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1、第第4 4章章 死亡保险的精算现值死亡保险的精算现值1 1第1页，共67页。4.14.1引言引言：人寿保险的分类：人寿保险的分类受益金额是否恒定受益金额是否恒定定额受益保险定额受益保险 变额受益保险变额受益保险保单签约日和保障期期始日保单签约日和保障期期始日是否同时进行是否同时进行非延期保险非延期保险延期保险延期保险 保障标的不同保障标的不同人寿保险（狭义）人寿保险（狭义）生存保险生存保险两全保险两全保险保障期是否有限保障期是否有限 定期寿险定期寿险 终身寿险终身寿险2第2页，共67页。纯保费厘定的基本假定纯保费厘定的基本假定三个基本假定条件三个基本假定条件: :同同性性别别、同同年年龄龄、同
2、同时时参参保保的的被被保保险险人人的的剩剩余余寿寿命是独立同分布的。命是独立同分布的。被被保保险险人人的的剩剩余余寿寿命命分分布布可可以以用用经经验验生生命命表表进进行行拟合。拟合。保保险险公公司司可可以以预预测测将将来来的的最最低低平平稳稳收收益益（即即预预定定利率）。利率）。3第3页，共67页。净保费厘定净保费厘定原理原理原则原则保费净均衡原则保费净均衡原则解释解释所谓净均衡原则，即所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实。它的实质是质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合在统计意义上的收支平
3、衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值下，收费期望现时值等于支出期望现时值 4第4页，共67页。基本符号基本符号 投保年龄。投保年龄。 人的极限年龄人的极限年龄 保险金给付函数。保险金给付函数。 贴现函数。贴现函数。 保险给付金在保单生效时的现时值保险给付金在保单生效时的现时值5第5页，共67页。4.24.2、生存保险、生存保险定义定义被保险人投保后生存至被保险人投保后生存至n n年期满时，保险人在第年期满时，保险人在第n n年末支付保险金的保险。年末支付保险金的保险。假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1 1元，元，n n年定期生存保险年定期生存保险基本函数关系基本函数关系6
4、第6页，共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：符号：趸缴纯保费厘定趸缴纯保费厘定现值随机变量的方差：现值随机变量的方差：7第7页，共67页。结论结论 4.2.1 4.2.1：例题例题 4.2.2 4.2.2：8第8页，共67页。4.34.3、定期寿险、定期寿险( (定期死亡保险）定期死亡保险）定义定义保险人只对被保险人在投保后的保险人只对被保险人在投保后的n n年内发生的保年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为为n n年死亡保险。年死亡保险。假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1 1元元n n年定期寿险年定期寿险基本函数关系基
5、本函数关系9第9页，共67页。死亡后立即给付死亡后立即给付符号：符号：厘定：厘定：10第10页，共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差方差公式方差公式记记（相当于利息力翻倍以后求（相当于利息力翻倍以后求n n年期寿险的趸缴保费）年期寿险的趸缴保费）所以方差等价为所以方差等价为 11第11页，共67页。设设计算计算解：解：12第12页，共67页。例题例题 4.3.1 4.3.1：递推公式递推公式（例（例 4.3.2 4.3.2）：）：13第13页，共67页。年末赔付场合年末赔付场合基本函数关系基本函数关系记记k为被保险人整值剩余寿命，则为被保险人整值剩余寿命，则14第14页，共67页。趸
6、缴净保费的厘定趸缴净保费的厘定符号：符号：厘定：厘定：计算基数引进的目的：简化计算计算基数引进的目的：简化计算常用基数：常用基数：15第15页，共67页。递推公式递推公式（例（例 4.3.4 4.3.4）：）：16第16页，共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差公式公式记记等价方差为等价方差为例例 4.3.3 4.3.3：例例 4.3.5 4.3.5：17第17页，共67页。剩余寿命在分数时期均匀分布假定剩余寿命在分数时期均匀分布假定剩余寿命剩余寿命= =整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：则有则有 例例 4.3.7 4.3.7：18第18页，共67
