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1、1 重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本(jbn)思想是四步曲:分割、取近似、求和(qi h)、取极限. 定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个(y )确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序序序序 言言言言第1页/共32页第一页，共33页。2问题问题(wnt)(wnt)的的提出提出二重积分的概念二重积分的概念(ginin)(ginin)二重积分的性质二重积分的性质(xngzh)(xngzh)小结小结 思考题思考题 作业作业double integral第一节 二重积
2、分的概念与性质第九章第九章 重积分重积分第2页/共32页第二页，共33页。3一、问题一、问题(wnt)的提出的提出定积分中会求平行(pngxng)截面面积为已知的 一般(ybn)立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第3页/共32页第三页，共33页。4曲顶柱体体积(tj)=特点(tdin)1曲顶柱体的体积(tj)D困难曲顶柱体曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且
3、在D上连续).曲顶顶是曲的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第4页/共32页第四页，共33页。5柱体体积(tj) = 特点(tdin) 分析(fnx)曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限. .二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 底面积高第5页/共32页第五页，共33页。6步骤(bzhu)如下用若干个小平顶柱体体积(tj)之和先任意(rny)分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积并任取小区域，近似表示曲顶柱体的体积，二重积分的概念与性质二
4、重积分的概念与性质第6页/共32页第六页，共33页。7(1) 分割(fng)相应(xingyng)地此曲顶柱体分为(fn wi)n个小曲顶柱体.(2) 取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用 表示第i个子域的面积) .将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第7页/共32页第七页，共33页。8(3) 求和(qi h) 即得曲顶柱体体积(tj)的近似值: (4) 取极限(jxin)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第8页/共32页第八页，共33页。92.
5、 非均匀平面(pngmin)薄片的质量(1) 将薄片(bo pin)分割成n个小块，看作(kn zu)均匀薄片.(2)(3)(4)近似 任取小块 设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第9页/共32页第九页，共33页。10也表示(biosh)它的面积,二、二重积分的概念二、二重积分的概念(ginin)1. 二重积分的定义(dngy)定义定义作乘积 并作和 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第10页/共32页第十页，共33页。11积积积积分分分分( (j j f f n n) )区区区区域域域域积积积积分分分分( (j j f f n n) )和和和和
6、被被被被积积积积函函函函数数数数( (h h n ns sh h ) )积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于的极限存在,极限为函数二重积分二重积分, ,记为即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第11页/共32页第十一页，共33页。12曲顶柱体体积曲顶柱体体积(tj)它的面密度曲顶 即在底D上的二重积分,平面薄片平面薄片(bo pin)D(bo pin)D的质量的质量即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质在薄片(bo pin)D上的二重积分, 第12页/共32页
7、第十二页，共33页。13 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为则面积(min j)元素为二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质D第13页/共32页第十三页，共33页。14(A) 最大小区间(q jin)长;(B) 小区域(qy)最大面积;(C) 小区域(qy)直径;(D)最大小区域直径.D选择题二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第14页/共32页第十四页，共33页。152. 二重积分的存在(cnzi)定理 设f(x,y)是有界闭区域(qy)D上的连续函数存在(cnzi).连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函
8、数在相应的二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第15页/共32页第十五页，共33页。16(2)3. 二重积分的几何(j h)意义(3) (1)在D上的二重积分就等于(dngy)二重积分是二重积分是而在其它(qt)的部分区域上是负的. 这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第16页/共32页第十六页，共33页。17例例1 设D为圆域二重积分=解解 上述积分(jfn)等于由二重积分的几何意义(yy)可知，是上半球面上半球体的体积(tj)：二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质RD第17页/共32
9、页第十七页，共33页。18性质性质(xngzh)为常数(chngsh),则(二重积分与定积分有类似(li s)的性质)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质根据二重积分的几何意义,确定积分值第18页/共32页第十八页，共33页。19以1为高的性质性质(xngzh)2将区域D分为(fn wi)两个子域性质性质(xngzh)3若 为D的面积oxyD1D2 注注既可看成是以D为底,柱体体积. 对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线外无公共点.D又可看成是D的面积.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第19页/共32页第十九页，共33页。20特殊特殊(tsh
10、)地地性质性质(xngzh)4(xngzh)4(比较比较性质性质(xngzh)(xngzh)设 则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质例例的值= ( ).(A) 为正(B) 为负(C) 等于(dngy)0(D) 不能确定为负B第20页/共32页第二十页，共33页。21选择题 比较(bjio)(D) 无法(wf)比较.oxy 1 12C(2,1)性质性质(xngzh)4(xngzh)4(比比较性质较性质(xngzh)(xngzh)的大小,则( )二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第21页/共32页第二十一页，共33页。22几何(j h)意义以m为高和以M为高的两个(lin )证证再用性
11、质(xngzh)1和性质(xngzh)3, 性质性质5(5(估值性质估值性质) )则为D的面积,则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.则二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第22页/共32页第二十二页，共33页。23解解估值性质(xngzh)区域(qy)D的面积在D上例例2不作计算(j sun),二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第23页/共32页第二十三页，共33页。24性质性质(xngzh)6(xngzh)6(二重积分中二重积分中值定理值定理) )体积(tj)等于 显然(xinrn)几何意义证证D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱体以D为底 为高
12、的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质有第24页/共32页第二十四页，共33页。25的最大值M与最小值m之间的.由闭区域(qy)上连续函数的介值定理.两端(lin dun)各乘以 点的值证毕.即是说,确定(qudng)的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该与这个确定的数值相等,即二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第25页/共32页第二十五页，共33页。26选择题(A)(B)(C) (D)提示提示(tsh(tsh):):B是有界闭区域(qy)D:上的连续函数,不存在(cnzi).利用积分中值定理.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第26
13、页/共32页第二十六页，共33页。27利用积分(jfn)中值定理,解解即得:由函数(hnsh)的连续性知,显然(xinrn),其中点是圆域内的一点.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第27页/共32页第二十七页，共33页。28二重积分的定义(dngy)二重积分的性质(xngzh)二重积分的几何(j h)意义(曲顶柱体的体积)(四步:分割、取近似、求和、取极限)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质四、小结四、小结(注意对称性质的用法)第28页/共32页第二十八页，共33页。29思考题思考题1 将二重积分定义(dngy)与定积分定义(dngy)进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.二重
14、积分的概念与性质二重积分的概念与性质被积函数为定义(dngy)在平面区域上思考题解答思考题解答(jid)相同点定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域,的二元函数.第29页/共32页第二十九页，共33页。30二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质思考题思考题2二重积分的几何(j h)意义是以为曲顶,D为底的曲顶柱体体积(tj).(是非题是非题)非非.第30页/共32页第三十页，共33页。31作业作业(zuy(zuy)习题习题(xt)10-(xt)10-1 1(136
15、(136页页) )1. 3.(1) 4.(1) 5.(1)二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第31页/共32页第三十一页，共33页。32谢谢大家(dji)观赏！第32页/共32页第三十二页，共33页。内容(nirng)总结1。分割、取近似、求和、取极限.。定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间.。第1页/共32页。第一节 二重积分的概念与性质。而曲顶柱体的体积的计算问题(wnt),。一般立体的体积可分成一些比较简单的。D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,。柱体分为n个小曲顶柱体.。第i个小曲顶柱体的体积的近似式。令n个子域的直径中的最大值(记作。而在其它的部分区域上是负的.。以m为高和以M为高的两个。再用性质1和性质3,第三十三页，共33页。
