。模变得更为简单。n采用对数收益率形式还有一些其它的原因。比如，所谓采用对数收益率形式还有一些其它的原因。比如，所谓的的“西格尔悖论西格尔悖论”（Siegels par

38、adox），交叉汇率，等），交叉汇率，等等，我们在这里就不一一列出了。等，我们在这里就不一一列出了。32投资学屠新曙著第二章2.5 预期收益率预期收益率n计算证券的收益率是为选择投资对象提供一个重要计算证券的收益率是为选择投资对象提供一个重要依据。依据。n但是，由于市场是不断变化的，各种证券的收益率但是，由于市场是不断变化的，各种证券的收益率在不同时期是不一致的，因此在投资者做出证券投在不同时期是不一致的，因此在投资者做出证券投资的决策之前，还要对各种证券的未来收益做出预资的决策之前，还要对各种证券的未来收益做出预测，即要计算各种证券的测，即要计算各种证券的预期收益率预期收益率。33投资学屠新

39、曙著第二章2.5.1 预期收益率的定义预期收益率的定义n预期收益率是证券各种可能的收益率与其相应概率预期收益率是证券各种可能的收益率与其相应概率的加权平均值，计算公式为：的加权平均值，计算公式为：（2.17）n其中，其中，N是某个证券可能产生的收益率的个数，是某个证券可能产生的收益率的个数，ri 是该证券可能产生的收益率，是该证券可能产生的收益率，hi 是产生是产生ri 的概率，的概率，满足满足n在现实社会中，我们并不能看到证券收益率的潜在在现实社会中，我们并不能看到证券收益率的潜在概率，因此必须通过其它方式来度量证券的预期收概率，因此必须通过其它方式来度量证券的预期收益率。益率。34投资学屠

40、新曙著第二章n例例3：某证券的收益率及其发生的概率如下表：某证券的收益率及其发生的概率如下表n由公式（由公式（2.17），我们可以求得这种证券的预期），我们可以求得这种证券的预期收益率为收益率为可能的可能的收益率收益率（ri） -2%4%8%10%14%19%21%28%32%35%概率概率（hi） 0.050.080.100.130.300.100.100.050.050.0435投资学屠新曙著第二章预期收益率的估计预期收益率的估计nMarkowitz及大多数金融研究者是以最近时期内收益及大多数金融研究者是以最近时期内收益率的样本均值：率的样本均值：n来估计预期收益率的，它假定收益率的概率不

41、变。来估计预期收益率的，它假定收益率的概率不变。n用这种方法得到的估计值较为粗略，对收益率的变动用这种方法得到的估计值较为粗略，对收益率的变动灵敏度几乎为灵敏度几乎为0，不能反映证券的真正未来收益状况。，不能反映证券的真正未来收益状况。n有鉴于此，为了弥补这些不足之处，我们可以采用时有鉴于此，为了弥补这些不足之处，我们可以采用时间序列的一些预测模型来度量证券的预期收益率。先间序列的一些预测模型来度量证券的预期收益率。先将证券收益率的历史数据按照时间的顺序排列成时间将证券收益率的历史数据按照时间的顺序排列成时间序列序列rt，然后分析它随时间的变化趋势，外推收益率，然后分析它随时间的变化趋势，外推

42、收益率的未来值的未来值预期收益率预期收益率36投资学屠新曙著第二章2.5.2 移动平均模型移动平均模型n当收益率序列由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏当收益率序列由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示发展趋势时，可以采用移动平均模型来度较大，不易显示发展趋势时，可以采用移动平均模型来度量预期收益率。量预期收益率。n移动平均模型有移动平均模型有简单移动模型、加权移动平均模型简单移动模型、加权移动平均模型等。等。n用用简单移动平均模型简单移动平均模型度量证券预期收益率的模型为：度量证券预期收益率的模型为：（2.18）n其中，其中， 为为 的估计值，的估计值，N为移动平均的项数，为

