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1、2.2.3 3. .2 2 双曲线的简单几何性质（一）双曲线的简单几何性质（一）1234oYX关于关于X,Y轴轴,原点对称原点对称(a,0),(0,b)(c,0)A1A2 ; B1B2|x| a,|y|bF1F2A1A2B2B12.椭圆的图像与性质椭圆的图像与性质:5 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质1、范围、范围关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课
2、堂新授课堂新授 63、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点 xyo-bb-aa线段线段 叫双曲线的叫双曲线的实轴实轴，长为，长为2a，a为为实半轴长实半轴长；线段线段 叫双曲线的叫双曲线的虚轴虚轴，长为，长为2b，b为为虚半轴长虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线，即等轴双曲线，即a=b （3）7M(x,y)N(x,y)Q慢慢靠近慢慢靠近xyoab（1）（2）利用渐近线可以较准确的利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图画出双曲线的草图（3） 双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线
3、有什么位置关系呢?84、渐近线、渐近线xyoab动画演示点在双曲线上情况动画演示点在双曲线上情况怎样记忆？怎样记忆？9105、离心率、离心率xyoabca0e 1115、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 1(4)等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?=12关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称渐近线渐近线.yB2A1A2 B1 x
4、OF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0 )F2(0,c)F1(0,-c)13思考：思考： 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？双曲线双曲线 的渐近线方程是什么？的渐近线方程是什么？(3).双曲线的画法：双曲线的画法：yB2A1A2 B1 xO定顶点定顶点画矩形画矩形画渐近线画渐近线画双曲线画双曲线两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？14例例1 :求双曲线求双曲线 的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：解：把方程化为标准方
5、程把方程化为标准方程 可得可得:实半轴长实半轴长a=4 虚半轴长虚半轴长b=3 半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率离心率: 渐近线方程渐近线方程: 14416922= =- -xy53422= =+ +45= = =ace15关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称渐近线渐近线.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0 )F2(0
6、,c)F1(0,-c)16 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？17巩固练习：填表巩固练习：填表|x|618|x|3(3,0)y=3x44|y|2(0,2)1014|y|5(0,5)18结论：结论：191、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应的双曲线的应用用0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.M解：解：设点设点M(x,y)到到l的距离为的距离为d，则，则即即化简得化简得 (c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设设c2a2 =b2，(a0,b0)故点故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为的轨迹为实轴、虚轴
7、长分别为2a、2b的双曲线的双曲线.b2x2a2y2=a2b2即即就可化为就可化为:M点点M的轨迹也包括双的轨迹也包括双曲线的左支曲线的左支.一、第二定义一、第二定义 (x,y)28双曲线的第二定义双曲线的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率.对于双曲线对于双曲线是相应于右焦点是相应于右焦点F(c, 0
8、)的的右准线右准线类似于椭圆类似于椭圆是相应于左焦点是相应于左焦点F(-c, 0)的的左准线左准线xyoFlMFl点点M到左焦点与左准线的距到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义离之比也满足第二定义.29想一想：想一想：中心在原中心在原点，焦点在点，焦点在y轴上轴上的双曲线的准线的双曲线的准线方程是怎样的？方程是怎样的？xyoF相应于上焦点相应于上焦点F(c, 0)的是的是上准线上准线相应于下焦点相应于下焦点F(-c, 0)的是的是下准线下准线F30例例2 2、点、点M M（x,yx,y）与定点）与定点F F（5,05,0），的距离），的距离和它到定直线：和它到定直线： 的距离的比是常的距离
9、的比是常数数 , , 求点求点M M的轨迹的轨迹. .y0d31归纳总结归纳总结1. 双曲线双曲线的第二定义的第二定义 平面内，若平面内，若定点定点F不在定直线不在定直线l上，则到定点上，则到定点F的的距离与到定直线距离与到定直线l的距离比为常数的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是的点的轨迹是双曲线双曲线。 定点定点F是是双曲线的焦点双曲线的焦点，定直线叫做，定直线叫做双曲线双曲线的准线的准线，常数，常数e是是双曲线的离心率双曲线的离心率。2. 双曲线双曲线的准线方程的准线方程对于双曲线对于双曲线准线为准线为对于双曲线对于双曲线准线为准线为注意注意: :把双曲线和椭圆的知识相类比把双曲线和椭圆
