第六章圆轴的扭转

《第六章圆轴的扭转》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章圆轴的扭转（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第六章第六章 圆轴的扭转圆轴的扭转第一节第一节 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图第二节第二节 剪切剪切剪切胡克定律剪切胡克定律第三节第三节 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力第四节第四节 圆轴扭转时强度计算圆轴扭转时强度计算第五节第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算圆轴扭转时变形和刚度计算扭扭转转：直直杆杆的的两两端端，在在垂垂直直于于杆杆轴轴线线的的平平面面内内作作用用一一对对大大小小相相等等，方方向向相相反反的的外外力力偶偶，使使杆杆件件各各横横截截面面发发生生绕绕轴轴线线相相对对转转动动。这这种种变变形形形形式式称称为为扭转。扭转。轴轴：以以扭扭转转变变形形为为主主要要变变形形的的杆杆

2、件件称称为为轴轴。横横截截面面为为圆形的轴称为圆形的轴称为圆轴圆轴。 扭扭转转变变形形的的受受力力特特点点是是：在在与与杆杆件件轴轴线线垂垂直直的的平平面面内内，受受到到一一对对大大小小相相等等、方方向向相相反反的的力偶作用。力偶作用。 扭扭转转变变形形的的变变形形特特点点是是：各各横横截截面面绕绕杆杆件件轴线发生相对转动。轴线发生相对转动。 实实心心圆圆轴轴和和圆圆管管受受扭扭转转作作用用时时的的力力学学分分析析较较为为简简单单，而而且且又又是是最最常常见见的的受受扭扭构构件件形形状状，本本节节只研究等截面圆轴（含圆管）的扭转问题。只研究等截面圆轴（含圆管）的扭转问题。 第一节第一节 扭矩和

3、扭矩图扭矩和扭矩图一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算 轴传递的功率轴传递的功率P P、转速、转速n n与外力偶矩与外力偶矩M M的关系：的关系：其中：其中：P P 轴传递的功率，千瓦（轴传递的功率，千瓦（kWkW） n n 转速，转转速，转/ /分（分（r/minr/min）外力偶矩转向外力偶矩转向的确定方法：输入功率的主动轮上作用的力偶的确定方法：输入功率的主动轮上作用的力偶矩矩为主动力矩，为主动力矩，其方向与轴的转动方向一致；输出功率的从其方向与轴的转动方向一致；输出功率的从动轮上作用的力偶矩为动轮上作用的力偶矩为阻力矩，阻力矩，其方向与轴的转动方向相反。其方向与轴的转动方向相反。 MM

4、mm二、扭转时的内力二、扭转时的内力扭扭矩的计算矩的计算MMTMMT扭矩正负规定：扭矩正负规定：右手螺旋法则右手螺旋法则扭矩单位：扭矩单位：N m或或kNm例例6.1 6.1 传动轴的主动轮传动轴的主动轮B B上作用的力偶矩为上作用的力偶矩为M MB B=6kN=6kNm m的主动的主动力偶，力偶，A A、C C、D D三个从动轮上的阻力偶矩分别为三个从动轮上的阻力偶矩分别为M MA A=3kN=3kNm m、M MC C=2kN=2kNm m、M MD D=1kN=1kNm m，用截面法来求，用截面法来求-截面的内力。截面的内力。 解：求扭矩解：求扭矩M MT2T2 如图如图b b 或如图或

5、如图c c 图图b b图图c c扭矩另一种计算方式：扭矩另一种计算方式：1 1、假设某截面扭矩皆为正，则该截面上的扭、假设某截面扭矩皆为正，则该截面上的扭矩等于截面一侧轴上所有外力偶矩的代数和。矩等于截面一侧轴上所有外力偶矩的代数和。2 2、计算时外力偶矩的正负号规定：右手拇、计算时外力偶矩的正负号规定：右手拇指与截面外法线方向一致，四指与外力偶矩指与截面外法线方向一致，四指与外力偶矩转向相同时取负号；不同时取正号。转向相同时取负号；不同时取正号。4 4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规

6、律；| |M MT T| |maxmax值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。扭矩图的绘制扭矩图的绘制：与轴力图绘制方法相似，绘制扭矩图时，需：与轴力图绘制方法相似，绘制扭矩图时，需先以轴线方向为横轴（先以轴线方向为横轴（x x轴）、以扭矩（轴）、以扭矩（M MT T）为纵轴，建立）为纵轴，建立M MT T-x-x坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩（坐标系。然后将圆轴各段截面上的扭矩（M MT T）标在）标在M MT T-x-x坐标中，即可绘出扭矩图。坐标中，即可绘出扭矩图。 例例6.2 6.2 传动轴上主动轮传动轴上主动轮A A的输入功率的输入功率P PA

