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1、 2.2.22.2.22.2.22.2.2向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法高一A部数学备课组黄华军向量的减法黄华军1、向量加法的、向量加法的三角形法则三角形法则baOa a a a a a a abbbbbbbBbaA注意：注意：a+b各向量各向量“首尾相连首尾相连”，和向量由第一个向，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点量的起点指向最后一个向量的终点. .温故知新温故知新向量的减法黄华军baAa a a a a a a abbbBbaDaCba+b作法作法:(1)在平面内任取一点在平面内任取一点A； (2)以以点点A为起点为起点以向量以向量a、b为邻边作平行为邻边作平行 四
2、边形四边形ABCD.即即ADBCa,AB=DC=b ； （3）则以）则以点点A为起点为起点的对角线的对角线ACa+b.2、向量加法的、向量加法的平行四边形法则平行四边形法则注意起点相同注意起点相同. .共线向量不适用共线向量不适用向量的减法黄华军走进新课走进新课已知：两个已知：两个力的合力为力的合力为求：另一个力求：另一个力 其中一个力为其中一个力为向量的减法黄华军减去一个向量等于加上这个向量的相反向量向量的减法黄华军说明：说明：、与、与 长度相等、方向相反的向量，长度相等、方向相反的向量， 叫做叫做 的相反向量的相反向量、零向量的相反向量仍是零向量、零向量的相反向量仍是零向量、任一向量和它相
3、反向量的和是零向量、任一向量和它相反向量的和是零向量向量的减法黄华军练习向量的减法黄华军CD向量的减法黄华军二、向量减法的三角形法则二、向量减法的三角形法则OABab. 注意：注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点向量的减法黄华军向量的减法向量的减法特殊情况特殊情况1.共线同向共线同向2.共线反向共线反向BACABC向量的减法黄华军例：例：如图，已知向量如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量求作向量a-b,c-d.abcd向量的减法黄华军abcdOABCD向量的减法黄华军例2：选择题DC向量的减法黄华军例例3：如图，平行四边形：如图，平
4、行四边形ABCD，AB=a，AD=b，用，用a、b表示向量表示向量AC、DB。ADBCab注意向量的方向，向量注意向量的方向，向量AC=a+b,向量向量DB=a-b向量的减法黄华军向量的减法黄华军练习1（1）（2）（3）（4）向量的减法黄华军练习练习2 2Come on!向量的减法黄华军120oADBCO向量的减法黄华军120oADBCOreturn向量的减法黄华军 (一一)知识知识 1理解相反向量的概念理解相反向量的概念 2. 2. 理解向量减法的定义，理解向量减法的定义，3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则正确熟练地掌握向量减法的三角形法则 小结小结: (二二)重点重点 重点：向量减法
5、的定义、向量减法的三角形法则重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则向量的减法黄华军2.1.4.数乘向量数乘向量向量的减法黄华军学习目标和要求学习目标和要求: :1.掌握数乘向量的定义，理解数乘向量掌握数乘向量的定义，理解数乘向量的几何意义；的几何意义；2.掌握数乘向量的运算律；掌握数乘向量的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够理解两个向量共线的充要条件，能够运用运用两向量共线条件判定两向量是否平两向量共线条件判定两向量是否平 学习重点学习重点: :1.数乘向量的定义；数乘向量的定义；2.数乘向量的运算律；数乘向量的运算律；3.两个向量共线的充要条件两个向量共线的充要条件. .学习难
6、点学习难点: :对向量共线的充要条件的理解对向量共线的充要条件的理解. .向量的减法黄华军1.1.向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则: :首尾相接，首尾相接，首尾连首尾连共起点共起点3.向量减法向量减法BAO特点：特点：共起点，连终点，指向被减共起点，连终点，指向被减向量的减法黄华军实际背景向量的减法黄华军讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 OABCNMQP记记:即即:同理可得同理可得:思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相
7、同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即(2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即向量的减法黄华军数乘向量的意义数乘向量的意义:一般地一般地,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量,记作记作 ,它的它的长度与方向规定如下长度与方向规定如下:(1)(2)当当 时时, 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同; 当当 时时, 的方向与的方向与 方向相反方向相反. (3) 时时, 思考思考:实数与向量相加实数与向量相加,其结果是什么其结果是什么?结论结论:实数是不能与向量相加的实数是不能与向量相加的.例如例如: 是没有
8、意义的是没有意义的.向量的减法黄华军解：（解：（1）（2）向量的减法黄华军例例1.计算计算:思考思考:(1) 3 (2) (3)数乘向量的运算律数乘向量的运算律:设设 为实数为实数,那么那么以上通过以上通过作图可验证作图可验证练习练习P89 A 第第2题题向量的减法黄华军向量的减法黄华军思考思考:如果向量如果向量 ,那么向量那么向量 与向量与向量 是否共线是否共线?结论结论: 向量向量 与向量与向量 共线共线.反过来反过来,如果向量如果向量 与向量与向量 共线共线,能否推出能否推出:其中其中 是唯一确定的实数是唯一确定的实数?所以当所以当 与与 同向时同向时, ;当当 与与 反向时反向时, ;
9、分析分析:当向量当向量 时时,因为向量因为向量 与向量与向量 共线共线,所以所以向量向量 的长度与向量的长度与向量 的长度之比一定是一个唯一的长度之比一定是一个唯一的实数的实数,记为记为 ,即即 .即向量即向量 时时,可推出可推出: 其中其中 是唯一确定的是唯一确定的实实 数数(同向时同向时,取取 反向时反向时,取取 ) .当向量当向量 时时,向量向量 为零向量时为零向量时, 不确定不确定. 若若 不为零向量时不为零向量时, 不存在不存在.向量的减法黄华军向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线，共线，当且仅当有唯一当且仅当有唯一一个实数一个实数，使得，使得 b=a 向量的减法黄华军例例2
10、.如图如图,已知已知 试判断试判断 与与 是否共线是否共线?分析分析:看看 与与 的倍数关系能否找到的倍数关系能否找到? EDCBA解解:共线共线向量的减法黄华军能力训练题能力训练题1.1.已知已知 是不共线的向量是不共线的向量, , 问问 与与 是否共线是否共线? ?分析分析:不共线不共线.因为不存在唯一的实数因为不存在唯一的实数 ,使使 2.2.已知已知 是不共线的向量是不共线的向量, , 问问 与与 共线时共线时, , 取什么值取什么值? ?3.3.四边形四边形ABCD中中,EF是是AD,BC的中点的中点,求证求证: FBAEDC证一证一:构造三角形来证构造三角形来证.证二证二:直接利用
11、向量加法来证直接利用向量加法来证.练习练习P107.1,2,3,4K= -8向量的减法黄华军小结回顾小结回顾一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD向量的减法黄华军(1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。(2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。，并进行比较。=向量的减法黄华军向量的数乘运算满足如下运算律：请同学们一一证明请同学们一一证明向量的减法黄华军
