《3.5概率论与数理统计复旦大学出版社南京财经大学朱玲妹老师的课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.5概率论与数理统计复旦大学出版社南京财经大学朱玲妹老师的课件（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 返回目录返回目录返回目录返回目录(一一) Z = X + +Y 的分布的分布 设设 (X,Y) 的概率密度为的概率密度为的分布函数为的分布函数为同理同理Z的密度函数为的密度函数为若若 X 与与Y 相互独立相互独立上述两式称为上述两式称为卷积公式卷积公式卷积公式卷积公式.例例1 设设 X N(1,2),Y N(3,4), 且且X 和和 Y 相互独立，相互独立， 求求Z 的概率密度函数的概率密度函数.解：解：X 与与Y 相互独立相互独立X 与与Y 相互独立相互独立3. X1, X2, Xn相互独立相互独立,不全为零不全为零a1,an不全为零不全
2、为零X2, Xn独立同正态分布独立同正态分布独立同正态分布独立同正态分布X, Y与与Z 相互独立相互独立例如例如:例例2 在一个简单的电路中在一个简单的电路中,两电阻两电阻R1和和R2串联联接串联联接,设设 R1,R2相互独立相互独立,它们的概率密度都为它们的概率密度都为求总电阻求总电阻 R = R1+R2 概率密度概率密度.解解:10 2010x = zx = z - -10例例3 X1, X2 相互独立相互独立,分别服从参数为分别服从参数为 分分布布, X1, X2的概率密度分别为的概率密度分别为X1, X2, Xn相互独立相互独立(二二) 及及 的分的分布布设设X,Y是两个相互独立的随机
3、变量是两个相互独立的随机变量,分布函数分别是分布函数分别是1. 设设X1, X2, Xn 相互独立相互独立,分别具有分布函数分别具有分布函数的分布函数是的分布函数是的分布函数是的分布函数是推广推广推广推广2. 当当X1, X2, Xn 是是独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布的的n个随机变量，个随机变量，分布函数是分布函数是F (x)具有相同的概率密度具有相同的概率密度f (x)是连续型随机变量是连续型随机变量,具有概率密度函数具有概率密度函数3. 当当X1, X2, Xn 是是相互独立相互独立相互独立相互独立的的n个随机变量，个随机变量，例例4 设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个
4、相互独立的子系统L1,L2连接而成连接而成,已知已知L1,L2的寿命分别服从参数为的寿命分别服从参数为1/, 1/的指数分的指数分布布,连接的方式连接的方式 (1) 串联串联 ; (2) 并联并联 ; (3) 备用备用(当系统当系统L1损坏时损坏时,系统系统L2开始工作开始工作),试分别用上述方法求系统试分别用上述方法求系统 L的寿命的寿命Z 的概率分布的概率分布.()解解:二项分布的卷积公式二项分布的卷积公式X 与与Y 相互独立相互独立证证: X + Y 的可能取值的可能取值Xi : 第第i 次贝努里试验中成功出现的次数次贝努里试验中成功出现的次数Xi 服从服从0- -1分布分布,例例5 二
5、维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y )的分布律是的分布律是求求X +Y 的分布律的分布律解解:思考题：思考题： 设设X1, X2, Xn 相互独立相互独立,均在均在0,上服从均匀分布上服从均匀分布,设设求求Y, Z 的概率密度的概率密度.思考题答案：思考题答案：练习题：练习题：1. 假设随机变量假设随机变量 X 服从指数分布服从指数分布,则随机变量则随机变量的分布函数的分布函数( )(1) 是连续函数是连续函数; (2) 至少有两个间断点至少有两个间断点;(3) 是阶梯函数是阶梯函数; (4) 恰好有一个间断点恰好有一个间断点. 2. 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量
6、X,Y 具有同一分布律具有同一分布律, 且且X的分布律为，的分布律为，则随机变量则随机变量 的分布律的分布律为为3. 设设和和是取值为是取值为0,1,n ,且相互独立的随机变量且相互独立的随机变量,求随机变量求随机变量=+的分布律的分布律.4. 设设 X,Y 是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,都在都在0,1上均匀分布上均匀分布,求求 Z = X + Y 的概率密度的概率密度.5. 设设,是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量,且且都都服服从从0,b上上的均匀分布的均匀分布,求随机变量求随机变量=/的概率密度函数的概率密度函数.6. 设随机向量设随机向量(,) 服从二维正态分布
7、服从二维正态分布求随机变量求随机变量 的概率密度函数的概率密度函数.7. 设二维随机变量设二维随机变量 (X,Y) 在矩形在矩形上服从均匀分布上服从均匀分布,试求边长为试求边长为X 和和 Y 的矩形面积的矩形面积S的的概率密度概率密度 f (s). 8. 设随机变量设随机变量 X与与Y 独立，独立，X 服从正态分布服从正态分布 ，Y 服从服从- -,上的均匀分布，试求上的均匀分布，试求 Z = X +Y 的概率的概率分布函数分布函数.计算结果用标准正态分布函数计算结果用标准正态分布函数(x)表示表示.其中其中练习题答案：练习题答案：1. (4);3.2.0bb(b z, b)0bb( b, b/ z)5.6.7.解：解：8.
