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1、一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子第五章定第五章定第五章定第五章定 积积积积 分分分分第一节定积分的概念与性质第一节定积分的概念与性质第一节定积分的概念与性质第一节定积分的概念与性质二、定积分的定义二、定积分的定义二、定积分的定义二、定积分的定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质四、定积分的性质四、定积分的性质一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子1 1. . . .
2、曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，曲边梯形：在直角坐标系下， 由闭区间由闭区间 a, b 上的连续曲线上的连续曲线 y = f (x) 0， 直直线线 x = a，x = b 与与 x 轴围成的平面图形轴围成的平面图形 AabB.yxOabABx = ax = by = f (x)基于这种想法，基于这种想法， 可可以以用用一一组组平平行行于于 y 轴的直线轴的直线把把曲曲边边梯梯形形分分割割成成若若干干个个小小曲曲边边梯梯形形，只要分割得较细，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，每个小曲边梯形很窄， 则则其其高高 f (x) 的变化就很小的变化就
3、很小. 这这样样，可可以以在在每每个个小小曲曲边边梯梯形形上作一个与它同底，上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，底上某点函数值为高的矩形，曲线曲线 y = f (x) 是连续的，是连续的， 所所以以，当当点点 x 在在区区间间 a, b 上某处变化很小时，上某处变化很小时， 则则相相应应的的高高 f (x) 也也就就变化不大变化不大.显然，分割越细，显然，分割越细， 近似程度就越高，近似程度就越高，当无限细分时，当无限细分时， 则则所所有有小小矩矩形形面面积积之之和和的的极极限就是曲边梯形面积的精确值限就是曲边梯形面积的精确值.用用小小矩矩形形的的面面积积近近似似代代替替小小曲曲边边梯
4、梯形形的的面面积积，进进而而用用所所有有小小矩矩形形面面积积之之和和近近似似代代替替整整个个曲曲边边梯形面积梯形面积. .( (1) ) 分割分割在区间在区间 a, b 内任意插入内任意插入 n 1 个分点：个分点：a = x0 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 xn = b， 把区间把区间 a, b 分成分成 n 个小区间：个小区间：x0, x1，x1, x2， ，xi- -1, xi ， ，xn- -1, xn.这些小区间的长度分别记为这些小区间的长度分别记为 xi = xi xi - -1 (i = 1, 2, , n). 过每一分点作平行于过每一分点作平行于 y 轴的直线，
5、轴的直线， 它它们们把把曲曲边边梯梯形分成形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a a = x0x1xi- -1xn= = bOy = f (x)yBAxxiOyBAx( (2) ) 近似代替近似代替在每个小区间在每个小区间 xi- -1, xi( (i = 1, 2, , n) )上取一点上取一点 x xi ( (xi- -1 x xi xi),),以以 f( (x xi) )为高，为高， xi 为底作小矩形，为底作小矩形，用用小小矩矩形形面面积积 f (x xi) xi 近近似似代代替替相相应应的的小小曲
6、曲边边梯梯形形面积面积 Ai ，即即 Ai f (x xi) xi (i = 1, 2, , n) .x x1x x2x xix xnxOy = f (x)yBAa a = x0x1xi- -1xn= = b xi( (4) ) 取极限取极限当分点当分点个数个数 n 无限增加，无限增加，即即( (3) ) 求和求和把把 n 个小矩形面积加起来，个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，它就是曲边梯形面积的近似值，即即 且小区间长度的最大值且小区间长度的最大值 ( (即即 = max xi) )趋近于趋近于 0 时，时， 上述和式的极限就是上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，曲边梯形面
7、积的精确值，2 2. . . .变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程设一物体作直线运动，设一物体作直线运动， 已知速度已知速度 v = v( (t) ) 是时间是时间 t 的连续函数，的连续函数， 求求在在时时间间间间隔隔 T1, ,T2 上上物物体体所所经经过过的路程的路程 s .( (1) ) 分割分割在时间间隔在时间间隔 T1, ,T2 内任意插入内任意插入 n - - 1 个分点：个分点：T1 = t0 t1 t2 ti- -1 ti tn- -1 tn = T2 ， 把把 T1, ,T2 分成分成 n 个小区间：个小区间：t0, t1，t1, t2
8、， ，ti- -1, ti ， ，tn- -1, tn.这些小区间的长度分别为：这些小区间的长度分别为： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相应的路程相应的路程 s 被分为被分为 n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) .( (2) ) 近似代替近似代替在每个小区间上任意取一点在每个小区间上任意取一点 x xi ( (ti- -1 x xi ti),),用用 x xi 点的速度点的速度 v (x xi) 近似代替物体在小区间上的近似代替物体在小区间上的速度，速度，用乘积用乘积 v ( (x xi) ) ti 近近似似代代替替物物体体在在小小区区
