423直线与圆的方程的应用

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1、4.2.34.2.3直线与圆方程的应用直线与圆方程的应用例例1 1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图、如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图. .该圆该圆拱跨度拱跨度AB=20AB=20,拱高,拱高OP=4OP=4,在建造时每隔,在建造时每隔4 4需要用一个支柱支撑,求支柱需要用一个支柱支撑,求支柱A A2 2P P2 2 的长度的长度(精确到(精确到0.01m0.01m). .yx例例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度圆拱跨度AB20m,拱高,拱高OP=4m,在建造时每,在建造时每隔隔4m需用一个支柱支撑,求支柱需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度

2、的长度(精确到(精确到0.01)思考思考:(用坐标法用坐标法)1.圆心和半径能直接求出吗?圆心和半径能直接求出吗?2.怎样求出圆的方程?怎样求出圆的方程?3.怎样求出支柱怎样求出支柱A2P2的长度?的长度?(0,4)(10,0)解:建立如图所示的坐标系解:建立如图所示的坐标系, 设圆心坐标是设圆心坐标是(0,b), 圆的半径是圆的半径是r , 则圆的方程是则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .把把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组:)代入圆的方程得方程组:02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得,解得,b= -10.5 r2=14.5 2所以圆的方程是:所以圆的

3、方程是: x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标x= -2 代入圆的方程,得代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答:支柱答:支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m.yx(0,4)(10,0)练习练习2:某圆拱桥的水面跨度某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高,拱高4 m. 现有一船,宽现有一船,宽10 m,水面以上高,水面以上高3 m,这条船,这条船能否从桥下通过能否从桥下通过?5OMNP练习练习1 1:赵州桥的跨度是赵州桥的跨度是37.4m37.4m

4、,圆拱高约为,圆拱高约为7.2m ,7.2m ,求这座圆拱桥的拱圆的方程。求这座圆拱桥的拱圆的方程。E例例2 2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半. .xyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN解解:以四边形以四边形ABCDABCD互相垂直的对角线作为互相垂直的对角线作为x轴轴y轴轴, ,建立直角坐建立直角坐标系标系, ,设设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)过四边形的外接圆圆心过四边形的外接圆圆心O作作AC、BD、AD边的

5、垂线边的垂线,垂足为垂足为M、N、E,则则M、N、E分别为分别为AC、BD、AD边的中点边的中点.由线段的中点由线段的中点坐标公式有坐标公式有:ExyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN如图:如图:ExyOCABD(a,0)(0,b)(c,0)(0,d)OMN第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算结果第三步:把代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成

6、几何结论. .练习.(课本P132.第4题) 等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且 |BD| =1/3 |BC| , |CE| =1/3 |CA| ,AD,BE相交于点P。求证:AP CP 例例4(P133页页B2)已知点已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点点P在圆在圆x2+y2=4上运动上运动,求求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大的最大值和最小值值和最小值.xyoACBP解解:设设P(x,y)则则 x2+y2=4|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)

7、-4y+68 =12-4y+68=80-4y-2y2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为的最大值为88,最小值为最小值为72.例例5:如果实数如果实数x,y满足满足(x-2)2+y2=3,那么那么的最大值是的最大值是( )xyoC分析分析:设设 ,则则y=kx从而问题转化为直线从而问题转化为直线y=kx与圆与圆(x-2)2+y2=3有公共点有公共点时时,k的最大值的最大值. 数形结合是一种比较重要的数学数形结合是一种比较重要的数学思想方法思想方法!D例例6(P145页页T3)已知圆已知圆x2+y2=4,直线直线l:y=x+b(1)当当_(b的取值范围的取值范围)时时,直直线和圆有公共点线和圆有公共点;(2)当当b_时时,圆上恰有圆上恰有3个点到直线个点到直线l的距的距离为离为1.xyoxyo 理解直线与圆的位置关系的几何性质;理解直线与圆的位置关系的几何性质; 利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;关系; 熟悉直线与方程的关系,并应用其解决相熟悉直线与方程的关系,并应用其解决相关问题关问题 会用会用“数形结合数形结合”的数学思想解决问题的数学思想解决问题 小结小结

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