《黄冈名师版高考数学大一轮复习10.9圆锥曲线中的最值与范围问题课件理新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师版高考数学大一轮复习10.9圆锥曲线中的最值与范围问题课件理新人教A版（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九节圆锥曲线中的最值与范围问题(全国卷5年3考)考点一圆锥曲线中几何法求最值与范围考点一圆锥曲线中几何法求最值与范围【题组练透题组练透】1.1.若点若点O O和点和点F F分别为椭圆分别为椭圆 的中心和左焦点的中心和左焦点, ,点点P P为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点, ,则则 的最大值为的最大值为( () )A. A. B.6 B.6 C.8 C.8 D.12D.12【解析解析】选选B.B.由已知由已知,F(-1,0),F(-1,0),设设P(x,y),P(x,y),则则=(x,y)=(x,y)(x+1,y)=x(x+1,y)=x2 2+x+y+x+y2 2, ,又点又点P P在椭圆
2、上在椭圆上, ,所以所以 =1,=1,所以所以x x2 2+x+3- x+x+3- x2 2= x= x2 2+x+3= (x+2)+x+3= (x+2)2 2+2,+2,又又-2-2x2,x2,所以当所以当x=2x=2时时, (x+2), (x+2)2 2+2+2取得最大值取得最大值6,6,即即 的最大值为的最大值为6.6.2.2.已知椭圆已知椭圆E: =1(ab0)E: =1(ab0)的右焦点为的右焦点为 F,F,短轴的短轴的一个端点为一个端点为M,M,直线直线l:3x-4y=0:3x-4y=0交椭圆交椭圆E E于于 A,BA,B两点两点. .若若|AF|+|BF|=4,|AF|+|BF|
3、=4,点点M M到直线到直线l的距离不小于的距离不小于 , ,则椭圆则椭圆E E的的离心率的取值范围是离心率的取值范围是( () ) 【解析解析】选选A.A.不妨设不妨设M(0,b),M(0,b),点点M M到直线到直线l的距离的距离 即即b1,b1,所以所以 所以所以0e ,0e ,即即e e的取值范围是的取值范围是 【一题多解一题多解】选选A.A.记椭圆的左焦点为记椭圆的左焦点为F F1 1,M,M为上顶点为上顶点, ,连连接接AFAF1 1,BF,BF1 1, ,过过M M作作l的垂线的垂线, ,垂足为垂足为N,N,由已知由已知4a=|AF4a=|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|+
4、|AF|+|BF|=4+4=8,|+|AF|+|BF|=4+4=8,所以所以a=2,a=2,直线直线l的斜率的斜率k=tanAOF= ,k=tanAOF= ,所以所以cos AOF= ,cos AOF= ,又又OMN=AOF,OMN=AOF,所以所以cosOMN= |MN|= b ,cosOMN= |MN|= b ,所以所以b1,b1,e e2 2= = 所以所以0e ,0b0) =1(ab0)的右焦点的右焦点F(1,0)F(1,0)作直线作直线l与椭圆与椭圆C C交交于不同的两点于不同的两点A,B,A,B,设设|FA|=|FB|,T(2,0).|FA|=|FB|,T(2,0).世纪金世纪金榜
5、导学号榜导学号(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)若若12,12,求求ABTABT中中ABAB边上中线长的取值范围边上中线长的取值范围. .【解析解析】(1)(1)因为因为e= ,c=1,e= ,c=1,所以所以a= ,ba= ,b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1,=1,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 +y+y2 2=1.=1.(2)(2)当直线当直线l的斜率为的斜率为0 0时时, ,显然不成立显然不成立; ;设直线设直线l:x=my+1,A(x:x=my+1,A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),联立联立 得得(m(m
6、2 2+2)y+2)y2 2+2my-1=0,+2my-1=0,所以所以y y1 1+y+y2 2= ,y= ,y1 1y y2 2= ,= ,由由|FA|=|FB|,|FA|=|FB|,得得y y1 1=-y=-y2 2, ,因为因为 所以所以 因为因为12,12,所以所以0 0 解得解得m m2 2 , ,又因为又因为ABAB边上的中线长为边上的中线长为 所以所求取值范围是所以所求取值范围是 误区警示误区警示:(1):(1)求椭圆方程只需求出求椭圆方程只需求出a a2 2,b,b2 2, ,有时不需求有时不需求a,b.a,b.(2)(2)直线斜率可能不存在直线斜率可能不存在, ,但斜率一定