9、间间 ti- -1 , ti 上所经过的路程上所经过的路程 si ，即即 si v(x xi) ti (i =1, 2, , n) .( (3) ) 求和求和( (4) ) 取极限取极限二、定积分的定义二、定积分的定义定定义义设设函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上上有有定定义义任意取分点任意取分点a = x0 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 x1 x2 xi- -1 xi xn- -1 xn = b由于由于 xi- -1 xi ， xi = xi - - xi- -1 b ，同样可给出定积分同样可给出定积分即可，即可，根根据据定定积积分分的的定定义义，上上面面两两个
10、个例例子子都都可可以以表表示为定积分：示为定积分：( (1) ) 曲曲边边梯梯形形面面积积 A 是是曲曲边边函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上的定积分，上的定积分，即即( (2) ) 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 s 是速度函数是速度函数 v (x) 在在时间间隔时间间隔 T1, ,T2 上的定积分，上的定积分， 即即例例 1用定义计算用定义计算解解被积函数被积函数 f (x) = e- -x，在区间在区间 0, 1 上连续，上连续，所以所以 e- -x 在在 0, 1 上可积上可积 . 为了计算方便起见，为了计算方便起见，把区间把区间 0, 1 等分成等分成 n 份，份
11、，分点为分点为 每个子区间的长度都是每个子区间的长度都是 在每个子区间在每个子区间上都取左端点为上都取左端点为 x xi ，于是和式为于是和式为当当 = max xi0 + + 时，即时，即 n + + 有有于是有于是有AabBy=f (x)三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义当当 f (x) 0 时，时， 定积分在几何上表示定积分在几何上表示 曲边曲边 y = f (x)在区间在区间 a, b 上方的曲边梯形面积，上方的曲边梯形面积，如果如果 f (x) 0 ，曲边梯形在曲边梯形在 x 轴下方轴下方，此此时时该该定定积积分分为为负负值值，它它在在几几何何上上表表示示 x 轴轴下下方方的的
12、曲曲边边梯梯形形面面积积是是负负值值，yxO当当 f (x) 在在 a, b 上有正有负时，上有正有负时， x 轴轴上上方方的的曲曲边边梯梯形形面面积减去积减去 x 轴下方的曲边梯形面积轴下方的曲边梯形面积yx定积分定积分y = f (x)ABabA1A2A3四、定积分的性质四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的下面各性质中的函数都假设是可积的.性质性质 1 ( (1) ) 两个函数和的定积分等于它们两个函数和的定积分等于它们定积分的和定积分的和，即即( (2) ) 被积函数的常数因子可以提到积分外面被积函数的常数因子可以提到积分外面，即即证证 只证性质只证性质 1 .根据定积分的定
13、义，根据定积分的定义，有有性质性质 1 ( (1) ) 可推广到有限多个函数代数和的可推广到有限多个函数代数和的情况，即情况，即性质性质 2 如果在区间如果在区间 a, b 上上 f (x) 1 ，那么那么性性质质 3( (积积分分对对区区间间可可加加性性) )如如果果积积分分区区间间 a, b 被点被点 c 分成两个区间分成两个区间 a, c 和和 c, b ，那么那么当点当点 c 不介于不介于 a 与与 b 之间，之间， 即即 c a b 或或 a b 0 (i = 1, 2, , n)，移项，得移项，得推论推论 由性质由性质 4 可得可得 所以上式右端的极限值所以上式右端的极限值非正，非
14、正，从而有从而有性质性质 5( (估值定理估值定理) )如果存在两个数如果存在两个数 M，m，使函数使函数 f (x) 在闭在闭区间区间 a, b 有有 m f (x) M， 那么那么该性质的几何解释是：该性质的几何解释是：曲线曲线 y = f (x) 在在 a, b 上上的曲边梯形面积的曲边梯形面积 介介于于与与区区间间 a, b 长度为底，长度为底， 分别分别以以 m 和和 M 为高的两个矩为高的两个矩形面积之间形面积之间.m (b - - a) M (b - - a)y = f (x)yxabmMOBA性质性质 6 ( (积分中值定理积分中值定理) )如果函数如果函数 f (x) 在在区
15、间区间 a, b 上连续，上连续，= f (x x) (b - - a) 那么在区间那么在区间 a, b 上至少上至少存在一点存在一点 x x ，使下面等式成立：使下面等式成立：证证因为因为 b a 0，由估值定理得由估值定理得由闭区间上连续函数的介值定理知道由闭区间上连续函数的介值定理知道 在在 a, b 上至少存在一个点上至少存在一个点 x x ，于是得于是得当当 b a 时，时， 上式仍成立上式仍成立 . 使使m 该性质的几何解释是：该性质的几何解释是： 一一条条连续曲线连续曲线 y = f (x) 在在 a, b 上上的曲的曲边边梯形面积梯形面积y xOf (x x)x xy = f
16、(x)abBA 等等于于区区间间 a, b 长长度度为为底底， a, b 中一点中一点 x x 的函数值为高的矩形面积的函数值为高的矩形面积 .例例 2比较下列各对积分值的大小：比较下列各对积分值的大小：解解( (1) ) 根据幂函数的性质，在根据幂函数的性质，在 0, 1 上，有上，有由性质由性质 4 ，得，得( (2) ) 令令 f (x) = x - - ln(1 + x)，f (x)函数函数 f (x) 在在区间区间 0, 1 上单调增加，上单调增加，所以，所以，f (x) f (0) = x - - ln(1 + + x)|x = 0 = 0，从而有从而有 x ln(1 + x)， 由性质由性质 4 ，得，得知知由由在区间在区间 0, 1 上上解解 令令 f (x) = 0， 得驻点得驻点 x = 0.比较驻点比较驻点 x = 0，区间端点区间端点 x = 1 的函数值，的函数值，f (0) = e0 = 1，其次，根据估值定理得其次，根据估值定理得例例 3估计定积分估计定积分最大值最大值 M = 1，
