《计算方法课件：第2次课计算方法插值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法课件：第2次课计算方法插值（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1计算方法计算方法2 插值方法插值方法航空科学与工程学院航空科学与工程学院航空科学与工程学院航空科学与工程学院2o需要解决的问题类型需要解决的问题类型(基本内容基本内容)： 代数方程求根；代数方程求根；代数方程求根；代数方程求根； 微分微分微分微分( (方程方程方程方程) )求解；求解；求解；求解； 积分积分积分积分( (方程方程方程方程) )求解；求解；求解；求解； 数值预测。数值预测。数值预测。数值预测。计算方法绪论计算方法绪论计算方法绪论计算方法绪论 3数值预测数值预测o问题的提出问题的提出o各种典型问题及对应的算法各种典型问题及对应的算法插值方法插值方法插值方法插值方法42.0 引言引
2、言o典型问题的回顾典型问题的回顾 设已知互异数据对设已知互异数据对设已知互异数据对设已知互异数据对( (x xi i，y yi i)( )(i i=0, 1, =0, 1, , , n n) )，构造，构造，构造，构造n n次多项式次多项式次多项式次多项式 使得使得使得使得p pn n( (x xi i)= )= y yi i 。 如何确定待定系数如何确定待定系数如何确定待定系数如何确定待定系数a ai i？插值方法插值方法插值方法插值方法5o线性方程组的解法线性方程组的解法线性代数线性代数 解的唯一性。解的唯一性。o问题：问题： 计算量大；计算量大； 效率低效率低新增加一个或多个数新增加一个
3、或多个数据对？据对？o寻求另一种方法寻求另一种方法插值方法插值方法插值方法插值方法6oo特例特例特例特例1 1 设已知数据对设已知数据对设已知数据对设已知数据对( (x x0 0，y y0 0) )、( (x x1 1，y y1 1) )，构造？次，构造？次，构造？次，构造？次多项式多项式多项式多项式 使得使得使得使得p p1 1( (x xi i)= )= y yi i 。插值方法插值方法插值方法插值方法7oo特例特例特例特例2 2 设已知数据对设已知数据对设已知数据对设已知数据对( (x xi i，y yi i)( )(i i=0, 1, 2)=0, 1, 2)，构造？，构造？，构造？，构
4、造？次多项式次多项式次多项式次多项式 使得使得使得使得p p2 2( (x xi i)= )= y yi i 。插值方法插值方法插值方法插值方法8oo递推递推递推递推 设已知数据对设已知数据对设已知数据对设已知数据对( (x xi i，y yi i)( )(i i=0, 1, =0, 1, , , n n) )，构造，构造，构造，构造n n次多项式次多项式次多项式次多项式 使得使得使得使得p pn n( (x xi i)= )= y yi i 。插值方法插值方法插值方法插值方法oo插值问题中的一个非常典型的问题插值问题中的一个非常典型的问题插值问题中的一个非常典型的问题插值问题中的一个非常典型
5、的问题92.1 问题的提出问题的提出(数值预测数值预测)oo计算函数值计算函数值计算函数值计算函数值 QQ：函数关系复杂，没：函数关系复杂，没：函数关系复杂，没：函数关系复杂，没有解析表达式，或者函数形有解析表达式，或者函数形有解析表达式，或者函数形有解析表达式，或者函数形式未知。式未知。式未知。式未知。 常见的有：由观测数据常见的有：由观测数据常见的有：由观测数据常见的有：由观测数据( (离散数据离散数据离散数据离散数据) )计算未观测到的计算未观测到的计算未观测到的计算未观测到的点的函数值。点的函数值。点的函数值。点的函数值。由观测数据由观测数据由观测数据由观测数据构造构造构造构造一个一个
6、一个一个适当的简单函数近似适当的简单函数近似适当的简单函数近似适当的简单函数近似的的的的代替代替代替代替要寻求的函数要寻求的函数要寻求的函数要寻求的函数插值法。插值法。插值法。插值法。插值方法插值方法插值方法插值方法代数插值代数插值代数插值代数插值简单函数为代数多项式简单函数为代数多项式简单函数为代数多项式简单函数为代数多项式10x xP*P*3.013.010.9990.9993.0153.015? ?3.023.020.99930.99933.033.030.99950.99953.043.040.99970.99973.053.050.99980.99983.063.060.99980.