7、不为但斜率一定不为0 0时时, ,可设直可设直线方程为线方程为x=my+1.x=my+1.【规律方法规律方法】1.1.解决取值范围问题的常用方法解决取值范围问题的常用方法(1)(1)构建不等式法构建不等式法: :利用已知或隐含的不等关系利用已知或隐含的不等关系, ,构建以构建以待求量为元的不等式求解待求量为元的不等式求解. .(2)(2)构建函数法构建函数法: :先引入变量构建以待求量为因变量的先引入变量构建以待求量为因变量的函数函数, ,再求其值域再求其值域. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :利用待求量的几何意义利用待求量的几何意义, ,确定出极端位确定出极端位置后数形结合求解置后数
8、形结合求解. .2.2.解决距离问题常用方法解决距离问题常用方法( (例如例如|FA|=|FB|)|FA|=|FB|)(1)(1)两点间距离公式两点间距离公式|FA|FA|2 2=2 2|FB|FB|2 2; ;(2)(2)向量向量 同向同向, ,则则 (3)(3)三角形全等或相似三角形全等或相似; ;(4)(4)转化为横坐标或纵坐标转化为横坐标或纵坐标; ;(5)(5)转化为等腰三角形、共圆、中垂线等转化为等腰三角形、共圆、中垂线等. .【对点训练对点训练】(2018(2018保定模拟保定模拟) )如图如图, ,椭圆椭圆C: =1(ab0)C: =1(ab0)的右的右顶点为顶点为A(2,0)
9、,A(2,0),左、右焦点分别为左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,过点过点A A且斜率且斜率为为 的直线与的直线与y y轴交于点轴交于点P,P,与椭圆交于另一个点与椭圆交于另一个点B,B,且且点点B B在在x x轴上的射影恰好为点轴上的射影恰好为点F F1 1. .(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程. .(2)(2)过点过点P P且斜率大于且斜率大于 的直线与椭圆交于的直线与椭圆交于M,NM,N两点两点(|PM|PN|),(|PM|PN|),若若S SPAMPAMSSPBNPBN=,=,求实数求实数的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)因为因为BFBF
10、1 1xx轴轴, ,得到点得到点 所以所以 所以椭圆所以椭圆C C的标准方程是的标准方程是 (2)(2)由由(1)(1)知知P(0,-1),P(0,-1),设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2),MN),MN方程方程y=kx-1,y=kx-1,因为因为 (2),(2),所以所以 联立联立 得得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2-8kx-8=0,-8kx-8=0,所以所以 (*)(*)又又 =(x=(x1 1,y,y1 1+1), =(x+1), =(x2 2,y,y2 2+1),+1),所以所以x x1 1=- x=- x2 2, ,将将x x1
11、1=- x=- x2 2代入代入(*)(*)得得 因为因为k ,k ,所以所以 即即1 4,1 2,2,所以所以44+2 ,40)M: =1(a0)的一个焦点为的一个焦点为F(-1,F(-1,0),0),左右顶点分别为左右顶点分别为A,B,A,B,经过点经过点F F的直线的直线l与椭圆与椭圆M M交于交于C,DC,D两点两点. .(1)(1)求椭圆方程求椭圆方程. .(2)(2)记记ABDABD与与ABCABC的面积分别为的面积分别为S S1 1和和S S2 2, ,求求|S|S1 1-S-S2 2| |的的最大值最大值. .【解析解析】(1)(1)因为因为F(-1,0)F(-1,0)为椭圆的
12、焦点为椭圆的焦点, ,所以所以c=1,c=1,又又b= ,b= ,所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2=4,=4,所以椭圆方程为所以椭圆方程为 =1.=1.(2)(2)当直线当直线l斜率不存在时斜率不存在时, ,l方程为方程为x=-1,x=-1,此时此时 ABD,ABCABD,ABC面积相等面积相等, ,|S|S1 1-S-S2 2|=0,|=0,当直线当直线l斜率存在斜率存在( (显然显然k0)k0)时时, ,设直线方程为设直线方程为y=k(x+1)(k0),y=k(x+1)(k0),设设C(xC(x1 1,y,y1 1),D(x),D(x2 2,y,y2 2),),直线方程和椭
13、圆方程联立直线方程和椭圆方程联立, ,消去消去y y得得(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8k+8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,-12=0,显然显然0,0,方程有根方程有根, ,所以所以 此时此时|S|S1 1-S-S2 2|=2|y|=2|y1 1|-|y|-|y2 2|=2|y|=2|y1 1+y+y2 2| |=2|k(x=2|k(x1 1+1)+k(x+1)+k(x2 2+1)|=2|k(x+1)|=2|k(x2 2+x+x1 1)+2k|= )+2k|= （k=k= 时等号成立时等号成立 , ,所以所以|S|S1 1-S-S2 2| |的最的最大值为大值为 . .