7、 A=40kw=40kw，三个从动，三个从动轮轮B B、C C、D D的输出功率分别为的输出功率分别为P PB B=18kw=18kw，P PC C=P=PD D=11kw=11kw，轴的，轴的转速为转速为n=200rn=200rminmin。现在两种主、从动轮的布置形式，。现在两种主、从动轮的布置形式，分别如图分别如图a a、b b。试求两种布置情况下：。试求两种布置情况下：1.1.传动轴各段中的传动轴各段中的转矩值；转矩值；2.2.绘制传动轴的扭矩图；绘制传动轴的扭矩图；3.3.对传动轴承受的转矩对传动轴承受的转矩大小进行对比，说明哪种布置形式较为合理。大小进行对比，说明哪种布置形式较为合

8、理。 解：解：1.1.求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力求作用于传动轴上的外力偶矩。扭矩要由外力偶矩偶矩M M来计算，而实际问题中更常见的已知条件是功率来计算，而实际问题中更常见的已知条件是功率P P和和转速转速n n，所以先要由功率、转速计算外力偶矩，所以先要由功率、转速计算外力偶矩 2. 2.传动轴各段的扭矩值（传动轴各段的扭矩值（M MT1T1、M MT2T2、M MT3T3），并绘制扭矩），并绘制扭矩图。图。 图图a a中：中：M MT1T11910N1910Nm m M MT2T21051 N1051 Nm mM MT3T3525 N525 Nm mMT T图图b b中：中：M

9、 MT1 T1 859 N859 Nm mM MT2T2 1051 N1051 Nm mM MT3T3 525 N525 Nm mMT T 3.3.对对比比两两种种布布置置形形式式下下传传动动轴轴所所受受的的转转矩矩。 在在图图a a情况下，情况下， 所所以以，图图b b所所示示的的布布置置形形式式将将主主动动轮轮布布置置在在几几个个从从动动轮之间的情况轮之间的情况较为合理较为合理。 而在图而在图b b情况下，情况下， 可可见见，虽虽然然传传动动轴轴输输入入、输输出出的的功功率率相相同同，但但将将主主动动轮轮布布置置在在几几个个从从动动轮轮的的中中间间位位置置，使使主主动动轮轮两两侧侧从从动动

10、轮轮上上的的转转矩矩之之和和接接近近相相等等，可可以以降降低低传传动动轴轴承承受受的的转转矩矩，从从而而有有利利于于提提高高传传动动轴轴的的抗抗扭扭强强度度，或或缩缩小小传传动动轴轴的的直直径、减少用材，减轻重量。径、减少用材，减轻重量。 第二节第二节 剪切剪切剪切胡克定律剪切胡克定律 一一. .剪切的概念剪切的概念 剪切变形的受力特点是：剪切变形的受力特点是：作用在构件两侧面上外力作用在构件两侧面上外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。 常见的剪切变形常见的剪切变形不发生剪切破坏的条件，即抗剪强度条件为不发生剪切破坏的条件，即抗剪

11、强度条件为: : 实用计算中，通常假设剪切应力实用计算中，通常假设剪切应力在剪切面上在剪切面上是均匀分布的，如图是均匀分布的，如图d d。则。则: : 二二. .剪应变和剪切胡克定律剪应变和剪切胡克定律 剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。剪切变形时，剪切面附近的截面互相间发生错动。将剪切面附近变形前后的情况放大如图将剪切面附近变形前后的情况放大如图a a、b b：剪切面附：剪切面附近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形，近的材料由变形前的矩形，变形后成为斜平行四边形，变化的角度变化的角度称为称为剪应变，用弧度剪应变，用弧度（radrad）来度量。）来度量。 等直圆杆扭转时，相

12、邻截面保持平行，只存在剪应力，等直圆杆扭转时，相邻截面保持平行，只存在剪应力，而无正应力。而无正应力。 与剪力对应的应力称为与剪力对应的应力称为剪切应力剪切应力，以，以表示。剪表示。剪切应力切应力与剪切力与剪切力Q Q方向一致，与剪切面相切，单位为方向一致，与剪切面相切，单位为帕（帕（PaPa）或兆帕（）或兆帕（MPaMPa）。 剪切面：剪切面：发生相对错动的截面，位于二力作用线之间。发生相对错动的截面，位于二力作用线之间。剪切面上与截面相切的内力称为剪切面上与截面相切的内力称为剪力，剪力，用用Q Q表示。表示。 剪切胡克定律剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极：当切应力不超过材料的剪

