《生命表基础课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《生命表基础课件（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 生命表基础第一节 生命函数4.1.1 分布函数4.1.2 生存函数4.1.3 连续型未来寿命的生存分布4.1.4 离散型未来寿命的生存分布4.1.5 死力第二节 参数生存模型4.2.1 均匀分布4.2.2 分布4.2.3 分布4.2.4 分布第三节 生命表4.3.1 传统生命表4.3.2 生命表函数4.1 生命函数生命函数4.1.1 分布函数一个新出生的婴儿，其死亡年龄 是一个连续的随机变量，则其分布函数为：假设分布函数可导，对其求导，得到其概率密度函数从而有：其期望为：二阶矩为：方差为：若将新生婴儿的死亡年龄 取整数，且用 表示，即 ，则离散型随机变量 的概率分布律为：分布函数为：期
2、望：方差死亡年龄0123概率4.1.2 生存函数新生婴儿死亡年龄 的分布函数为 ，则 为新生婴儿的生存函数，即： 上式表示新生婴儿能活到 的概率。 的性质：人的寿命是有限的，通常不超过某一特定年龄，用 表示极限年龄，则：新生婴儿在年龄 与 岁之间死亡的概率为：新生婴儿在 岁时仍活着的条件下，在年龄 岁与 岁之间死亡的条件概率为：新生婴儿在 岁仍生存的条件下，在年龄 岁与 岁之间死亡的条件概率为：现引入符号 表示年龄为 岁的人， 表示新生婴儿的死亡年龄，则该新生婴儿在 岁仍活着的条件下，未来仍生存的时间是 ，则称 为该新生婴儿在 岁的未来寿命，记为 ，即该新生婴儿在 岁时仍存的条件下，有 4.1
3、.3 连续型未来寿命的生存分布用国际通用的精算符号来描述随机变量 的概率分布符号 表示 将在未来 年内死亡的概率，是 的分布函数符号 表示 将在 岁时仍生存的概率，是 的生存函数。当 时， ，即0岁新生婴儿的未来寿命就是刚出生婴儿的死亡年龄，有 当 时， 可以写为 ，表示 在未来一年内死亡的概率； 可以写为 ，表示 在 岁时生存的概率。另外，符号 表示 在生存 年后， 在 岁与 岁之间死亡的概率，即：当 时，符号 可简写成 与生存函数 之间的关系由于 的未来寿命 ，隐含着新生婴儿在 岁时仍生存的前提条件，所以事件 与事件 是同一事件，从而 的分布函数为：对于 ，则有：上式表明： 在 岁与 岁之
4、间死亡的条件概率，等于 在 岁时仍生存的条件概率与 在以后的 年内死亡的条件概率的乘积。4.1.4 离散型未来寿命的生存分布记 表示 未来寿命的整年数，即 ，是 的最大整数部分。例如，若 ，则 ；若 ，则 是取值于非负整数集上的一个随机变量，对于任意非负整数 ， ，则随机变量 的概率分布律为：由于因此 在不易混淆的情况下，通常将符号 简写为 ，符号 简写为4.1.5 死力死力：在到达 岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为 ，其基本关系式为：对上式从 到 进行积分，得：即：或当 时，从而随机变量 的分布函数与概率密度函数为： 的分布函数与概率密度函数分别为：4.2 参数生存模型参数生存模
5、型4.2.1 均匀分布均匀分布于1724年由Abraham de Moivre 首先建议作为人类的生存模型死亡年龄 在 服从均匀分布， 为极限年龄死力函数：分布函数：生存函数：密度函数：4.2.2 分布 于1825年提出将该分布作为人类生存模型死力函数： 其中分布函数：生存函数：密度函数：4.2.3 分布 于1860年对 分布进行了修改死力函数： 其中分布函数：生存函数：密度函数：当 时， 分布就简化成 分布4.2.4 分布 在1939年创建死力函数： 其中分布函数：生存函数：密度函数：4.3 生命表生命表4.3.1 传统生命表传统生命表即为表格生存模型，用 表示一组新生婴儿的数目， 表示在
