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1、1第八节第八节 函数的连续性函数的连续性函数的函数的连续连续(continuity)函数的函数的间断点间断点闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 (discontinuous point)第一章第一章 函数与极限函数与极限小结小结 作业作业 2间变化很小时间变化很小时,生物生长的也很少生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小单摆摆长变化也很小.时时 在高等数学中在高等数学中,主要的研究对象就是连主要的研究对象就是连续函数
2、续函数.这种现象这种现象从直观上不妨这样说从直观上不妨这样说, 连续函数的连续函数的特征就是它的图形是连续的特征就是它的图形是连续的,也就是说也就是说,可以可以一笔画成一笔画成. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点3一、函数的连续性一、函数的连续性连续：连续：当自变量的变化很小时，相应的当自变量的变化很小时，相应的函数值的变化也很小。函数值的变化也很小。1.函数的增量函数的增量4连续连续, ,2. 连续的定义连续的定义定义定义1 1设函数设函数 f (x)在在内有定义内有定义, 若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数f(x)的的连续点连续点. .充分必要条件充分
3、必要条件定义定义2 2若若则称函数则称函数f(x)在在x0处处连续连续. .5 把极限与连续性联系起来了把极限与连续性联系起来了,且提且提供了连续函数求极限的简便方法供了连续函数求极限的简便方法只只需求出该点函数特定值需求出该点函数特定值.定义定义3 363. 左、右连续左、右连续左连续左连续右连续右连续7左连续左连续右连续右连续左连续左连续右连续右连续8定理定理 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点处的连续性处的连续性.9连续性的几种定义形式不同连续性的几种定义形式不同,这几种定义中都含有这几种定义中都含有但本质相同但本质相同.f (x)在在内有定义内有定义;(1
4、)(2)(3)三个要素三个要素: :存在存在;10P57P57例例2 2：验证函数：验证函数 在在 处的连续性处的连续性证：首先要求证：首先要求 在在 的某的某 邻域内有定义，可取邻域内有定义，可取只要只要 ，解得，解得取取 ，则当，则当 时，恒有时，恒有11例例解解右不连续右不连续.所以所以左连续左连续,12P57 P57 例例3 3解解134. 连续函数连续函数(continous function)与连续区间与连续区间上的上的或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. . 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 称该区间称该区间在开区间在开区间右连续右连续左端点左端点
5、右端点右端点这时也称该区间为这时也称该区间为continuous左连续左连续连续函数连续函数, ,连续区间连续区间. .内连续内连续14二、连续函数的运算性质二、连续函数的运算性质定理定理1 1如如, ,则则由于由于 也在点也在点 x0连续连续; 在其定义域内连续在其定义域内连续. 在点在点 x0连续连续; 在点在点 x0连续连续.15如如,定理定理2 2故故同理同理,单调增加单调增加且连续且连续,单调的连续函数单调的连续函数必有单调的连续反函数必有单调的连续反函数. .也是单调增加且连续也是单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连续.单调增加且连续单调增加且连续.单调减少且连续单调减少且连
6、续.16定理定理3 3 设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,而函数而函数连续连续,则则是由连续函数是由连续函数因此因此复合而成复合而成 例例17三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的是连续的;初等函数的连续性初等函数的连续性单调且连续单调且连续;指数函数指数函数对数函数对数函数单调且连续单调且连续;(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )(4) 幂函数幂函数连续连续; 讨论讨论不同值不同值.在它们的定义域内在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.18定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域
7、内的区间.基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间定义区间内内连续连续1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 如如, ,这些这些孤立点的邻域内没有定义孤立点的邻域内没有定义.注注在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;19例例解解2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法注注代入法代入法. .20定义定义5 5出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:三、函数的间断点及其分类三、函数的间断点及其分类无定义无定义;不存在不
8、存在;间断点间断点. .21间断点分为两类间断点分为两类:第二类第二类间断点间断点(discontinuity point of the second kind):第一类第一类间断点间断点(discontinuity point of the first kind):及及均存在均存在, ,及及中至少一个不存在中至少一个不存在.若若称称 为为可去间断点可去间断点. .若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点. .若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡, ,若其中有一个为若其中有一个为称称 为为无穷间断点无穷间断点. .称称 为为振荡间断点振荡间断点. .22可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃
9、型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点23例例 讨论函数讨论函数解解为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点.连续连续.24则可使则可使x0变为连续点变为连续点.注注注注对可去间断点对可去间断点x0,如果如果于于A, (这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为使之等使之等可去间断点的理由可去间断点的理由.)补充补充 x0的函数值的函数值,或或改变改变 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点25例例有定义有定义,故故为为f (x)的的 间断点间断点.第一类第一类的第一类间断点的第一类间断点.则点则点x0为函数为函数 f(
10、x) 的的且是跳跃间断点且是跳跃间断点.跳跃型间断点跳跃型间断点及及均存在均存在, 则点则点x0为为26例例由于函数由于函数无定义无定义,故故为为f(x)的的 间断点间断点.且且皆不存在皆不存在.第二类第二类第二类间断点第二类间断点:至少有至少有且是无穷型间断点且是无穷型间断点.一个不存在一个不存在.27例例有定义有定义,不存在不存在,故故为为f (x)的的 间断点间断点.第二类第二类且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点.之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡,28解解函数无定义函数无定义,是函数的间断点是函数的间断点.由于由于所以所以是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点, 且是且是
11、无穷型无穷型.由于由于所以所以是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.29定义定义例例设设f (x)在区间在区间I上有定义上有定义,使得当使得当恒有恒有若存在点若存在点为函数为函数f(x)在区间在区间I上的上的最小最小 值值, ,记为记为则称则称( (大大) )四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质30在闭区间上连续的在闭区间上连续的注注 定理定理1中的条件中的条件“闭区间闭区间”和和“连续性连续性” 定理定理5(5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值. .是不可少的是不可少
12、的.31在在开区间开区间(0,1)内连续内连续, 在在(0,1)内内又如又如: :在闭区间在闭区间0,2上有上有函数函数f (x)在在0,2上上既没有最大值既没有最大值,如如: 函数函数没有最大值或最小值没有最大值或最小值.也没有最小值也没有最小值.间断点间断点函数函数32的的零点零点. .定理定理6(6(方程实根的存在定理方程实根的存在定理) )使得使得 零点定理零点定理几何意义几何意义: 如图所示如图所示.介值定理介值定理33推论推论( (介值定理介值定理) )使得使得证证零点定理零点定理 辅助函数辅助函数34几何意义几何意义:至少有一个交点至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质闭区间上连
13、续函数的性质35几何意义几何意义:之间的任何值之间的任何值( (不会有任何遗漏不会有任何遗漏).).推论推论2在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值与最小值36注注闭区间上连续函数的性质常用于闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或不等式证明某些等式或不等式;判断某些方程根的存在性或实根的范围判断某些方程根的存在性或实根的范围.37例例证证由由零点定理零点定理,38例例证证由由零点定理零点定理,使使 辅助函数辅助函数39P64P64例例8 8：设：设 在在 上连续。任取上连续。任取 。 试证明：对于任意正数试证明：对于任意正数 ，存在一点，存在一点
14、 ，使，使 证：方法证：方法1 1 作作则则 在闭区间在闭区间 上连续，且上连续，且若若 ，则，则 。取。取都有都有 成立成立若若 ，则，则40故存在故存在 ，使，使 ，即，即方法方法2 2 因因 在在 上连续，故必存在最小值上连续，故必存在最小值 最大值最大值 。则。则两式相加，有两式相加，有或或41故存在故存在 ，使，使即即作业作业8：第：第6题仿照方法题仿照方法2证明证明.42(见下图见下图)无穷型无穷型, 无穷次振荡型无穷次振荡型五、小结五、小结1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的函数在一点连续的三个定义、必须满足的2. 函数间断点的分类函数间断点的分类:间断点间断点第一类间断点
15、第一类间断点: :跳跃型跳跃型,可去型可去型第二类间断点第二类间断点: : 三个条件三个条件;43可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型无穷型无穷型无穷次振荡型无穷次振荡型第第二二类类间间断断点点 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点44连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性;复合函数的连续性复合函数的连续性:初等函数的连续性初等函数的连续性:求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性;定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;注意条件注意条件1. 闭区间闭区间; 2. 连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不
16、一定成立最值定理最值定理;有界性定理有界性定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.四个定理四个定理45闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一个登山运动员从早上一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座开始攀登某座山峰山峰 ,在下午在下午7:00到达山顶到达山顶,第二天早上第二天早上7:00再从再从山顶开始沿着上山的路下山山顶开始沿着上山的路下山,下午下午7:00到达山脚到达山脚.试利用介值定理说明试利用介值定理说明:这个运动员在这两天的某这个运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点一相同时刻经过登山路线的同一地点. 思考思考46作业作业 8 8 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点47作业作业习题习题1-8 (641-8 (64页页) ) 2. 3. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点
