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1、休息休息结束结束第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念休息休息结束结束1.1 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算1)可在相同的条件下重复可在相同的条件下重复2)每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能的结果的结果3)进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现这样的试验称为这样的试验称为随机试验随机试验。在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机随机现象现象。样本空间样本空间随机试验的一切
2、可能结果组成的随机试验的一切可能结果组成的集合称为集合称为样本空间样本空间，记为，记为S。样本空间的元素，称为样本空间的元素，称为样本点样本点，常记为，常记为 ，S= 。随机事件随机事件样本空间的子集样本空间的子集,常记为常记为A,B,它它是满足某些条件的样本点所组成的集合。是满足某些条件的样本点所组成的集合。(特别地，特别地，由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为称为基本事件基本事件)如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.基本事件基本事件事件事件B=掷出奇数点掷出奇数点A Ai i =掷出掷出i i点点 i=1,2,3,4,5,6 样本空间样本空间S
3、=1,2,3,4,5,6随机事件发生随机事件发生组成随机事件的一组成随机事件的一个样本点出现。个样本点出现。必然事件必然事件全体样本点组成的事件全体样本点组成的事件,记为记为S，每次试验必定发生的事件。每次试验必定发生的事件。不可能事件不可能事件每次试验必定不发生的每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事情，即不包含任何样本点的事件，记为事件，记为。休息休息结束结束例例1 1随机试验及相应的样本空间随机试验及相应的样本空间E1:投一枚硬币投一枚硬币3次，观察正面出现的次数次，观察正面出现的次数有限样本空间有限样本空间E2:观察总机每天观察总机每天9:0010:00接到的电话次数接到的电
4、话次数E3:观察某灯泡的寿命观察某灯泡的寿命休息休息结束结束事件的关系和运算事件的关系和运算Venn图图AS 随机事件的关系和运算类似于集合随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算的关系和运算休息休息结束结束1.事件的包含A包含于包含于B事件事件A发生必导致发生必导致事件事件B发生发生 A SB 2.事件的相等休息休息结束结束3.事件的并(和)或或A与与B的和事件的和事件事件事件A与事件与事件B至至少有一个发生少有一个发生的和事件的和事件的和事件的和事件 S 休息休息结束结束4.事件的交事件的交(积积) 事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生A与与B的积事件的积事件或或发生发生的积事件的积
5、事件的积事件的积事件 休息休息结束结束5.事件的差A与与B的差事件的差事件发生发生事件事件A发生，但事件发生，但事件B不发生不发生 B休息休息结束结束6. 事件的互斥(互不相容)A与与B互不相互不相容（互斥）容（互斥）A、B不可能同时发生不可能同时发生两两互斥两两互斥两两互斥两两互斥AB休息休息结束结束7.事件的对立A与与B互相对立（互逆）互相对立（互逆）每次试验每次试验A、B中有且只有一个发生中有且只有一个发生称称B为为A的的对立事件对立事件(or逆事件逆事件)，记为记为注意注意：“A A 与与B B 互相对立互相对立”与与“A A 与与B B 互不互不相容相容”是不同的概念是不同的概念A休
6、息休息结束结束运算律运算律事件运算集合运算对应对应q 吸收律q 重余律q 幂等律休息休息结束结束q交换律q结合律q分配律q 差化积休息休息结束结束 运算顺序：q对偶律逆交并差，括号优先。休息休息结束结束例例2 利用事件关系和运算表达多个事件的关系利用事件关系和运算表达多个事件的关系:A,B,C都不发生都不发生A,B,C不都发生不都发生A发生，而发生，而B不发生不发生休息休息结束结束例例3 生产加工三个零件生产加工三个零件 ，分别用，分别用 表示表示第第 i个零件为正品。用个零件为正品。用 及事件的运算表示及事件的运算表示下列事件：下列事件：（1 1）没有一个零件是次品，全是正品。）没有一个零件
7、是次品，全是正品。( ( B1) )（2 2）只有第一个是次品。）只有第一个是次品。(B2)（3 3）恰有一个是次品。）恰有一个是次品。 ( ( B3)（4 4）至少有一个是次品。）至少有一个是次品。 ( ( B4) )解：解：（1）(2)(2)(3)(3)(4)休息休息结束结束频率的稳定性实验者实验者 nnHfn(H)德德.摩根（摩根（De.Morgan）204810610.5181蒲丰蒲丰(Buffon）404020480.5069K.皮尔逊（皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016K.皮尔逊（皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005观察历史上有多位有
8、名的科学家的观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬抛硬币币”试验结果，有什么规律试验结果，有什么规律? ?1.2.1确定确定概率的概率的频率频率方法方法1.2 1.2 概率的定义及确定方法概率的定义及确定方法 这这个个事事实实表表明明，偶偶然然现现象象背背后后隐隐藏藏着着必必然然性性。“频频率率稳稳定定性性”就就是是偶偶然然性性中中隐隐藏藏的的必必然然性性。“频频率率稳稳定定值值”就就是是必必然然性性的的一一种种度度量量，反反映映了了偶偶然然现现象象发发生可能性的大小。生可能性的大小。休息休息结束结束概率的统计定义概率的统计定义为了研究事件为了研究事件A的概率，在相同的条件下，重的概率，在相同的