7、页。2 2、终身寿险、终身寿险定义定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。责任范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1 1元终身寿险元终身寿险基本函数关系基本函数关系19第19页，共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：符号：厘定：厘定：20第20页，共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差 方差公式方差公式记记所以方差等价为所以方差等价为 21第21页，共67页。例例 设设(x)(x)投保终身寿险，保险金额为投保终身寿险，保险金额为1 1元保险金在死亡即刻赔付签单
8、时，元保险金在死亡即刻赔付签单时，(x)(x)的剩余寿命的密度函数为的剩余寿命的密度函数为计算计算22第22页，共67页。解答：解答：23第23页，共67页。例例 4.4.1 4.4.1：例例 4.4.2 4.4.2：利息利息死亡支付死亡支付24第24页，共67页。年末赔付场合年末赔付场合基本函数关系基本函数关系记记k为被保险人整值剩余寿命，则为被保险人整值剩余寿命，则趸缴净保费的厘定符号：厘定：25第25页，共67页。计算基数引进的目的：简化计算计算基数引进的目的：简化计算常用基数：常用基数：26第26页，共67页。递推公式递推公式（结论（结论 4.4.2 4.4.2）：）：27第27页，共
9、67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式一：公式一：理解理解: (x): (x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于等于(x)(x)在第一年死亡的情况下在第一年死亡的情况下1 1单位的赔付额单位的赔付额, ,或或生存满一年的情况下净趸缴保费生存满一年的情况下净趸缴保费 。 28第28页，共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式二：公式二：解释：解释： 个个x x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费次年的净趸缴保
10、费 ，还可以为所有在当年，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的去世的被保险人提供额外的 。 29第29页，共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式三：公式三：解释：解释：年龄为年龄为x x的被保险人在活到的被保险人在活到x+1x+1岁时的净趸缴保费岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。利息减去提供一年的保险成本。 30第30页，共67页。趸缴纯保费递推公式趸缴纯保费递推公式公式四：公式四：解释解释(y)(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值
11、之和。本的现时值之和。 31第31页，共67页。例例 4.4.4 4.4.4：例例 4.4.5 4.4.5：结论结论 4.4.3 4.4.3：记：记：32第32页，共67页。4.5 4.5 生死合险（两全保险）生死合险（两全保险）定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险基本函数关系:33第33页，共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：符号：记：记：n n年定期寿险现值随机变量为年定期寿险现值随机变量
12、为 n年定期生存险现值随机变量为年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为年定期两全险现值随机变量为 已知已知则则34第34页，共67页。例：例：设设计算计算递推公式递推公式（结论（结论 4.5.2 4.5.2）：）：35第35页，共67页。解答：解答：36第36页，共67页。年末赔付场合符号：厘定：37第37页，共67页。递推公式递推公式（结论（结论 4.5.4 4.5.4）：）：例例 4.5.4 4.5.4：结论结论 4.5.5 4.5.5：38第38页，共67页。4.64.6、延期终身寿险、延期终身寿险定义定义保险人对被保险人在投保保险人对被保险人在投保m m年后发生的保险
13、责任年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。范围内的死亡均给付保险金的险种。假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1 1元，延期元，延期m m年的终身寿险年的终身寿险基本函数关系基本函数关系39第39页，共67页。死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定死亡即付定期寿险趸缴纯保费的厘定符号：符号：厘定：厘定：40第40页，共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差 方差公式方差公式记记所以方差等价于所以方差等价于41第41页，共67页。例例假设（假设（x x）投保延期）投保延期1010年的终身寿险，保额年的终身寿险，保额1 1元。元。保险金在死亡即刻赔付。保险金在死亡即刻赔付。已知已知求