14、 【状元笔记状元笔记】代数法在求最值中的应用代数法在求最值中的应用将所求最值的几何量或代数表达式表示为某个将所求最值的几何量或代数表达式表示为某个( (些些) )参参数的函数数的函数, ,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. .注意注意: :基本不等式法一般只能求最值基本不等式法一般只能求最值, ,不能求取值范围不能求取值范围. .命题角度命题角度2 2函数单调性解圆锥曲线中的最值问题函数单调性解圆锥曲线中的最值问题【典例典例】(2018(2018石家庄模拟石家庄模拟) )已知椭圆已知椭圆C: =1C: =1(ab0)(ab0)的左、右顶点分别为的左、
15、右顶点分别为A,B,A,B,且长轴长为且长轴长为8,T8,T为椭为椭圆上任意一点圆上任意一点, ,直线直线TA,TBTA,TB的斜率之积为的斜率之积为- .- .世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)设设O O为坐标原点为坐标原点, ,过点过点M(0,2)M(0,2)的动直线与椭圆的动直线与椭圆C C交于交于P,QP,Q两点两点, ,求求 的最大值的最大值. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知A(-4,0),B(4,0),A(-4,0),B(4,0),设设T(x,y),T(x,y),直线直线TATA的斜率为的斜率为k k1 1, ,直线直线
16、TBTB的斜率为的斜率为k k2 2, ,则则整理得整理得 =1.=1.所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 =1.=1.(2)(2)当直线当直线PQPQ的斜率不存在时的斜率不存在时, , 的值为的值为-20;-20;当直线当直线PQPQ的斜率存在时的斜率存在时, ,设直线设直线PQPQ的方程为的方程为y=kx+2,y=kx+2,点点P(xP(x1 1,y,y1 1),Q(x),Q(x2 2,y,y2 2),),由由 消去消去y,y,得得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2+16kx-32=0,+16kx-32=0,所以所以x x1 1+x+x2 2= = 所以所以 =x=x1 1x x
17、2 2+y+y1 1y y2 2+x+x1 1x x2 2+(y+(y1 1-2)(y-2)(y2 2-2)-2)=2(1+k=2(1+k2 2)x)x1 1x x2 2+2k(x+2k(x1 1+x+x2 2)+4= )+4= =-20+ ,=-20+ ,因为函数因为函数f(x)=-20+ f(x)=-20+ 在在0,+)0,+)上上是减函数是减函数, ,所以当所以当k k2 2=0,=0,即即k=0k=0时时,-20+ ,-20+ 有最大有最大值值- .- .综上综上, , 的最大值为的最大值为- .- .【状元笔记状元笔记】函数的单调性在求范围中的应用函数的单调性在求范围中的应用关键在于
18、将所求转化为代数式关键在于将所求转化为代数式. .(1)(1)若代数式中有一个变量若代数式中有一个变量, ,则构造函数则构造函数, ,求函数单调性求函数单调性, ,即可求出最值即可求出最值. .(2)(2)若代数式中有两个或更多变量若代数式中有两个或更多变量, ,则考虑有没有忽略则考虑有没有忽略的已知条件的已知条件, ,能否消元能否消元, ,如果不能消元变为一个变量如果不能消元变为一个变量, ,那那么考虑用基本不等式法么考虑用基本不等式法. .【对点练对点练找规律找规律】已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x的焦点为点的焦点为点F,F,过点过点F F的直线交抛物线的直线交抛物线于于A,B
19、A,B两点两点. .(1)(1)若若 求直线求直线ABAB的斜率的斜率. .(2)(2)设点设点M M在线段在线段ABAB上运动上运动, ,原点原点O O关于点关于点M M的对称点为的对称点为C,C,求四边形求四边形OACBOACB面积的最小值面积的最小值. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知F(1,0),F(1,0),设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),直线直线ABAB的方程为的方程为x=my+1,x=my+1,由由 消去消去x x得得,y,y2 2-4my-4=0.-4my-4=0.所以所以y y1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1
