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1、第二十二章第二十二章 二次函数二次函数22.2 22.2 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程教学重点：教学重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解图象求一元二次方程的近似解 .教学难点：教学难点：二次函数与二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系的根的个数之间的关系. 一、创设情境，导入新课一、创设情境，导入新课 教学过程教学过程2 如教材图如教材图22.2-122.2-1所示，以所示，以40 m/s40 m/s的速度将小球沿与地面成的速度将小球沿与地面成3030角的方向击
2、出时，球的飞行路线将是一条抛物线角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线. .如果不如果不考虑空气阻力，球的飞行高度考虑空气阻力，球的飞行高度h(h(单位：单位：m)m)与飞行时间与飞行时间t(t(单位：单位：s)s)之间具有关系之间具有关系 h=20t-5th=20t-5t2 2. . 考虑以下问题：考虑以下问题： （1 1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15 m?15 m?如能，需要多少飞行如能，需要多少飞行时间时间? ? （2 2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20 m?20 m?如能，需要多少飞行如能，需要多少飞行时间时间? ? （3 3）球的飞行高度能否达到
3、）球的飞行高度能否达到20.5 m?20.5 m?为什么？为什么？ （4 4）球从飞出到落地要用多少时间？）球从飞出到落地要用多少时间？ 教师用课件出示问题，让学生以学习小组为单位自学、教师用课件出示问题，让学生以学习小组为单位自学、讨论、合作、交流，尝试解决问题讨论、合作、交流，尝试解决问题. . 学生观察、分析、体会、讨论、合作、交流，尝试解决学生观察、分析、体会、讨论、合作、交流，尝试解决问题问题. . 二、合作探究，感受新知二、合作探究，感受新知 1.1.问题探究问题探究 分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h h与飞行时间与飞行时间t t的关系是二次函的关系是二次函数：数：h
4、=20t-5th=20t-5t2 2. . 所以可以将问题中所以可以将问题中h h的值代入函数解析式，得到关于的值代入函数解析式，得到关于t t的的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中高度可以达到问题中h h的值：否则，说明球的飞行高度不能达的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中到问题中h h的值（解答过程略）；的值（解答过程略）； 二次函数与一元方程的解有什么关系：二次函数与一元方程的解有什么关系： 例如：已知二次函数例如：已知二次函数y=-xy=-x2 2+4x+4x的值为的值为3.3.求自变量求自变
5、量x x的值的值. .可以解一元二次方程可以解一元二次方程-x-x2 2+4x=3+4x=3（即（即x x2 2-4x+3=0-4x+3=0）. .反过来，解反过来，解方程方程x x2 2-4x+3=0-4x+3=0又可以看作已知二次函数又可以看作已知二次函数y=xy=x2 2-4x+3-4x+3的值为的值为0 0，求自变量，求自变量x x的值的值. . 结论：结论：一般地，我们可以利用二次函数一般地，我们可以利用二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c深深入讨论一元二次方程入讨论一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0. . 教师适时引导，点拨，然后由小组推荐四名学生
6、板书四教师适时引导，点拨，然后由小组推荐四名学生板书四个问题，其他小组学生讲评个问题，其他小组学生讲评. . 教师引导学生总结：从上面可以看出：二次函数与一元教师引导学生总结：从上面可以看出：二次函数与一元二次方程关系密切二次方程关系密切. .由学生小组讨论，总结出二次函数与一元由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系二次方程的解有什么关系. . 学生在自主探究的基础上，尝试分析问题学生在自主探究的基础上，尝试分析问题. . 学生分析、解决学生分析、解决. . 2.2.观察思考下列二次函数的图象与观察思考下列二次函数的图象与x x轴有公共点吗？如果有，轴有公共点吗？如果有，公
7、共点的横坐标是多少？当公共点的横坐标是多少？当x x取公共点的横坐标时，函数的值取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1 1）y=xy=x2 2+x-2+x-2；（2 2）y=xy=x2 2-6x+9-6x+9；（3 3）y=xy=x2 2-x+1.-x+1.图象如下图所示：图象如下图所示： 引导学生观察图象、思考时，应注意：引导学生观察图象、思考时，应注意： 二次函数图象与二次函数图象与x x轴有无公共点及公共点的横坐标是多轴有无公共点及公共点的横坐标是多少，与其对应的函数值是多少？少，与其对应的函数值是多少
8、？ 也可播放课件：函数的图象，输入也可播放课件：函数的图象，输入a a，b b，c c的值，画出的值，画出对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解对应的函数的图象，观察图象，说出函数对应方程的解. . 学生观察、思考问题，尝试回答问题学生观察、思考问题，尝试回答问题. . 3.3.3.3.归纳总结归纳总结归纳总结归纳总结（1 1）抛物线）抛物线y=xy=x2 2+x-2+x-2与与x x轴有两个公共点，它们的横坐标是轴有两个公共点，它们的横坐标是-2-2，1.1.当当x x取公共点的横坐标时，函数的值是取公共点的横坐标时，函数的值是0.0.由此得出方程由此得出方程x x2 2+x-2=