14、：求：42第42页，共67页。解答：解答：43第43页，共67页。年末赔付场合年末赔付场合结论结论 4.6.1 4.6.1， 4.6.2 4.6.2 ：44第44页，共67页。延期延期m m年年n n年定期两全保险年定期两全保险定义定义被保险人在投保后的前被保险人在投保后的前m m年内的死亡不获赔偿，年内的死亡不获赔偿，从第从第m+1m+1年开始为期年开始为期n n年的定期两全保险年的定期两全保险假定：假定： 岁的人，保额岁的人，保额1 1元，延期元，延期m m年的年的n n年定期两年定期两全保险全保险基本函数关系基本函数关系45第45页，共67页。趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定符号：符号：
15、厘定厘定46第46页，共67页。现值随机变量的方差现值随机变量的方差记：记： m m年延期年延期n n年定期寿险现值随机变量为年定期寿险现值随机变量为 m m年延期年延期n n年定期生存险现值随机变量为年定期生存险现值随机变量为 m年延期年延期n n年定期两全险现值随机变量为年定期两全险现值随机变量为 已知已知则则47第47页，共67页。4.74.7每年划分每年划分m m个区间的情况个区间的情况定理定理 4.7.1 4.7.1：结论结论 4.7.2 4.7.2：结论结论 4.7.3 4.7.3：48第48页，共67页。4.84.8、变额寿险、变额寿险定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情
16、况。假定受定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数益金额为剩余寿命的线性递增函数特别：特别：一年递增一次一年递增一次一年递增一年递增m m次次一年递增无穷次（连续递增）一年递增无穷次（连续递增）49第49页，共67页。一年递增一次一年递增一次现值随机变量现值随机变量趸缴保费厘定趸缴保费厘定50第50页，共67页。一年递增一年递增m m次次现值随机变量现值随机变量趸缴保费厘定趸缴保费厘定51第51页，共67页。一年递增无穷次（连续递增）一年递增无穷次（连续递增）现值随机变量现值随机变量趸缴保费厘定趸缴保费厘定52第52页，共67页。8 8、递减定期寿险
17、、递减定期寿险定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数益金额为剩余寿命的线性递减函数特别：特别：一年递减一次一年递减一次一年递减一年递减m m次次一年递减无穷次（连续递减）一年递减无穷次（连续递减）53第53页，共67页。一年递减一次一年递减一次现值随机变量现值随机变量趸缴保费厘定趸缴保费厘定54第54页，共67页。一年递减一年递减m m次次现值随机变量现值随机变量趸缴保费厘定趸缴保费厘定55第55页，共67页。一年递减无穷次（连续递减）一年递减无穷次（连续递减）现值随机变量现值随机变量趸缴保
18、费厘定趸缴保费厘定56第56页，共67页。例例对（对（5050）岁的男性第一年死亡即刻给付）岁的男性第一年死亡即刻给付50005000元，第元，第二年死亡即刻给付二年死亡即刻给付40004000元，以此按年递减元，以此按年递减5 5年期人年期人寿保险，根据附录寿保险，根据附录2 2生命表，以及死亡均匀分布假生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率定，按年实质利率6%6%计算趸缴纯保费。计算趸缴纯保费。57第57页，共67页。解答：解答：58第58页，共67页。相互关系相互关系递推公式递推公式:(:(结论结论 4.8.5) 4.8.5)例例 4.8.1 4.8.1：例例 4.8.2 4.8.2
19、：定理定理 4.9.1 4.9.1 : :关系关系:(:(结论结论 4.9.2) 4.9.2)例例 4.9.1 4.9.1：59第59页，共67页。实实 务务计算基数6060第60页，共67页。常用计算基数常用计算基数计算基数引进的目的：简化计算计算基数引进的目的：简化计算常用基数：常用基数：61第61页，共67页。用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费62第62页，共67页。例例考虑第考虑第1 1年死亡即刻赔付年死亡即刻赔付1000010000，第，第2 2年死亡即刻赔付年死亡即刻赔付90009000元并以此类推递减人寿保险。按附录元并以此类推递减人寿保险。按附
20、录2 2生命表生命表及及i=0.06i=0.06计算（计算（3030）的人趸缴纯保费。）的人趸缴纯保费。（1 1）保障期至第）保障期至第1010年底年底（2 2）保障期至第）保障期至第5 5年底年底63第63页，共67页。解答：解答：64第64页，共67页。总总 结结主要险种的趸缴净保费的厘定主要险种的趸缴净保费的厘定6565第65页，共67页。n n年期定期寿险年期定期寿险终身寿险终身寿险延期延期m m年的终身寿险年的终身寿险n n年期生存保险年期生存保险n n年期两全保险年期两全保险延期延期m m年的年的n n年期的两全保险年期的两全保险递增终身寿险递增终身寿险递减递减n n年定期寿险年定期寿险66第66页，共67页。死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险67第67页，共67页。
