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1、第四章第四章 不定积分不定积分本章主题词：原函数、不定积分、积分常数本章主题词：原函数、不定积分、积分常数 换元积分法、分部积分法换元积分法、分部积分法 数学是我们这个时代（数学是我们这个时代（18世纪）世纪）压倒一切的科学，他不声不响地扩大压倒一切的科学，他不声不响地扩大着自己的领地。谁要是不用数学来为着自己的领地。谁要是不用数学来为自己服务，那有朝一日他就会发现，自己服务，那有朝一日他就会发现，别人正在用数学来同自己对抗。别人正在用数学来同自己对抗。 赫尔巴特（德国哲学家）赫尔巴特（德国哲学家）第四章第四章 不定积分不定积分4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.2 4
2、.2 换元积分法换元积分法4.3 4.3 分部积分法分部积分法4.4 4.4 特殊类型函数的积分法特殊类型函数的积分法选读：函数迭代与混沌选读：函数迭代与混沌 例例定义：定义：4.14.1不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.1.1 原函数原函数关于原函数的几个问题：关于原函数的几个问题：(1) 什么样的函数必有原函数？什么样的函数必有原函数？原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：区间上的简言之：区间上的连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.(2) 一个函数如果有原函数，这种原函数有多少？一个函数如果有原函数，这种原函数有多少？例如例如 因此，一个函数如果有原函数，它就有无因此，一
3、个函数如果有原函数，它就有无 穷多个原函数穷多个原函数.设设 G(x)也是也是f(x)的原函数，既的原函数，既是否包含了是否包含了的全体原函数呢？的全体原函数呢？ (3)结论：结论：4.1.2 不定积分不定积分任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量其中其中 f(x)称为被积函数，称为被积函数， f(x)dx称为被积表达式，称为被积表达式，x称为积分变量称为积分变量.例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求例3 求解3. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义y=F(x)的图形是一条曲线，称为的图形是一条曲线，称为f(x)的积分曲线的积分曲线.曲线曲线y=
4、F(x)+C,称为称为f(x)的积分曲线族的积分曲线族. 由于由于(F(x)+C)=f(x),故故积分曲线族上对应于积分曲线族上对应于同一个同一个x的点处的切线是相互平行的的点处的切线是相互平行的.0xy例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知所求曲线方程为所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.0xy4.1.3 不定积分的性质不定积分的性质由不定积分的定义，可得由不定积分的定
5、义，可得结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.性质性质1性质性质2证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）性质性质3实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.4.1.4 4.1.4 基本积分公式基本积分公式基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2
6、）下面利用以上公式及性质求一些简单的积分下面利用以上公式及性质求一些简单的积分. 例例1.故正确.例2.(将被积函数变形）注：每个积分都含有一个任意常数，但只须注：每个积分都含有一个任意常数，但只须 加上一个任意常数加上一个任意常数C即可即可.例3.(仍需将被积函数变形）例4.所以注：将分子加项减项后再分项注：将分子加项减项后再分项 是积分中常用的技巧是积分中常用的技巧.例5.例6.例7.例8.例9.例例5 5 求积分求积分解解例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解例例8 8 求积分求积分解解说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.解解所求曲线方程为所求曲线方程为基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系 小结小结思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.练习题练习题练习题答案练习题答案
