《3.2.5立体几何中的向量方法-课本例题讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.2.5立体几何中的向量方法-课本例题讲解（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3.23.2立体几何中的向立体几何中的向量方法量方法用空间向量解决立体几何问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的步骤( (三步曲三步曲) )：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算
2、结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形） 一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD解：解：如图如图1，设，设化为向量问题化为向量问题依据向量的加法法则，依据向量的加法法则，进行向量运算进行向量运算所以所以回到图形问题回到图形问题
3、这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。思考：思考：（1）本题中四棱柱的对角线）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ （2 2）如果一个四棱柱的各条棱）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，都相等，并且以某一并且以某一顶点点为端点的各棱端点的各棱间的的夹角都等角都等于于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗确定棱长吗? ?A1B1C1D1ABCD分析分析:分析分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3 3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？）
4、本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设设AB=1 AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距离面面距离点面距离点面距离解：解： 所求的距离是所求的距离是问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离：PA如如图，已知点，已知点P（x0,y0,z0）,在平面在平面 内任意取一点内任意取一点A（x1,y1,z1）平面的一个法向量平面的一个法向量为其中其中也就是也就是AP在法向量在法向量n上的
5、投影的绝对值上的投影的绝对值已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平平面面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求的中点，求点点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz甲站在水甲站在水库底面上的点底面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从。从A A，B B到直到直线 （库底与水坝的交线）的距离（库底与水坝的交线）的距离ACAC和和BDBD分别为和分别为和 ,CD,CD的长的长为为 , AB, AB的长为求库底与水坝所成二面角的余弦值。的长为求库底与水坝所成
6、二面角的余弦值。 解：解：如图，如图，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法则根据向量的加法法则进行向量运算进行向量运算于是，得于是，得设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。就是库底与水坝所成的二面角。因此因此ABCD所以所以回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kg例例 4F F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxyF F1 1F F2 2F F3 3ACBO500kgzxy如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方
7、形，侧棱方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC,E是是PC的中点，的中点，作作EF PB交交PB于点于点F.(1)求证：求证：PA/平面平面EDB(2)求证：求证：PB平面平面EFD(3)求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小。ABCDP PE EF F例例 5ABCDP PE EF FXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，为坐标原点，设设DC=1(1)证明：连结证明：连结AC,AC交交BD于点于点G,连结连结EGABCDP PE EF FXYZGABCDP PE EF FXYZG向量的模向量的模用空间向量解决立体几何问题的步骤：用空间向量解决立体几何问题的步骤：面面距离面面距离回归图形回归图形点面距离点面距离二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形谢谢谢谢