7、99983.073.070.99990.99993.083.080.99990.99993.093.091 111o插值需要满足的条件插值需要满足的条件 插值方法插值方法插值方法插值方法 满足已知条件。满足已知条件。满足已知条件。满足已知条件。 近似函数；近似函数；近似函数；近似函数； 精度高；精度高；精度高；精度高； 简单。简单。简单。简单。122.2 几类典型问题几类典型问题oo几类典型问题：几类典型问题：几类典型问题：几类典型问题： 问题问题问题问题1 1：设函数设函数设函数设函数y y= =f f( (x x) )定义域为定义域为定义域为定义域为 a a，b b ，x x0 0，x x
8、1 1，x xn n是是是是 a a，b b 上的上的上的上的n n+1+1个互异点，且个互异点，且个互异点，且个互异点，且y yi i= =f f( (x xi i) )已知，要构造一个函数已知，要构造一个函数已知，要构造一个函数已知，要构造一个函数g(g(x x) )，使得，使得，使得，使得g g( (x xi i)=)=y yi i( (i i=0,1, =0,1, , ,n n) )。第第第第1 1类类类类 问题问题问题问题3 3：=问题问题问题问题1+1+问题问题问题问题2 2：即过给定点，也要求导数相同。：即过给定点，也要求导数相同。：即过给定点，也要求导数相同。：即过给定点，也要
9、求导数相同。第第第第3 3类类类类 问题问题问题问题4 4：不过节点不过节点不过节点不过节点第第第第4 4类。类。类。类。插值方法插值方法插值方法插值方法 问题问题问题问题2 2：求做求做求做求做n n次多项式次多项式次多项式次多项式p pn n( (x x) )，使满足条件：，使满足条件：，使满足条件：，使满足条件： 为一组已给数据。为一组已给数据。为一组已给数据。为一组已给数据。第第第第2 2类类类类 132.3 问题问题12.3.1 基本概念基本概念oo问题问题问题问题1 1： 设函数设函数设函数设函数y y= =f f( (x x) )定义域为定义域为定义域为定义域为 a a，b b
10、，x x0 0，x x1 1，x xn n是是是是 a a，b b 上的上的上的上的n n+1+1个互异点，且个互异点，且个互异点，且个互异点，且y yi i= =f f( (x xi i) )已知，要构造一已知，要构造一已知，要构造一已知，要构造一个函数个函数个函数个函数g(g(x x) )，使得，使得，使得，使得g g( (x xi i)=)=y yi i( (i i=0,1, =0,1, , ,n n) )。插值方法插值方法插值方法插值方法oo误差函数：误差函数：误差函数：误差函数：oo r r( (x x)=)=f f( (x x)-g()-g(x x) )；oo 要求要求要求要求|
11、|r r( (x x)| )|在在在在 a a，b b 上比较小，即上比较小，即上比较小，即上比较小，即g(g(x x) )较好地逼较好地逼较好地逼较好地逼近近近近f f( (x x) )。14oo点点点点x x0 0，x x1 1，x xn n为为为为插值基点插值基点插值基点插值基点( (插值节点插值节点插值节点插值节点) )，简称，简称，简称，简称基点基点基点基点( (节点节点节点节点) )；oomin(min(x x0 0，x x1 1，x xn n) )，max(max(x x0 0，x x1 1，x xn n ) )为为为为插值区间插值区间插值区间插值区间；oof f( (x x)
12、)为求插函数；为求插函数；为求插函数；为求插函数；g(g(x x) )为插值函数；为插值函数；为插值函数；为插值函数；r r( (x x) )为插值公式的余项；为插值公式的余项；为插值公式的余项；为插值公式的余项；oof f( (x x)=g()=g(x x)+)+r r( (x x) )为为为为( (带余项的带余项的带余项的带余项的) )插值公式。插值公式。插值公式。插值公式。插值方法插值方法插值方法插值方法15oo依据依据依据依据( (x xi i，y yi i) )构造出插值函数构造出插值函数构造出插值函数构造出插值函数g(g(x x) )，然后在任意点，然后在任意点，然后在任意点，然后
13、在任意点x x计算计算计算计算g(g(x x) )作为作为作为作为f f( (x x) )的近似值的近似值的近似值的近似值插值插值插值插值；oo点点点点x x为插值点；为插值点；为插值点；为插值点；oo内插内插内插内插插值点位于插值区间内的插值过程；插值点位于插值区间内的插值过程；插值点位于插值区间内的插值过程；插值点位于插值区间内的插值过程； 外插外插外插外插插值点位于插值区间外的插值过程，也插值点位于插值区间外的插值过程，也插值点位于插值区间外的插值过程，也插值点位于插值区间外的插值过程，也叫外推。叫外推。叫外推。叫外推。插值方法插值方法插值方法插值方法16oo要求：要求：要求：要求： 效