43、移动平均的项数，T为当前为当前时刻，即产生最后一个历史收益率的时刻。时刻，即产生最后一个历史收益率的时刻。37投资学屠新曙著第二章n公式（公式（2.18）表明当时间）表明当时间t向前移动一个时期，就向前移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。个新的平均数。n由于不断地由于不断地“吐故纳新吐故纳新”，逐期向前移动，所以，逐期向前移动，所以称为称为移动平均法移动平均法。n由模型（由模型（2.18）的第一个公式，我们可以得到它）的第一个公式，我们可以得到它的递推公式。的递推公式。（2.19）n利用递推公式（利用递推公式（2.1

44、9）可以大大减少计算量。）可以大大减少计算量。38投资学屠新曙著第二章n在在模模型型（2.18）或或公公式式（2.19）中中，移移动动平平均均的的项项数应该取多少呢？数应该取多少呢？n如如果果N较较大大，则则收收益益率率序序列列的的拟拟合合数数据据的的波波动动就就较较小，但对收益率真实的变化趋势反映也较迟钝。小，但对收益率真实的变化趋势反映也较迟钝。n反反之之，若若N较较小小，则则对对收收益益率率的的真真实实变变化化趋趋势势反反映映就就较较灵灵敏敏，但但这这时时收收益益率率序序列列的的拟拟合合数数据据的的波波动动也就较大，容易把随机干扰作为趋势反映出来。也就较大，容易把随机干扰作为趋势反映出来

45、。n因因此此，N的的选选择择甚甚为为重重要要，N取取多多大大，应应该该根根据据具具体体情情况况做做出出抉抉择择。在在实实用用上上，一一个个有有效效的的方方法法是是取几个取几个N进行试算，比较它们的平均绝对误差：进行试算，比较它们的平均绝对误差：（2.20）n谁的平均绝对误差小，就选择谁。谁的平均绝对误差小，就选择谁。39投资学屠新曙著第二章n简单移动平均模型只适合做短期预测，而且是证券简单移动平均模型只适合做短期预测，而且是证券收益率的发展趋势变化不大的情况。收益率的发展趋势变化不大的情况。n如果证券收益率的发展趋势存在其它的变化，采用如果证券收益率的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均模

46、型就会产生较大的偏差和滞后。简单移动平均模型就会产生较大的偏差和滞后。n在简单移动平均模型中，每期数据在平均中的作用在简单移动平均模型中，每期数据在平均中的作用是等同的。是等同的。n但是，每期数据所包含的信息量并不一样，近期数但是，每期数据所包含的信息量并不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。据包含着更多关于未来情况的信息。n把各期数据等同看待是不尽合理的，应该考虑各期把各期数据等同看待是不尽合理的，应该考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就，这就是是加权移动平均模型加权移动平均模型的基本思想。的基本思想。40投资学屠新曙著第二章加权

47、移动平均模型加权移动平均模型n用加权移动平均模型度量证券预期收益率的公式为：用加权移动平均模型度量证券预期收益率的公式为：（2.21）n其中，其中，N为移动平均的项数，为移动平均的项数，T为当前时刻，即产生最为当前时刻，即产生最后一个历史收益率的时刻，后一个历史收益率的时刻， wt为为rt的权重，它体现了的权重，它体现了相应的相应的r 在加权平均数中的重要性，在加权平均数中的重要性，wt的选择同样具有的选择同样具有一定的经验性。一定的经验性。n一般的原则是：近期数据权重大，远期数据权重小。一般的原则是：近期数据权重大，远期数据权重小。n至于大到什么程度和小到什么程度，完全靠投资者对至于大到什么

48、程度和小到什么程度，完全靠投资者对证券的收益率序列作全面的了解和分析而定。证券的收益率序列作全面的了解和分析而定。41投资学屠新曙著第二章2.5.3 指数平滑模型指数平滑模型n前面介绍的移动平均模型存在两个不足之处：前面介绍的移动平均模型存在两个不足之处：n存贮数据量较大；存贮数据量较大；n对最近的对最近的N期数据等权看待，而对期数据等权看待，而对t-N期以前的数据则完全期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情况。不考虑，这往往不符合实际情况。n指数平滑模型指数平滑模型改进了这两个缺点，它既不需要存贮很多历史改进了这两个缺点，它既不需要存贮很多历史数据，又考虑各期数据的重要性，且使用了全部