13、切比例极限时，剪应变与剪应力成正比：限时，剪应变与剪应力成正比： 为为材材料料的的剪剪切切弹弹性性模模量量，单单位位GPa,GPa,是是材材料料抵抵抗剪切变形能力的指标。抗剪切变形能力的指标。 常用钢材的常用钢材的G G808084GPa84GPa。 线线应应变变和和剪剪应应变变是是度度量量构构件件变变形形的的两两个个基基本参量本参量。 1. 1. 横截面变形后仍为平面，只是绕轴线相对转过了一个横截面变形后仍为平面，只是绕轴线相对转过了一个角度；角度； 2. 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 3. 纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度纵向线变形后仍为平行，转过相同的角度 。一、等直圆杆扭转

14、实验观察及假设：一、等直圆杆扭转实验观察及假设： 第三节第三节 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 结论：结论：1. 1. 扭转变形的实质是剪切变形；扭转变形的实质是剪切变形；2. 2. 横截面上只有垂直于半径方向的剪应力横截面上只有垂直于半径方向的剪应力 ，没有正应力，没有正应力。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。的距离不变。二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二

15、、等直圆杆扭转时横截面上的应力：等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。式中：式中： M MT T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 I Ip p极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。结论：结论：1.1.剪应力的方向与半径垂直，绕圆心转向与扭矩方剪应力的方向与半径垂直，绕圆心转向与扭矩方向相同；向相同；2. 2. 剪应力沿半径成线性规律分

16、布。剪应力沿半径成线性规律分布。剪应力公式同样适用于空心圆截面杆，只是剪应力公式同样适用于空心圆截面杆，只是IpIp值不同。值不同。由由知：当知：当W WP P 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：几何量，单位：mmmm3 3或或m m3 3。三三. .最大剪应力计算公式最大剪应力计算公式第四节第四节 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算 圆圆轴轴扭扭转转的的强强度度条条件件是是：轴轴的的危危险险截截面面（即即产产生生最最大大扭扭转转剪剪切切应应力力的的截截面面）上上的的最最大大剪剪切切应应力力maxmax不超过材料的许用剪切应力不超过材料的许用剪切

17、应力即即许许用用剪剪切切应应力力值值由由相相应应材材料料试试验验测测定定并并考虑安全系数后加以确定。考虑安全系数后加以确定。圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题圆轴扭转的强度计算可解决三类强度问题 1. 1.强度校核强度校核 2.2.设设计计截截面面尺尺寸寸（圆圆轴轴直直径径）：已已知知外外载载荷荷条条件件和和选选定定材材料料的的许许用用剪剪切切应应力力，要要求求设设计计圆轴的直径圆轴的直径D D，或空心圆轴的外径，或空心圆轴的外径D D和内径和内径d d。 3.3.确确定定许许可可载载荷荷：已已知知圆圆轴轴的的直直径径D D，或或空空心心圆圆轴轴的的外外径径D D和和内内径径d d以以及及选

18、选定定材材料料的的许许用用剪剪切切应应力力，求求圆圆轴轴上上所所能能承承受受的的最最大大外外力力偶偶矩矩或或传传递的最大功率，即许可载荷。递的最大功率，即许可载荷。 例例6.3 6.3 汽汽车车的的传传动动轴轴ABAB由由4545钢钢无无缝缝钢钢管管制制成成，外外径径D=90mmD=90mm，壁壁厚厚t=2.5mmt=2.5mm，如如图图所所示示。该该轴轴传传递递的的最最大大转转矩矩M=1.5kNM=1.5kNm m，材料的许用剪切应力，材料的许用剪切应力=60Mpa=60Mpa。试求：。试求： 1.1.校核该传动轴的抗扭强度。校核该传动轴的抗扭强度。 2.2.若若改改用用相相同同材材料料的的