10、的知识相类比.32椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1）联立方程组）联立方程组（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系二、直线与双曲线的位置关系331) 位置关系种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，个交点，一个交点，一个交点或两个交点一个交点或两个交点)342)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点35得得 解：解： 由由 方程只有一解方程
11、只有一解 当当 即即 时，方程只有一解时，方程只有一解时，应满足时，应满足 当当 解得解得 故故k k的值为的值为 如果如果直线直线 与双曲线与双曲线 仅仅有一个公共点，求有一个公共点，求 的值。的值。例例1 1x xy yoM M363)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点） =
12、0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离38归纳总结直线与双曲直线与双曲线位置关系线位置关系相交相交交于两点交于两点(0)0)交于一点交于一点(二次方程二二次方程二次项系数为零，直线与渐近线平行次项系数为零，直线与渐近线平行)相切相切相离相离只有一个公共点只有一个公共点(0)0)没有一个公共点没有一个公共点(0)0)注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常间的内在联系，直线与双曲线的位置关系通常是转化为二次方程，运用判别式、根与系数的是转化为二次方程，运用判别式、根与系数的关系以及二次
13、方程实根分布原理来解决。关系以及二次方程实根分布原理来解决。39相切一点相切一点: =0相相 离离: 0 注注:相交两点相交两点: 0 同侧：同侧： 0 异侧异侧: 0 一点一点: 直线与渐进线平行直线与渐进线平行40特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的位置关系中：位置关系中：一解不一定相切，相交不一定一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支两解，两解不一定同支41例例.已知直线已知直线y=kx-1与双曲线与双曲线x2-y2=4,试讨论实数试讨论实数k的取值的取值范围范围,使直线与双曲线使直线与双曲线(1)没有公共点没有公共点; (2)有两个公共点有两个公共点;(3)只有一个公共
14、点只有一个公共点; (4)交于异支两点；交于异支两点；(5)与左支交于两点与左支交于两点.(3)k=1，或，或k= ；(4)-1k1 ；(1)k 或k ；(2) k ；421.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条. 变题变题:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4) 2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?41.两条两条;2.三条三条;3.两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。432.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异
15、于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 44例例4、如图，过双曲线、如图，过双曲线 的右焦点的右焦点倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。三、三、弦长问题弦长问题4546韦达定理与点差法韦达定理与点差法例例.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求：求： (1)以以2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹； (3)以定点以定点B(2,1)为中点的弦所在
16、为中点的弦所在的直线方程的直线方程. (4)以定点以定点(1,1)为中点的弦存在吗为中点的弦存在吗？说明理由；？说明理由；471 .位置判定位置判定2.弦长公式弦长公式3.中点问题中点问题4.垂直与对称垂直与对称5.设而不求设而不求(韦达定理、点差法韦达定理、点差法)小结：小结：50拓展延伸拓展延伸513、设双曲线、设双曲线C： 与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。555657584、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右
17、与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成构成的三角形称之为的三角形称之为焦点三角形焦点三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。定理。 59例例3、 已知双曲线已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点是它的左、右焦点. 设点设点A(9,2), 在曲线上求点在曲线上求点M，使，使 的值最小的值最小,并求这个最小值并求这个最小值.xyoF2MA由已知：由已知：解：解：a=4, b=3, c=5,双曲线的右准线为双曲线的右准线为l:作作MNl, AA1l, 垂足分别是垂足分别是N, A1,NA1当且仅当当且仅当M是是 AA1与双曲线的交点时取等号与双曲线的交点时取等号,令令y=2, 解得解得:60