14、率高效率高效率高效率高 精度高精度高精度高精度高 插值函数插值函数插值函数插值函数形式简单形式简单形式简单形式简单多项式、有理分式。多项式、有理分式。多项式、有理分式。多项式、有理分式。oo代数插值法代数插值法代数插值法代数插值法g(g(x x)=)=p p( (x x) )，为插值多项式，为插值多项式，为插值多项式，为插值多项式 LagrangeLagrange插值公式插值公式插值公式插值公式 AitkenAitken插值公式插值公式插值公式插值公式 NewtonNewton插值公式插值公式插值公式插值公式 插值方法插值方法插值方法插值方法172.3.2 Lagrange插值公式插值公式oo
15、LagrangeLagrange插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式 令令令令RRx x n n+1+1表示所有的不高于表示所有的不高于表示所有的不高于表示所有的不高于n n次的实系数次的实系数次的实系数次的实系数多项式和零多项式构成的集合，假设函数多项式和零多项式构成的集合，假设函数多项式和零多项式构成的集合，假设函数多项式和零多项式构成的集合，假设函数y y= =f f( (x x) )的已知值的已知值的已知值的已知值( (x xi i，y yi i)( )(y yi i= =f f( (x xi i) )，x xi i互异，互异，互异，互异，i i=0=0，1 1，n n) )，寻找
16、一个多项式，寻找一个多项式，寻找一个多项式，寻找一个多项式p p( (x x) R) Rx x n n+1+1，满足：，满足：，满足：，满足：p p( (x xi i)=)=f f( (x xi i)( )(i i=0=0，1 1，n n) ) 插值方法插值方法插值方法插值方法18oo基函数基函数基函数基函数 记记记记 为为为为lagrangelagrange基本多项式或插值基函数。基本多项式或插值基函数。基本多项式或插值基函数。基本多项式或插值基函数。 ool lk k( (x x) )的性质的性质的性质的性质 l lk k( (x xj j)=)= kjkj插值方法插值方法插值方法插值方法
17、19 则 为Lagrange插插值公式。公式。 性质性质 Pn(xi)=yi; 唯一性唯一性(定理定理)。插值方法插值方法插值方法插值方法20o几个典型特例几个典型特例(图示图示) 基函数基函数(图形图形)与插值公式与插值公式 线性插值线性插值 二次多项式插值二次多项式插值(抛物线插值抛物线插值)插值方法插值方法插值方法插值方法21o例题例题 P16 例例2； P17 例例3；插值方法插值方法插值方法插值方法22oo例题例题例题例题 已知某函数已知某函数已知某函数已知某函数f(x)f(x)的若干离散点如下：的若干离散点如下：的若干离散点如下：的若干离散点如下：插值求插值求插值求插值求f(1.5
18、)(f(1.5)(精确值精确值精确值精确值0.5118277)0.5118277)。 Q?Q?23解：解：(1) 一次插值一次插值 (2) 二次插值二次插值24oExercises 习题习题1(第第39、40页页)的的第第6、9、11、12题。题。插值方法插值方法插值方法插值方法25Lagrange余项定理余项定理ooLagrangeLagrange插值余项插值余项插值余项插值余项 r rn n( (x x)=)=f f( (x x)- )-p pn n( (x x) )ooLagrangeLagrange余项定理余项定理余项定理余项定理 设设设设f f( (x x) )在包含在包含在包含在包
19、含n n+1+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点x x0 0，x x1 1， ，x xn n在内的区间在内的区间在内的区间在内的区间 a a，b b 内具有内具有内具有内具有n n阶连续导数，且在阶连续导数，且在阶连续导数，且在阶连续导数，且在( (a a，b b) )内存在内存在内存在内存在n n+1+1阶有界导数，则当阶有界导数，则当阶有界导数，则当阶有界导数，则当x x a a, ,b b ，必存在一点，必存在一点，必存在一点，必存在一点 ( (a a，b b) ) ，使得，使得，使得，使得插值方法插值方法插值方法插值方法26o误差分析误差分析 x偏离插值节点比较远，则误差大，尤偏离插值节点比较远，则误差大，尤其是外推误差大；其是外推误差大； 被插函数足够光滑，否则导数过大，用被插函数足够光滑，否则导数过大，用代数多项式插值不合适。代数多项式插值不合适。o 证明证明数学分析数学分析插值方法插值方法插值方法插值方法插值方法插值方法插值方法插值方法谢谢！谢谢！
