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1、巩固与提高巩固与提高 1 基本概念基本概念 2 基本算法基本算法 3 解题方法解题方法秩秩极大无关组极大无关组向量个数向量个数线性表出线性表出 矩阵的秩，矩阵的秩，极大无关组计算极大无关组计算非零子式非零子式最高阶数最高阶数方阵可逆性方阵可逆性矩阵三个子矩阵三个子空间的维数空间的维数线性相关性线性相关性矩阵运算下矩阵运算下秩的变化秩的变化相抵相抵 , 相似相似,合同合同 在向量空间在向量空间 Kn 中中, 一组向量只要满足一组向量只要满足 以下任意两个条件以下任意两个条件, 就构成就构成 Kn 的基底的基底. 1) 线性无关线性无关 ; 2) 能线性表出能线性表出 Kn ; 3) 向量个数向量
2、个数 = n .解空间的维数解空间的维数定理定理: n 元齐次方程组解空间元齐次方程组解空间 W 的维数是的维数是 dim W = n A 秩秩 证：证： A J n A 秩秩 = 自由变量个数自由变量个数 = dim W 定理定理： 这里这里 n = A 列数列数 = B 行数行数 . .定理定理 : 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 则有则有 | A | 0 A 可逆可逆 证证 : 若若 | A | 0 ( A 满秩满秩 ), 则则 A 的的 n 个列向量个列向量 1 , 2 , , n 能表出能表出 Kn 的标准基的标准基 . 于是存在方阵于是存在方阵 B , 使得使得 ( 1
3、 , 2 , , n ) B = ( 1 , 2 , , n ) 即即 A B = I . | A | 0 A 可逆可逆 证证(续续) : 由由 A B = I 得得 A B A = A ( 1 , 2 , , n ) B A = ( 1 , 2 , , n ) 注意到注意到 A 的列向量的列向量 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, 故故 B A = I . 于是于是 A 可逆可逆, A-1 = B .重要推论重要推论: 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 且且 A B = I . 则则 B A = I . 可逆可逆 | A | 0 此时此时定理定理: 对于对于 n 阶方阵阶方
4、阵 A , 以下条件等价：以下条件等价： 1) A 可逆可逆 2) 存在矩阵存在矩阵 B , 使得使得 AB = I 或或 BA = I 3) | A | 0 4) A 满秩满秩 ( 行行、列向量组均线性无关列向量组均线性无关)5) A 是是 n 维向量空间基底之间的过渡矩阵维向量空间基底之间的过渡矩阵6) A 是一些初等矩阵的乘积是一些初等矩阵的乘积 已知已知 A 满秩满秩 , 如何求如何求 A-1 ?n过渡矩阵法过渡矩阵法 A B = I ( 1 , 2 , , n ) B = ( 1 , 2 , , n )n伴随矩阵法伴随矩阵法n初等矩阵的分解初等矩阵的分解 若有若有 P1 P2 Ps
5、A = I , 则则 P1 P2 Ps = A1 于是于是 P1 P2 Ps A | I = P1 P2 Ps A | P1 P2 Ps I = I | A-1 求矩阵的逆求矩阵的逆, 解矩阵方程解矩阵方程 坐标变换坐标变换 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 设设 1 , 2 , , n 与与 1
6、 , 2 , , n 是是向量空间向量空间 V 的的两组基两组基, 且且 注意注意:n左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时左矩阵列分组与右矩阵行分组一致时, , 分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法分块矩阵可以象普通矩阵一样做乘法; ; ( (不用看左矩阵行分组和右矩阵列分组不用看左矩阵行分组和右矩阵列分组).).n子矩阵块作乘法时左右次序不能改变子矩阵块作乘法时左右次序不能改变: : 来来自自 左矩阵的乘在左边左矩阵的乘在左边, , 右矩阵的乘在右边右矩阵的乘在右边. . 例例. 若若 A , B 是是 n 阶方阵阶方阵, 则有则有 在在子空间子空间 V 上的正交投影上的正交投影 正交投影公式正交投