19、实实心心圆圆轴轴，且且和和原原钢钢管管传传动动轴轴有有同等的抗扭强度，计算其直径同等的抗扭强度，计算其直径D DS S。 3.3.比较空心轴和实心轴的重量。比较空心轴和实心轴的重量。解解 1. 1. 校校核核强强度度 由由受受力力图图可可知知，传传动动轴轴内内横横截截面上的最大扭矩面上的最大扭矩M MTmaxTmax就等于它传递的最大转矩就等于它传递的最大转矩M M，即：即：M MTmaxTmax=M=1.5kN=M=1.5kNm m该轴内、外径之比该轴内、外径之比 而而所以，所以，传动轴能满足抗扭强度要求。传动轴能满足抗扭强度要求。 2 2计算等强度的实心圆轴直径计算等强度的实心圆轴直径D

20、DS S 即要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆即要求实心圆轴横截面的抗扭截面模量和原圆管截面的抗扭截面模量相等：管截面的抗扭截面模量相等： 由抗扭截面模量公式有由抗扭截面模量公式有 所以所以 3 3空心轴重量空心轴重量G G和实心轴重量和实心轴重量G GS S的对比的对比 两轴的材料和长度相同，两者重量之比等于两轴的材料和长度相同，两者重量之比等于它们的横截面面积之比它们的横截面面积之比 空心传动轴的合理性空心传动轴的合理性 采用采用空心传动轴空心传动轴能有效能有效节省材料，减轻自重节省材料，减轻自重，提高承提高承受能力。受能力。空心轴受扭在力学上的合理性，可以从扭转剪切空心轴受扭在力学上

21、的合理性，可以从扭转剪切应力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁应力在横截面上的分布图得到说明。但空心圆轴的环形壁厚尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有厚尺寸也不能过小。另外，只有截面闭合的空心圆轴才有较高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。较高的抗扭强度，开口圆管的抗扭能力是很低的。 圆轴扭转时的变形由两横截面圆轴扭转时的变形由两横截面间相对扭转角间相对扭转角 来度量：来度量：即即第五节第五节 圆轴扭转时变形和刚度计算圆轴扭转时变形和刚度计算 GIGIp p反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。二、圆轴扭

22、转时的刚度条件：二、圆轴扭转时的刚度条件：单位长度的扭转角单位长度的扭转角 不超过不超过许用许用单位扭转角单位扭转角 ，即，即 或或精密仪器仪表的轴：精密仪器仪表的轴： =0.15 =0.15 0.5(0.5(/m);/m);一般传动轴：一般传动轴： =0. 5 =0. 5 1(1(/m);/m);精度较低的轴：精度较低的轴： =1=14(4(/m);/m);刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：校核刚度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：计算许可载荷：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。 例例6.46.4长为长为 L L=2m =2m 的圆杆受均布力偶

23、的圆杆受均布力偶 m m=20Nm/m =20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，若杆的内外径之比为若杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G G=80GPa =80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa=30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2=2 /m /m ，试校核此杆的，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。刚度，并求右端面转角。解：解：设计杆的外径设计杆的外径40NmxT代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角右端面转角为：为：39 例例6.56.5 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转

24、速n n = 500 r / min= 500 r / min，输入功率，输入功率N N1 1 = 500= 500马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N N2 2 = 200 = 200马力及马力及N N3 3 = 300 = 300马力，马力，已知：已知：G G=80GPa =80GPa ， =70M Pa=70M Pa， =1=1 /m /m ，试确定：，试确定： AB AB 段直径段直径 d d1 1和和 BC BC 段直径段直径 d d2 2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下图

25、示状态下, ,扭矩如扭矩如 图图，由强度条件得：，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)由刚度条件得：由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) 综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1 1轮和轮和2 2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 7575mmmm。Tx 4.21(kNm)2.814例例6.66.6：如图所示阶梯轴，直径分别为：如

26、图所示阶梯轴，直径分别为 ， ，已知，已知C轮输入转矩轮输入转矩 ，A轮输出转矩轮输出转矩 ，轴的转速，轴的转速 ，轴材料的许用切应力，轴材料的许用切应力 ，许用单位长度扭角许用单位长度扭角 ，切变模量，切变模量 ，试校核该轴的强度和刚度。试校核该轴的强度和刚度。 CBACBA解解 : :1.1.求各段扭矩：求各段扭矩：由于各段半径不同，危险截面可能发生在由于各段半径不同，危险截面可能发生在ABAB段的截面段的截面 处，也可能发生在处，也可能发生在BCBC段段 。2.2.校核强度校核强度 所以，强度所以，强度满足要求。满足要求。 3.3.校核刚度校核刚度 所以，轴的刚度也满足要求。所以，轴的刚度也满足要求。