9、0+x-2=0的根是的根是-2-2，1.1.（2 2）抛物线）抛物线y=xy=x2 2-6x+9-6x+9与与x x轴有一个公共点，这点的横坐标是轴有一个公共点，这点的横坐标是3.3.当当x=3x=3时，函数的值是时，函数的值是0.0.由此得出方程由此得出方程x x2 2-6x+9=0-6x+9=0有两个相等有两个相等的实数根的实数根3.3.（3 3）抛物线）抛物线y=xy=x2 2-x+1-x+1与与x x轴没有公共点，由此可知，方程轴没有公共点，由此可知，方程x x2 2- -x+1=0x+1=0没有实数根没有实数根. . 一般地，从二次函数一般地，从二次函数一般地，从二次函数一般地，从二
10、次函数y=axy=axy=axy=ax2 2 2 2+bx+c+bx+c+bx+c+bx+c的图象可知：的图象可知：的图象可知：的图象可知： （1 1 1 1）如果抛物线）如果抛物线）如果抛物线）如果抛物线y=axy=axy=axy=ax2 2 2 2+bx+c+bx+c+bx+c+bx+c与与与与x x x x轴有公共点，公共点的横轴有公共点，公共点的横轴有公共点，公共点的横轴有公共点，公共点的横坐标是坐标是坐标是坐标是x x x x0 0 0 0，那么当，那么当，那么当，那么当x=xx=xx=xx=x0 0 0 0时，函数的值是时，函数的值是时，函数的值是时，函数的值是0 0 0 0，因此
11、，因此，因此，因此x=xx=xx=xx=x0 0 0 0就是方程就是方程就是方程就是方程axaxaxax2 2 2 2+bx+c=0+bx+c=0+bx+c=0+bx+c=0的一个根的一个根的一个根的一个根. . . . (2) (2) (2) (2)二次函数的图象与二次函数的图象与二次函数的图象与二次函数的图象与x x x x轴的位置关系有三种：没有公共轴的位置关系有三种：没有公共轴的位置关系有三种：没有公共轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点点，有一个公共点，有两个公共点点，有一个公共点，有两个公共点点，有一个公共点，有两个公共点. . . .这对应着一元二次方程根这
12、对应着一元二次方程根这对应着一元二次方程根这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根相等的实数根相等的实数根相等的实数根. . . . 教师让学生尝试总结二次函数与一元二次方程的关系，教教师让学生尝试总结二次函数与一元二次方程的关系，教师适时引导、完善师适时引导、完善. . 学生归纳总结，初步感知相似图形的本质属性学生归纳总结，初步感知相似图形的本质属性. . 总结：一般地，如果二次函数总结：一般
13、地，如果二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴相轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程交，那么交点的横坐标就是一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. . 4.4.典型例题典型例题例例 利用函数图象求方程利用函数图象求方程x x2 2-2x-2=0-2x-2=0的实数根的实数根( (精确到精确到0.1).0.1).解：作解：作y=xy=x2 2-2x-2-2x-2的图象的图象( (如右图所示如右图所示) )，它与，它与x x轴的公共点的横轴的公共点的横坐标大约是坐标大约是-0.7-0.7，2.7.2.7.所以方程所以方程x x2 2
14、-2x-2=0-2x-2=0的实数根为的实数根为x x1 1-0.7-0.7，x x2 22.7.2.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程用来画图，可根据图象估计出方程x x2 2-2x-2=0-2x-2=0实数根的近似解，实数根的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异. .学生先自主、再合作，完成例题学生先自主、再合作，完成例题. . 5. 5. 5. 5.探究探究探究探究 观察函数观察函数y=xy=x2 2-2x-2-2
15、x-2的图象可以发现，当自变量为的图象可以发现，当自变量为2 2时的函时的函数值小于数值小于0 0，当自变量为，当自变量为3 3时的函数值大于时的函数值大于0 0，所以抛物线，所以抛物线y=xy=x2 2- -2x-22x-2在在2 2x x3 3这一段经过这一段经过x x轴，也就是在轴，也就是在2 2x x3 3之间某个值之间某个值时，时，y=0.y=0.即方程即方程x x2 2-2x-2=0-2x-2=0在在2 2，3 3之间有根之间有根. . 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在范围，从而我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在范围，从而逐步得到根所在范围逐步得到根所在范围. . 教
16、师要求学生阅读教材第教师要求学生阅读教材第4646页相关内容，小组交流页相关内容，小组交流. .教师教师引导点拨引导点拨. .学生阅读、思考、计算、交流学生阅读、思考、计算、交流. . 三、课堂小结，梳理新知三、课堂小结，梳理新知 师生小结师生小结师生小结师生小结 (1)(1)通通过过本本节节课课的的学学习习，你你有有哪哪些些收收获获? ?还还有有什什么么疑疑惑惑? ?说说给老师或同学听听给老师或同学听听. . 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系. . 二次函数与一元二次方程根的情况关系二次函数与一元二次方程根的情况关系. . 事事物物是是普普遍遍联联系系的的. .运运用用方方程程知知识识可可以以解解决决函函数数问问题题，同样运用函数知识又可以解决方程根的问题同样运用函数知识又可以解决方程根的问题. .三、课堂小结，梳理新知三、课堂小结，梳理新知 （2 2）教教师师与与同同学学聆聆听听部部分分同同学学的的收收获获，解解决决部部分分同同学学的的疑疑惑惑. .师师生生共共同同回回顾顾总总结结，归归纳纳本本节节所所学学的的知知识识及及数数形形结结合合的的思想方法思想方法. . 教师聆听同学的收获，解决同学的疑惑教师聆听同学的收获，解决同学的疑惑. . 学生归纳、总结发言学生归纳、总结发言. . 体会、反思体会、反思. .