7、影公式n若若 1 , 2 , , s 是子空间是子空间 V 的一组的一组 正交基正交基 , 则则向量向量 在在 V 上的正交投影为上的正交投影为 正交投影的应用：正交投影的应用： 最小二乘法与回归直线最小二乘法与回归直线 定理定理 : 设设 1 , 2 , , n 与与 1 , 2 , , n 是是 Kn 的两组基的两组基 , U 是过渡矩阵是过渡矩阵, 即即 1 2 n = 1 2 n U . 若线性变换若线性变换 A 在基底在基底 i 下的矩阵为下的矩阵为 A , 则则 A 在在基底基底 j 下的矩阵为下的矩阵为 U-1A U . 特征值与特征向量特征值与特征向量 定义定义 : 设设 A
8、是数域是数域 K 上的上的 n 阶矩阵阶矩阵, 如果有向量如果有向量 Kn 及数及数 K , 使得使得 ( I A ) = 0 , 0 则称则称 是是 A 的特征值的特征值, 是属于特征值是属于特征值 的特征向量的特征向量. 定理定理 : : n 阶方阵阶方阵 A 在数域在数域 K 上上可对角化可对角化 当且仅当当且仅当 A 的各个特征子空间的的各个特征子空间的 维数之和等于维数之和等于 n . 此时此时, 在每个特征子空间取一组基在每个特征子空间取一组基, 合并在一起就得到合并在一起就得到 n 个线性无关的个线性无关的 特征向量特征向量. 推论推论 : 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有
9、n 个不同的个不同的 特征值特征值 , 则则 A 可对角化可对角化.实对称矩阵实对称矩阵 n 阶实对称矩阵有阶实对称矩阵有 n 个实特征值个实特征值 .属于不同特征值的特征属于不同特征值的特征向量彼此正交向量彼此正交. . 实对称矩阵都可以实对称矩阵都可以 ( ( 正交正交 ) ) 对角化对角化 . .如果存在正交矩阵如果存在正交矩阵 P, , 使得使得 A = P B P1 = P B PT 则称方阵则称方阵 A 正交相似于正交相似于 B .定理定理 : : 实对称矩阵都正交相似于实对角矩阵实对称矩阵都正交相似于实对角矩阵. . A = P D P1 = P D PT P 正交矩阵正交矩阵,
10、 , D 实对角矩阵实对角矩阵考试题型 例例: 设设 求正交矩阵求正交矩阵 P 及实及实对角矩阵对角矩阵 D, 使得使得 A = P D P1 = P D PT.计算分解计算分解 A 的特征多项式的特征多项式 | I A | , 求出特征值求出特征值;对对每个每个特征值特征值 , 解齐次方程组解齐次方程组 A X = X , 得到得到 的特征子空间的基的特征子空间的基 ;将每个特征子空间将每个特征子空间的的基正交化、单位化基正交化、单位化, , 变成标准正交基变成标准正交基 ; 不同特征不同特征子空间的标准正交基并在一起子空间的标准正交基并在一起, , 得到得到 Rn 的标准正交基及正交矩阵的
11、标准正交基及正交矩阵 P , , 则有则有 A = P D P1 = P D PT . .实对称矩阵与二次型实对称矩阵与二次型 例例 : 求二次齐次函数求二次齐次函数 f ( x , y , z ) = x2 + 4 y2 + z2 4 x y 8 x z 4 y z 在球面在球面 x2 + y2 + z2 = 1 上的最大上的最大、最小值最小值 , 在何处取到在何处取到 ? 实二次型实二次型 f ( x , y , z ) = x2 + 4 y2 + z2 4 x y 8 x z 4 y z 在单位球面在单位球面 x2 + y2 + z2 = 1 上的最大上的最大( (最小最小) ) 值值,
12、 , 分别是实对称矩阵分别是实对称矩阵 的最大的最大 ( (最小最小) ) 特征值，且在最大特征值，且在最大( (最小最小) )特征值特征值 的特征子空间与单位球面的交集上取到的特征子空间与单位球面的交集上取到. .例例: : 二次曲面二次曲面 S S 在在 X-坐标下的方程为坐标下的方程为 这是一个什么曲面这是一个什么曲面? 椭球面椭球面?抛物面抛物面? 还是还是双曲面双曲面?思路：做直角坐标变换思路：做直角坐标变换例：设例：设 1 2 n 是实对称矩阵是实对称矩阵 A 的的 特征值，判断特征值，判断 A - I 的正定性的正定性 . 当当 1 时时 ， A - I 的负定；的负定； . .