20、 1y y2 2=-4.=-4.因为因为 所以所以y y1 1=-2y=-2y2 2, , 联立联立和和, ,消去消去y y1 1,y,y2 2, ,得得m=m= . .所以直线所以直线ABAB的斜率是的斜率是2 2 . .(2)(2)由点由点C C与原点与原点O O关于点关于点M M对称对称, ,得得M M是线段是线段OCOC的中点的中点, ,点点O O与点与点C C到直线到直线ABAB的距离相等的距离相等, ,所以四边形所以四边形OACBOACB的面积等于的面积等于2S2SAOBAOB. .因为因为2S2SAOBAOB=2=2 |OF|OF|y|y1 1-y-y2 2|= |= , ,所以
21、当所以当m=0m=0时时, ,四边形四边形OACBOACB的面积最小的面积最小, ,最小最小值是值是4.4.【变式备选变式备选】(2018(2018安阳模拟安阳模拟) )设椭圆设椭圆M: =1(aM: =1(ab0)b0)的离心率与双曲线的离心率与双曲线x x2 2-y-y2 2=1=1的离心率互为倒数的离心率互为倒数, ,且且椭圆的长轴长为椭圆的长轴长为4.4.(1)(1)求椭圆求椭圆M M的方程的方程. .(2)(2)若直线若直线y= x+my= x+m交椭圆交椭圆M M于于A,BA,B两点两点,P(1, ),P(1, )为椭为椭圆圆M M上一点上一点, ,求求PABPAB面积的最大值面积
22、的最大值. .【解析解析】(1)(1)由已知由已知, ,双曲线的离心率为双曲线的离心率为 , ,则则椭圆的离心率椭圆的离心率e= e= 由由2a=4, b2a=4, b2 2=a=a2 2-c-c2 2, ,得得a=2,c= ,b= ,a=2,c= ,b= ,所以椭所以椭圆圆M M的方程为的方程为 =1.=1.(2)(2)联立方程联立方程 得得4 4x x2 2+2 +2 mxmx+ +m m2 2-4=0,-4=0,由由=(2 =(2 m m) )2 2-16(-16(m m2 2-4)0,-4)0,得得-2 -2 m m2 .0)C: (m0)的左焦点的左焦点, ,直线直线y=xy=x被椭
23、圆被椭圆C C截得的弦长为截得的弦长为 . .(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)圆圆T: T: (r0)(r0)与椭圆与椭圆C C交于交于A,BA,B两点两点,M,M为线段为线段ABAB上任意一点上任意一点, ,直线直线FMFM交椭圆交椭圆C C于于P,QP,Q两两点点,AB,AB为圆为圆T T的直径的直径, ,且直线且直线FMFM的斜率大于的斜率大于1,1,求求|PF|PF|QF|QF|的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)由由 得得x x2 2=y=y2 2= ,= ,所以所以 解得解得m=1,m=1,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 (2)(2
24、)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 (x(x1 1-x-x2 2)-(y)-(y1 1-y-y2 2)=0,)=0,所以所以k kAB B= =1,= =1,所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y- =x+ ,y- =x+ ,即即y=x+ ,y=x+ ,代入代入椭圆椭圆C C的方程并整理得的方程并整理得7x7x2 2+8 x=0,+8 x=0,所以所以x x1 1=0,x=0,x2 2=- ,=- ,又又F(-1,0),F(-1,0),直线直线FMFM的斜率大于的斜率大于1, 1, 所以直线所以直线FMFM的斜率的斜率k ,+).k