49、历史资料。数据，又考虑各期数据的重要性，且使用了全部历史资料。n因此指数平滑模型是移动平滑模型的改进和发展。因此指数平滑模型是移动平滑模型的改进和发展。n考虑到新旧收益率数据对证券预期收益率的影响程度不同，考虑到新旧收益率数据对证券预期收益率的影响程度不同，用指数平滑模型度量证券预期收益率用指数平滑模型度量证券预期收益率R的公式为：的公式为：（2.22） 式中：式中：表示加权系数，介于表示加权系数，介于0与与1之间。之间。42投资学屠新曙著第二章指数平滑的实质指数平滑的实质n把模型（把模型（2.22）的第一个公式依次展开：）的第一个公式依次展开：（2.23）n由于由于 ，当，当 时，时， ，于

50、是公式，于是公式（2.23）变为）变为（2.24）43投资学屠新曙著第二章n由此可见，由此可见， 实际上是实际上是 的的加权平均，权重分别为加权平均，权重分别为,(1-),(1-)2, 按几按几何级数衰减。何级数衰减。n越越近近的的数数据据，权权重重越越大大，越越远远的的数数据据，权权重重越越小小，且且权权重重之之和和为为： 。由由于于加加权权系系数数符符合合指指数数规规律律，又又具具有有平平滑滑数数据据的的功功能能，因因此此称称为为指数平滑指数平滑。44投资学屠新曙著第二章加权系数加权系数的选择的选择n在指数平滑模型中，加权系数在指数平滑模型中，加权系数的的大小规定了在收益率的的大小规定了在

51、收益率的估计值中新数据和原估计值所占的比重。的估计值中新数据和原估计值所占的比重。n的值越大，新数据所占的比重就越大，原估计值所占的的值越大，新数据所占的比重就越大，原估计值所占的比重就越小，反之亦然。因此，比重就越小，反之亦然。因此，的值代表了模型对收益的值代表了模型对收益率序列数据变化的反应速度。率序列数据变化的反应速度。n的值是由投资者根据收益率序列的具体性质而决定的，的值是由投资者根据收益率序列的具体性质而决定的，一般情况下，可遵循如下原则：一般情况下，可遵循如下原则：n如果收益率序列如果收益率序列rt变化波动不大，比较平稳，则变化波动不大，比较平稳，则应应取小一点，比如取小一点，比如

52、0.10.3，使模型能包含较长的收益率序，使模型能包含较长的收益率序列信息；列信息；n如果收益率序列如果收益率序列rt波动较大，则波动较大，则应取大一点，比如应取大一点，比如0.60.8，使模型的灵敏度高些，以便迅速跟上数据变化，使模型的灵敏度高些，以便迅速跟上数据变化45投资学屠新曙著第二章n在实际操作中，可取几个在实际操作中，可取几个值进行试算，比较它们的值进行试算，比较它们的（2.25）n谁的谁的MAE小，就以谁为准来计算证券的预期收益率。小，就以谁为准来计算证券的预期收益率。46投资学屠新曙著第二章时期时期收益率=0.2的估计值=0.5的估计值=0.7的估计值123456786%2%3

53、%1%-2%-1%4%3% 4.00%4.40%3.92%3.74%3.19%2.15%1.52%2.02% 4.00%5.00%3.50%3.52%2.13%0.07%-0.46%1.77% 4.00%5.40%3.02%3.01%1.60%-0.92%-0.98%2.51% 预期收益率R2.22%2.39%2.85%MAE 2.48%2.33%2.07%例例5： 下表是某证券的收益率及其用指数平滑模型计算的预期收益率下表是某证券的收益率及其用指数平滑模型计算的预期收益率计算结果表明，当计算结果表明，当=0.7时，时，MAE最小，故选最小，故选=0.7，此时该证券的预期，此时该证券的预期收益