13、 例例: 以下矩阵哪些是相似的以下矩阵哪些是相似的?例例: 以下矩阵哪些可以对角化以下矩阵哪些可以对角化? 2. 设设 A 是是 3 阶方阵阶方阵, , 有有 3 个互异的个互异的特征值特征值 1 , , 2 , , 3 . 设设 i 是是 i 的的特征向特征向量量, , = 1 + 2 + 3 . 证明证明: : , , A , , A2 2 线性无关线性无关 . 3. 设设 A 是是 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 特征值为特征值为 6, 3, 3, 且特征值且特征值 6 的一个特征向量为的一个特征向量为 1 1 1 T. 求求 A . 3. 设设 A 是是 3 阶实对称矩阵阶实对称矩阵,
14、 特征值为特征值为 6, 3, 3, 且特征值且特征值 6 的一个特征向量为的一个特征向量为 1 1 1 T. 求求 A . 4. 已知矩阵已知矩阵 A 满足满足 A2 = 3 A . . 证明证明 A 可以可以 对角化并写出对角化并写出 A 的对角标准型的对角标准型. .提示提示: : 利用利用4.5 5 的方法证明的方法证明 A 的特征子空的特征子空间间 维数之和等于维数之和等于 n .5. 证明：对数域证明：对数域 K 上的分块矩阵上的分块矩阵 总有总有 A 秩秩 + B 秩秩 E 秩秩 .证：设证：设 1 , 2 , , r 与与 1 , 2 , , s 分别是分别是 A、B 列向量列
15、向量的的极大无关组极大无关组 .则则是是 列向量线性无关的部分组列向量线性无关的部分组. 证：设证：设 1 , 2 , , r 与与 1 , 2 , , s 分别是分别是 A、B 列向量列向量的的极大无关组极大无关组 .则则是是 列向量线性无关的部分组列向量线性无关的部分组. 故故 A 秩秩 + B 秩秩 E 秩秩 .Review6. 设设 A 、B 是实对称矩阵，且是实对称矩阵，且 AB = BA .证明证明: 存在正交矩阵存在正交矩阵 P , 使得使得 PTA P 与与 PTB P 都是对角矩阵都是对角矩阵 . B 可写成可写成 Q D QT ， Q 正交正交 , D 对角对角 . 记记
16、C QTA Q 则则 C 是实对称矩阵且是实对称矩阵且 C D = QT A B Q = QT B A Q = D C 将对角矩阵将对角矩阵 D 写成对角分块形式写成对角分块形式 , i 互异互异将将 C 也写成相应的分块矩阵形式也写成相应的分块矩阵形式 =将对角矩阵将对角矩阵 D 写成对角分块形式写成对角分块形式 , i 互异互异 则则 C 也有相应的分块矩阵形式也有相应的分块矩阵形式 将对角矩阵将对角矩阵 D 写成对角分块形式写成对角分块形式 , i 互异互异 则则 C 也有相应的分块矩阵形式也有相应的分块矩阵形式 6. 设设 A , B 是是 n 阶阶正定矩正定矩阵阵，且，且 A B =
17、 B A . 则则 A B 正定正定. . 证：证： 注意到注意到 ( ( A B ) )T = BT AT = B A = A B, A B 是实对称矩阵是实对称矩阵. . 由于由于 A 正定正定, , 存在实可逆矩阵存在实可逆矩阵 C , 使得使得 A = CT C . . 考察考察 A B = CT C B , C-T A B C-1 = C B C-1 由于由于 A 正定正定, , 存在实可逆矩阵存在实可逆矩阵 C , 使得使得 A = CT C . . 考察考察 A B = CT C B , C-T A B C-1 = C B C-1 A B 与实对称矩阵与实对称矩阵 C B C-1合同合同, 且且 C B C-1 与与 B 相似相似. C B C-1 特征值与特征值与 B 一样皆一样皆 0 于是于是 C B C-1 正定正定 A B 正定正定 .推论推论: : 设设 A , B 是是 n 阶阶正定矩正定矩阵阵， 则则 A B 正定正定 的充要条件是的充要条件是 A B = B A . . 例例 : : 若若 A 正定正定, , 则则 例例 2. 求循环矩阵的逆与行列式求循环矩阵的逆与行列式 4 = 1Happy New year