25、,+).设设FM:y=k(x+1),FM:y=k(x+1),由由 得得(3+4k(3+4k2 2)x)x2 2+8k+8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,-12=0,设设P(xP(x3 3,y,y3 3),Q(x),Q(x4 4,y,y4 4),),所以所以x x3 3+x+x4 4= ,x= ,x3 3x x4 4= ,= ,又又|PF|= |x|PF|= |x3 3+1|,|QF|= |x+1|,|QF|= |x4 4+1|,+1|,所以所以|PF|PF|QF|=(1+k|QF|=(1+k2 2)|x)|x3 3x x4 4+(x+(x3 3+x+x4 4)+1|)+1|因为因为k
26、 ,k ,所以所以 即即|PF|PF|QF|QF|的取值范围是的取值范围是 【一题多解一题多解】本题本题(1)(1)还可以采用以下解法还可以采用以下解法: :因为直线因为直线y=xy=x被椭圆被椭圆C C截得的弦长为截得的弦长为 , ,所以所以点点 在椭圆在椭圆C C上上, ,代入代入 得得m=1,m=1,所所以椭圆以椭圆C C的方程为的方程为 =1.=1.【技法点拨技法点拨】解决圆锥曲线问题解决圆锥曲线问题“三步法三步法”(1)(1)设设. .分清已知量和未知量分清已知量和未知量, ,将未知量设为未知数将未知量设为未知数. .直直线与圆锥曲线有两个交点时线与圆锥曲线有两个交点时, ,一般设交
27、点为一般设交点为(x(x1 1,y,y1 1), ), (x(x2 2,y,y2 2),),动点可设为动点可设为(m,n),(m,n),与与(x,y)(x,y)区分开区分开. .(2)(2)列列. .将已知条件转化为方程将已知条件转化为方程( (组组).).(3)(3)解解. .解方程解方程( (组组).).直线与圆锥曲线相交问题直线与圆锥曲线相交问题, ,一般消一般消去一个变量去一个变量, ,得到一元二次方程得到一元二次方程, ,借助根与系数的关系借助根与系数的关系求解求解; ;圆锥曲线上两动点圆锥曲线上两动点, ,没有直线时没有直线时, ,一般用点差法一般用点差法. .【即时训练即时训练】
28、已知椭圆已知椭圆C: (ab0)C: (ab0)的四个顶点组成的四边的四个顶点组成的四边形的面积为形的面积为2 ,2 ,且经过点且经过点 . .(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. .(2)(2)椭圆椭圆C C的下顶点为的下顶点为P,P,如图所示如图所示, ,点点M M为直线为直线x=2x=2上的一上的一个动点个动点, ,过椭圆过椭圆C C的右焦点的右焦点F F的直线的直线l垂直于垂直于OM,OM,且与且与C C交交于于A,BA,B两点两点, ,与与OMOM交于点交于点N,N,四边形四边形AMBOAMBO和和ONPONP的面积分的面积分别为别为S S1 1,S,S2 2. .求求S S
29、1 1S S2 2的最大值的最大值. .【解析解析】(1)(1)因为因为 在椭圆在椭圆C C上上, ,所以所以 又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2 ,2 ,所以所以 2a2a2b=2 ,ab= ,2b=2 ,ab= ,解得解得a a2 2=2,b=2,b2 2=1,=1,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 +y+y2 2=1.=1.(2)(2)由由(1)(1)知知F(1,0),F(1,0),设设M(2,t),A(xM(2,t),A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2).).当当t0t0时时, ,直线直线OMOM的方程为的方程为y= x,y= x,所以所以kAB B=- ,=- ,直线直线ABAB的方程为的方程为y=- (x-1),y=- (x-1),由由 得得(8+t(8+t2 2)x)x2 2-16x+8-2t-16x+8-2t2 2=0,=(-16)=0,=(-16)2 2-4(8+t-4(8+t2 2)(8-2t)(8-2t2 2)=8(t)=8(t4 4+4t+4t2 2)0,)0,所以所以S S1 1= |OM|= |OM|AB|= |AB|= 当当t=0t=0时时, ,直线直线l:x=1,|AB|= ,:x=1,|AB|= , 综上综上,S,S1 1S S2 2的最大值为的最大值为 . .