54、率是收益率是2.85%。47投资学屠新曙著第二章2.5.4 自适应过滤模型自适应过滤模型n自自适适应应过过滤滤模模型型与与移移动动平平均均模模型型、指指数数平平滑滑模模型型一一样样，也也是是以以收收益益率率序序列列的的历历史史数数据据进进行行某某种种加加权权平平均均来来计计算算证证券券的的预预期期收收益益率率的的，它它要要寻寻找找一一组组“最最佳佳”的权重。的权重。n先先用用一一组组给给定定的的权权重重来来计计算算一一个个估估计计值值，然然后后计计算算估估计计误误差差，再再根根据据估估计计误误差差调调整整权权重重以以减减少少误误差差。这这样样反反复复进进行行，直直到到找找出出一一组组“最最佳佳

55、”权权重重，使使误误差减少到最低限度。差减少到最低限度。n这这种种调调整整权权重重的的过过程程与与通通信信工工程程中中过过滤滤传传输输噪噪声声的的过程极为接近，故称为过程极为接近，故称为自适应过滤模型自适应过滤模型。48投资学屠新曙著第二章n计算证券预期收益率的自适应过滤模型为：计算证券预期收益率的自适应过滤模型为：（2.26）n在这里，在这里，wi为为rt-i+1的调整前的权重，的调整前的权重，wi为为rt-i+1的调的调整后的权重，整后的权重，N为权重的个数，为权重的个数，K为学习常数，为学习常数，et+1为第为第t+1期的估计误差。期的估计误差。49投资学屠新曙著第二章n模型（模型（2.

56、26）表明：调整后的一组权重应等于旧的一组权）表明：调整后的一组权重应等于旧的一组权重加上误差调整项，这个调整项包括估计误差、原收益率重加上误差调整项，这个调整项包括估计误差、原收益率数据和学习常数等三个因素。数据和学习常数等三个因素。n学习常数的大小决定权重调整的速度。学习常数的大小决定权重调整的速度。n在开始调整权重时，首先要确定权重个数在开始调整权重时，首先要确定权重个数N和学习常数和学习常数K.n一般说来，当收益率序列呈周期变动时，一般说来，当收益率序列呈周期变动时，N应取周期的个应取周期的个数。如果收益率序列无明显的周期变动，则可用最高自相数。如果收益率序列无明显的周期变动，则可用最

57、高自相关系数的滞后时期数定为关系数的滞后时期数定为N。n学习常数学习常数K的取值一般可定为的取值一般可定为1N，当然也可用不同的，当然也可用不同的K值值试算，以确定一个能使试算，以确定一个能使MAE达到最小的达到最小的K值。值。n初始权重的确定也很重要，如果无其它依据，可以用初始权重的确定也很重要，如果无其它依据，可以用1N作初始权重用，即作初始权重用，即w1 =w2 =wN=1N。自适应过滤模型的权重调整自适应过滤模型的权重调整50投资学屠新曙著第二章自适应过滤模型的优点自适应过滤模型的优点n技术比较简单，可根据收益率数据的特点来选技术比较简单，可根据收益率数据的特点来选择权重的个数和学习常

58、数，也可以由计算机自动择权重的个数和学习常数，也可以由计算机自动选定。选定。n使用了全部收益率的历史数据来寻找最佳权重，使用了全部收益率的历史数据来寻找最佳权重，并随数据的变化而不断更新权重，从而提高预期并随数据的变化而不断更新权重，从而提高预期收益率的计算精度。收益率的计算精度。n由于自适应过滤模型简单，又可以在计算机上对由于自适应过滤模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，因此这种计算预期收益率的模型数据进行处理，因此这种计算预期收益率的模型有很大的吸引力。有很大的吸引力。51投资学屠新曙著第二章思考题：思考题：n1、如果你现在投资、如果你现在投资1000元，年利率为元，年利率为10，而