9、条件下，重复进行复进行n次试验，若次试验，若A出现（发生）了出现（发生）了k次，则称次，则称为事件为事件A的的频率频率。理论和试验都表明，当理论和试验都表明，当n充分大时，频率具充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：休息休息结束结束1.2.2概率的公理化定义概率的公理化定义l非负性公理非负性公理：对每一个：对每一个A，有，有P(A)0l规范性公理规范性公理：P(S)=1l可列可加性公理可列可加性公理：若：若A1,A2,互不相容，互不相容，有有:设设E是随机试验，是随机试验，S是样本空间。如果对于是样本空间。如果对于E的的每一事件每一事件A，
10、赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为 P(A),称为事件称为事件A的概率，如果的概率，如果P(A)满足：满足： 休息休息结束结束概率的性质 i.P( )=0 ii.有限可加性有限可加性若A1,A2, An,是是两两互不相两两互不相容的事件，则有：容的事件，则有：休息休息结束结束iii.单调性单调性设设A,B是两个事件，若是两个事件，若A B,则有：则有：推论推论：对任意事件：对任意事件A,B,有：有：休息休息结束结束iv.对于任一事件对于任一事件A 0 P(A) 1 v.（逆事件的概率）（逆事件的概率）对于任一事件对于任一事件A，有：有：休息休息结束结束vi.（加法公式）加法公式）对于任意两
11、事件对于任意两事件A,B有：有：休息休息结束结束对于任意对于任意n个事件个事件A1,A2,An,有：有：一般地，一般地，请大家自己写出任意三个事件的加法公式。请大家自己写出任意三个事件的加法公式。公理化定义没有告诉我们如何去确定概率。公理化定义没有告诉我们如何去确定概率。休息休息结束结束最早研究的概率模型最早研究的概率模型解解: 设设 A:得奇数得奇数. 例例 掷一枚骰子掷一枚骰子,求得奇数的概率求得奇数的概率.显然显然,P(A)=3/6=1/2.1.31.3等可能概型（等可能概型（古典古典概型）概型）休息休息结束结束1）随机试验或观察的所有可能结果为有限个，随机试验或观察的所有可能结果为有限
12、个，每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果；每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果；其特征为：其特征为：2）每一个结果发生的可能性相同。每一个结果发生的可能性相同。对古典概型对古典概型,某随机事件某随机事件A发生的概率发生的概率:休息休息结束结束古典概率计算举例例例1 1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单
13、词：个英文单词：ISCNC E的概率有多大？的概率有多大？E休息休息结束结束解解：七个字母的排列总数为：七个字母的排列总数为7！拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：休息休息结束结束例例2 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5 5个数字组成，每个数个数字组成，每个数字可能是从字可能是从0-90-9这十个数字中的任一个，求电话这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率。号码由五个不同数字组成的概率。解：解：问：问：错错在何处？在何处？=0.3024例例3设有设有N件产品，其中有件产品，其中有M件次品，现从这件次品，现
14、从这N件中任取件中任取n件，求其中恰有件，求其中恰有k件次品的概率。件次品的概率。解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.次品正品M件次件次品品N-M件件正品正品超几何分布超几何分布将将m个个球球等等可可能能地地分分到到M个个盒盒中中，每每一一个个盒盒子子的的容量不限。考察以下各种分法的概率：容量不限。考察以下各种分法的概率：1）A：某指定的：某指定的m个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；2）B：恰有：恰有m个盒子中各有一球。个盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有某指定的盒子中恰有k球球(k m)例例4分球问题分球问题解解解解: :所有可能的分法有：所
15、有可能的分法有：所有可能的分法有：所有可能的分法有：MMmm种种种种AA成立的分法有成立的分法有成立的分法有成立的分法有: :1）A：某指定的：某指定的m个盒子中各有一球；个盒子中各有一球；休息休息结束结束B成立的分法有成立的分法有种种2）B：恰有：恰有m个盒子中各有一球。个盒子中各有一球。返回返回休息休息结束结束3）C:某指定的盒子中恰有某指定的盒子中恰有k球球(k m) C成立的分法有成立的分法有种种休息休息结束结束某班有某班有50位同学，他们中至少有位同学，他们中至少有2位在同位在同一天过生日的概率是多少一天过生日的概率是多少?例例5生日问题公式公式休息休息结束结束n2023304050
16、64100p.970一般地，有：一般地，有：.411.507.706.891.997.9999997休息休息结束结束分组问题分组问题例例6 30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分成成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组30人人(1)(2)(3)休息休息结束结束一般地，把一般地，把n个个球随机地分成球随机地分成m组组(nm),要求第要求第 i i 组恰组恰有有n
17、i个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：休息休息结束结束30人人(1)(2)(3)(2)解法一解法一(“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”包括包括“3名运动员名运动员都都在在第第一组一组”,“3名运动员名运动员都都在在第二第二组组”,“3名运动员名运动员都都在在第三第三组组”三种情况三种情况.)休息休息结束结束30人人(1)(2)(3)(2)解法二解法二(“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”相当于相当于“取一组有取一组有3名运动员名运动员,7名普通队员名普通队员,其余两组分配剩其余两组分配剩余的余的20名普通队员名普通队员.)休息休息结束结束1.4 1.4 条件概率
