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1、一一 无穷小量无穷小量二二 无穷大量无穷大量三三 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系四四 无穷小的运算法则无穷小的运算法则五五 小结与判断题小结与判断题第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量7/31/20241一 无穷小量无穷小量(Infinitely Small Quantity)1 定义定义极限为极限为0的变量叫无穷小量的变量叫无穷小量。说明：说明：注注1 不要认为无穷小量是一个很小很小的数不要认为无穷小量是一个很小很小的数；注注2 无穷小量是个变量无穷小量是个变量；注注3 一个函数是无穷小量，必须指明自一个函数是无穷小量，必须指明自变量的变化趋势；变量的变化趋势
2、；注注4 0 是唯一可称为无穷小量的数。是唯一可称为无穷小量的数。7/31/20242例如例如：例例1 用定义证明用定义证明7/31/202432 无穷小量和极限的关系无穷小量和极限的关系 证明证明1）不妨设不妨设令令（ 为为无穷小量）无穷小量）则则 当当 为为无穷小量，也有无穷小量，也有 =A+ 7/31/20244即有即有例如：例如：有有其中其中所以，所以， 以以A为极限为极限。2）若若 =A+ ，则则 = -A, 为为无穷无穷小量小量,由于由于 为为无穷小量，故对无穷小量，故对7/31/20245思考题：思考题：是是“当当时时，是无穷小是无穷小”的的(A) 充分但非必要条件充分但非必要条
3、件；(B) 必要但非充分条件必要但非充分条件；(C) 既非充分也非必要条件；既非充分也非必要条件；(D) 充分必要条件充分必要条件7/31/20246二二 无穷大量无穷大量无限增大，趋向于无穷大，称无限增大，趋向于无穷大，称是一个无穷大量。是一个无穷大量。X0Y简单地说，简单地说，绝对值无绝对值无限增大的限增大的变量叫无变量叫无穷大量穷大量.(Infinitely Large Quantity)7/31/20247精确地讲：精确地讲：当当时，有时，有故故故故7/31/20248注注4 无穷大量是一个变量，绝对值无限增无穷大量是一个变量，绝对值无限增大的变量；大的变量；注注5 函数是无穷大量，必
4、须指明其变化函数是无穷大量，必须指明其变化趋势趋势。比如比如例例2证明证明证证：7/31/20249要使要使只须只须取取所以，所以，7/31/202410注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一注：无穷大量一定是无界量；但是无界量不一定是无穷大量定是无穷大量。例例：证明函数：证明函数在在是无界的，但是无界的，但时，不是无穷大量时，不是无穷大量。证明：取证明：取不是无穷大不是无穷大.说明：证明函数的极限不存在时，只须找说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点一串点 , 使使 的极限不存在。的极限不存在。7/31/2024117/31/202412下面证明下面证明且且取取所以所以，上是无界的。上
5、是无界的。在在上是无界的上是无界的。在在7/31/202413三三 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系注注（倒数关系）倒数关系）则则则则7/31/2024147/31/202415注注 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.7/31/202416四四 无穷小的运算法则无穷小的运算法则定理定理有限个无穷小的和仍是无穷小。有限个无穷小的和仍是无穷小。证：证：7/31/202417故故注意：无限个无穷小量的和不一定是注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小无穷小。例例：7/31/202418定理定理 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量
6、与无穷小量的积仍是无穷小。证明：证明：g(x)有界，故存在有界，故存在M ，使使对于对于当当故当故当设设g(x)在某定义域内有界，在某定义域内有界， 7/31/202419 推论推论（）常量与无穷小的积仍是无穷小；）常量与无穷小的积仍是无穷小；（）有限个无穷小量的积仍是无穷小。）有限个无穷小量的积仍是无穷小。例例7/31/202420五五 小结与判断题小结与判断题内容内容:无穷小量和无穷大量，及其倒数关系无穷小量和无穷大量，及其倒数关系判断题判断题无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；无穷小是变量，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）是无穷小. .（3） 无界变量是无穷大无界变量是无穷大.7/31/202421
