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1、 1 含参量正常积分 2 含参量反常积分 3 欧拉积分 级数与积分是构造函数的两个重要级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数积分构造的函数积分上限的函数。积分上限的函数。 本章介绍另一种利用本章介绍另一种利用 Riemann 积分与广积分与广义积分构造的函数义积分构造的函数含参变量的积分与含参变量的积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性。析性质：连续性、可微性、可积性。1 含参量正常积分含参量正常积分一、含参量正常积分 设设 是定义在矩形域是定义在矩形域
2、上的二元上的二元函数函数, 当当 取取 上某定值时上某定值时,函数函数 则是定义在则是定义在 上以上以 为自变量的一元函数为自变量的一元函数.若此时若此时 在在 上可积上可积,则其积分值是则其积分值是 在在 上取值的函数上取值的函数,表为表为称为含参量称为含参量 的正常积分的正常积分,或简称含参量积分或简称含参量积分. 类似地称类似地称为含参变量为含参变量 的积分的积分。 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。若二元函数若二元函数 在矩形域在矩形域 上连续上连续, 则函
3、数则函数 在在 上连续上连续 若函数若函数 与其偏导数与其偏导数 都在矩形域都在矩形域 上连续上连续,则则 在在 上可微上可微, 且且 下面考虑 的可积性。 设 在矩形 上连续，那末由定理 19.1，函数分别在 及 上连续。因此 在 上可积， 在 上可积。记为要研究这两个积分是否相等？若二元函数若二元函数 在矩形域在矩形域 上连续上连续, 则则 和和 在在 和和 可微可微, 且且 设设 是定义在区域是定义在区域 上的上的 的二元的二元 函数函数,其中其中 , 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数, 若若对于对于 每一固定的每一固定的 值值, 作为作为 的函数在的函数在 上可积上可积,则其
4、积分值是则其积分值是 在在 上取值的函数上取值的函数,表为表为 称为含参量称为含参量 的正常积分的正常积分,或简称含参量积分或简称含参量积分. xyoGY=c(x)Y=d(x)若二元函数若二元函数 在矩形域在矩形域上连续上连续,其中其中 , 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数,则函数则函数 在在 上连续上连续 对于参变量的积分：它的分析性质也有类似的结果。在 上连续。都在 上连续，并且定理定理 19.2 设 在矩形 上连续，则证明证明当 时，上式右端的三个积分都趋于零，于是 上其值含于上其值含于 内的可微函数内的可微函数,则函数则函数 在在 上可微上可微, 且且 请结合复合函数及活动上
5、限积分的求导法则完成证明若若 在在 上连续上连续, 为定义在为定义在 在 可导，并且定理定理 19.4 设 和 都在矩形 上连续，则对于参变量的积分：它的分析性质也有类似的结果.证明证明现在分别考虑 在 点处的导数。由定理 19.2 得由积分中值定理这里 在 和 之间。由于 的连续性及 可微同样可以证明定理证毕。例 3 设 ，求解解例 4 求 解解设那末在矩形连续。于是由定理 19.2再对 积分，得由于 ，所以从而例 5 求解解考虑含参量的积分函数及其关于 的偏导数都在矩形 上连续，据定理 19.2，有将上式两边关于 从 0 到 1 积分，得因为所以解法解法 2因为所以(1), 含参量正常积分
6、的概念;(2), 含参量正常积分的性质:( i), 连续性;(ii), 可微性;(iii), 可积性;2 含参量反常积分含参量反常积分本节研究形如本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。况可类似处理。含参量反常积分设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上, 若对每一个固定的若对每一个固定的 , 反常积分反常积分 都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷
7、限反常积分的无穷限反常积分, 或或 简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.对于含参量反常积分对于含参量反常积分 和函数和函数 则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上一致收敛于上一致收敛于 .u 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要u 一致收敛的充要条件;含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要条件是条件是:对任一趋于对任一趋于 的递增数列的递增数列 (其中其中 ),函函数数项级数项级数 在在 一致收敛一致收敛.u 魏尔斯特拉斯M判别法;设有函数设有函数 ,使得使得魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weiers
8、trass）判别法）判别法若一致收敛。证明证明因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于从而所以 关于一致收敛。魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法若一致收敛。证明证明因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于从而所以 关于一致收敛。例 1 在 内一致收敛解因为而积分 收敛，所以 在 内一致收敛u 狄利克雷判别法;u 阿贝耳判别法;二、一致收敛积分的性质1. 连续性定理因为 在 内一致收敛，所以证明证明因此，当 时，设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。又 在 上连续，所以作为 的函数在 连
9、续，于是从而，当 时，有定理证毕。2. 积分顺序交换定理设 在 上连续， 关于在 上一致收敛，则 在可积，并且3. 积分号下求导的定理设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收敛，则在 可导，且证明证明因为 在 连续，由连续性定理在 连续， 沿区间 积分 ，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对 求导，得定理证毕。 连续性连续性即: 可微性可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即 可积性可积性含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明反常积分证明反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明含参量反常积分证明含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛
10、. 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明含参量反常积分证明含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 . 含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 . 例例4 证明证证 （1）用分段处理的方法. 因为 例例4 计算积分 例例 5 利用积分号下求导求积分 解解 因为 因为 故 由数学归纳法易证于是 例例6 计算积分 解解 令 在第二项积分中令 得 故 (2), 含参量反常积分一致收敛的定义;(1), 含参量反常积分的定义;(3), 含参量反常积分一致收敛的判别; 一致收敛的柯西准则: 一致收敛的充要条件; 魏尔斯特拉斯M判别法; 阿贝耳判别法; 狄利克雷判别法;(4), 含参量反常
11、积分的性质;( i), 连续性;(ii), 可微性;(iii), 可积性;3 欧拉积分欧拉积分考虑无穷限含参积分 特点特点1).积分区间为无穷;. 3. 凸性与极值凸性与极值:证证 于是, 利用递推公式得: , 一般地有 解解 6 6 函数的其它形式函数的其它形式因此, 解解 1Beta函数及其连续性函数及其连续性 称( 含有两个参数的 )含参积分 为Euler第一型积分第一型积分. 2.函数的对称性函数的对称性: 证证 3. 递推公式递推公式 证证 而 解得 由对称性, 又有 ） 因此得 ） 特别地 , ） 即 ） ） 而 四四 利用利用Euler积分计算积分积分计算积分例例3 利用余元公式计算 例例4 求积分 解解 解解例例5 计算积分 解解 五五 小结小结 的重要性质的重要性质 的重要性质的重要性质