6、岁时该组新生婴儿仍存的个数， 随着 的增大而减少传统生命表示例赋予 以概率的意义，在二项概率模型 的作用下，有 因此， 就是在一个初始有 个新生命的群体中生存到 岁时个体的期望数。 01234104105106100000099696399481399321099196843822804.3.2 生命表函数符号 表示在年龄 到 之间的死亡个数，当 时， 就是 ，也可认为 是年龄 到 之间的期望死亡个数，因为：因此 ， 是二线概率模型 的数学期望。还可得出：假设 是连续且可导的函数，死力函数可由此得出：通过简单的变量代换，可得出死力的常用表达式例题例题 根据传统生命表求1.在2岁到4岁之间的死亡
7、人数2.1岁的人生存到4岁的概率解:1. 2.生命表中年龄为 岁的生存人数 在一年（ 岁至 岁）内的生存人年数，记为 ，即年龄为 岁的 生存人数 自 岁至 岁止生存人的年数，则：假设每个生存者的死亡年龄 在 上服从均匀分布，则 故生命表中自 岁以后各年龄的生存人年数的总和称为累积生存人年数，记为 ，则或生命表中年龄达到 岁的人数 ，其以后生存的平均年数称为 岁时的完全平均余命，记为 ，则运用分部积分法，得：特别地，零岁时的完全平均余命 就是零岁组群体的平均预期寿命记 ，则称 为在 岁时的简约平均余命，则有： 与 的方差对于随机变量 的方差，类似有： 例题例题：已知随机变量 的概率密度函数为 求
8、 与解： 因此4.3.3 尾龄的若干种假设死亡均匀分布假设（UDD假设）若生存函数 满足关系式： 则 在 上死亡服从均匀分布，简称死亡均匀分布在此假设下：常值死力假设（CFM假设）生存函数 满足： 其中在此假设下：Baldcuui 假设生存函数 满足：在此假设下：4.3.4选择终极生命表 对现年 岁的生存者进行观察，则可获得比新生婴儿单纯生存到 岁更多的信息，例如刚通过保险体检或刚开始对某种疾病进行治疗等，如若再用原始生存函数计算有关 的未来寿命的概率，显然不妥，在这种情况下，需要能反映新获得信息的特殊生存函数，并为此建立一个特殊生命表。年龄为30岁的人在 岁与 岁之间死亡的条件概率，记为 选
9、择终极生命表（部分） 年龄年龄300.437670.573710.6988233829338143379632310.453260.599240.7381333807337913377133320.47110.634460.7900433784337673374634330.509610.680010.8557733760337423371935340.551170.736550.9366333734337153369036 上表的第一行第一列中的下标 表明是在30岁获得特殊信息后的生存函数，第一行的数值是在30岁获得特殊信息后的死亡概率，像这样的生存表称为选择生命表。 选择对于 未来寿命 的
10、概率分布的影响，会在选择之后逐渐消失，经过一段时间后，选择与不选择的生存者的死亡概率将基本上相同，具有这种性质的生命表称为选择终极生命表。 表中的前三列就是选择生命表，第四列为终极死亡概率，由此编制的生命表称为终极生命表。 对于超过选择期的有关死亡概率，是以达到的年龄为下标的。例如，若选择期为 ，则 都可以写成 32岁的生存者有三个死亡概率 ，且 ，这是因为刚加入人寿保险者的死亡概率应该是较低一些的。 建立选择终极生命表，一般先建立终极部分，再建立选择部分。 生命表是表达生存模型一个非常常见的形式，尤其是在精算和人口统计工作中。例题例题应用表中的数据估计下列各值：选择期为2年1. 2. 3. 4.解：1. 2. 3. 4.