59、且你，而且你20年年内不动用这笔资金，内不动用这笔资金，20年后你将拥有多少钱？年后你将拥有多少钱？n2、如果你从、如果你从1年后开始每年投资年后开始每年投资100元，连续投资元，连续投资20年，年，年利率为年利率为10，20年后你将拥有多少钱？如果你希望年后你将拥有多少钱？如果你希望20年后帐面上有年后帐面上有5万元，每年你应该存入多少资金？万元，每年你应该存入多少资金？n3、你正考虑将资金存入哪家银行，、你正考虑将资金存入哪家银行，A银行的利率为银行的利率为8，按年计复利；按年计复利；B银行的利率为银行的利率为7.5%，按月计复利；，按月计复利；C银行银行的利率为的利率为7%，按日计复利；

60、根据实际年利率，你应该选，按日计复利；根据实际年利率，你应该选择哪家银行？择哪家银行？n4、王明允诺，如果你将资金投入他的公司，、王明允诺，如果你将资金投入他的公司， 6年之内资金将翻一倍。假设利息是按月年之内资金将翻一倍。假设利息是按月 支付，并再投资，那么实际年利率是多少？支付，并再投资，那么实际年利率是多少？52投资学屠新曙著第二章n5、假定、假定10年后你需要年后你需要50000元，你计划从元，你计划从3年后开始，每年后开始，每年将等额的货币存入银行，年利率为年将等额的货币存入银行，年利率为11，按年计复利，按年计复利，每年你应该存入多少资金？每年你应该存入多少资金？n6、假定一次付清

61、的、假定一次付清的10000元投资，以下列方式计算复利，元投资，以下列方式计算复利，终值是多少？终值是多少？a)7%，按年计息，共，按年计息，共10年；年；b)7%，按半年计息，共，按半年计息，共10年；年；c)7%，按月计息，共，按月计息，共10年；年；d)7%，按日计息，共，按日计息，共10年；年；e)7%，连续计息，共，连续计息，共10年；年；n7、你还有、你还有20年就要退休，预计退休后还可以活年就要退休，预计退休后还可以活25年。假年。假如你现在开始储蓄，退休后你每年要取如你现在开始储蓄，退休后你每年要取10000元，假定实元，假定实际利率为际利率为8，那么现在你每年必须存多少钱？，

62、那么现在你每年必须存多少钱？53投资学屠新曙著第二章n8、考考虑虑广广百百股股份份，其其股股票票当当前前售售价价为为每每股股10元元，估估计计接接下下来来两两年年该该股股票票潜潜在在的的年年末末价价格格及及相相应应的的概概率率为为：第第一一年年股股票票有有30的的机机会会涨涨至至20元元，有有60的的机机会会涨涨至至12元元，有有10的的机机会会跌跌至至8元元。第第二二年年的的情情况况是是：如如果果第第一一年年股股票票涨涨至至20元元，那那么么它它将将有有50的的机机会会涨涨至至22元元，有有50的的机机会会跌跌至至17元元；如如果果第第一一年年股股票票涨涨至至12元元，那那么么它它将将有有7

63、0的的机机会会涨涨至至15元元，30的的机机会会跌跌至至10元元；如如果果第第一一年年股股票票跌跌至至8元元，那那么么它它将将有有40的的机机会会跌跌至至5元元，60的的机机会会涨涨至至12元。请计算广百股份在两年后的预期收益率。元。请计算广百股份在两年后的预期收益率。n9、一一个个证证券券的的收收益益率率有有如如下下的的概概率率分分布布，计计算算其其预预期期收收益益率。率。收益率4010015%30%40%50%概率0.030.070.30.10.050.20.2554投资学屠新曙著第二章n10、一个证券的历史收益率序列是：、一个证券的历史收益率序列是：2%, 3.4%, 3.1%, 1.7%, 0.5%, 2.1%, 1.9%, 1.2%, 2.8%, 1.3%, 3.7%, 4.6%, 4.2%, 3.5%, 3.8%, 2.9%, 2.6%，分别用移动平均，分别用移动平均法（法（N3）、指数平滑法（）、指数平滑法（0.3，0.5，0.7）和自适应过滤法计算该证券的预期收益率，并比较这三种和自适应过滤法计算该证券的预期收益率，并比较这三种方法的优劣。方法的优劣。55投资学屠新曙著第二章