18、条件概率 引例引例引例引例 袋中有袋中有7只白球，只白球，3只红球；白球中有只红球；白球中有4只木球，只木球，3只塑料球；红球中有只塑料球；红球中有2只木球，只木球，1只塑料球。现只塑料球。现从袋中任取从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相球，假设每个球被取到的可能性相同。同。设设A:取到的球是白球。取到的球是白球。B:取到的球是木球。取到的球是木球。求：求：1)P(A);2)P(AB);3)在已知取出的球是白球的条件下，求取出的在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。是木球的概率。休息休息结束结束白球红球 小计木球426塑料球314小计7310解解：列表3).所求的概率称为所
19、求的概率称为在事件在事件A发生的条件下发生的条件下事件事件B发生的发生的条件概率条件概率。记为。记为休息休息结束结束定义：定义： 设设 A、B为两事件为两事件, , P(B)0, 则则称称 为事件为事件B发生的条件下发生的条件下, ,事件事件A发生的条件概率。记为发生的条件概率。记为一般地一般地,我们有我们有:休息休息结束结束若事件若事件B已发生已发生,则为使则为使A也发生也发生,试验结试验结果必须是既在果必须是既在B中又在中又在A中的样本点中的样本点,即此点必即此点必属于属于AB.由于我们已经知道由于我们已经知道B已发生已发生,故故B变成了变成了新的样本空间新的样本空间,于是于是有上式。有上
20、式。休息休息结束结束条件概率也是概率，它符合概率的定义，具条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：有概率的性质：q 可列可加性可列可加性q 规范性规范性q 非负性非负性休息休息结束结束q q q 休息休息结束结束条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算: :P(B)02)从加入条件后改变了的情况去算。从加入条件后改变了的情况去算。例：例：A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=在缩减样本间在缩减样本间中中A所含样点个数所含样点个数B发生后的缩减样发生后的缩减样本空间所含样本点本空间所含样本点总数总数例例1掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, ,已知第一颗掷出已知第一颗掷
21、出6 6点点, ,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于1010”的概率是多少的概率是多少? ? 解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10B=第一颗掷出第一颗掷出6点点解法解法1:解法解法2:在在B发生后的缩减发生后的缩减样本空间中计算样本空间中计算休息休息结束结束利用条件概率求积事件的概率利用条件概率求积事件的概率推广：乘法公式休息休息结束结束(1)设设A,B,C,D依次为第一、二、三、四次取依次为第一、二、三、四次取 。解：解：例例2有有5252张扑克牌。张扑克牌。（1 1）依次取四张，求四张都是）依次取四张，求四张都是 的概率。的概率。（2 2）一次性抽取四张，四张都是
22、）一次性抽取四张，四张都是 的概率的概率休息休息结束结束 已知某厂生产的灯泡能用到已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为小时的概率为0.8,能用到能用到1500小时的概率为小时的概率为0.4,求已用到求已用到1000小小时的灯泡能用到时的灯泡能用到1500小时的概率。小时的概率。解解 令 A ：灯泡能用到1000小时； B ：灯泡能用到1500小时。所求概率为例例3休息休息结束结束一盒中装有一盒中装有5件产品，其中有件产品，其中有3件正品，件正品，2件次品，件次品，从中不放回地取两次，每次从中不放回地取两次，每次1件，求：件，求：（1）都取得正品的概率）都取得正品的概率（2）第二次取得正
23、品的概率）第二次取得正品的概率（3）第二次才取得正品的概率）第二次才取得正品的概率解：解：令令Ai为第为第i次取到正品次取到正品i=1,2。（1）（2）例例4休息休息结束结束(3)第二次才取得正品的概率例例5波里亚罐子模型波里亚罐子模型一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球个白球和和r个红球个红球.随机地抽取一个随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所个与所抽出的球具有相同颜色的球抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率到红球的概率. b b
24、 个白球个白球, , r r 个红球个红球休息休息结束结束解解:设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4A= W1W2R3R4b b 个白球个白球, , r r 个红球个红球利用乘法公式：利用乘法公式：P(W1W2R3R4)=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)当当c0时，由于每次取出球后会增加下一次也取时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一到同色球的概率。为一传染病模型传染病模型。每次发现一个传每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率。染病患者，都会增加再传染的
25、概率。例例6抽签问题抽签问题一一场场精精彩彩的的足足球球赛赛将将要要举举行行，5个个球球迷迷好好不不容容易易才才搞搞到到一一张张入入场场券券.大大家家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决。只好用抽签的方法来解决。中签概率于抽签顺序是否有关“先抽的人当然要比后抽的先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。人抽到的机会大。”“大家不必争先恐后，你们一大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到个一个按次序来，谁抽到入入场券场券的机会都一样大的机会都一样大.”到底谁说的对呢？休息休息结束结束我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.则则表示表示“第第i个人未抽
26、到入场券个人未抽到入场券”显然，显然，P(A1)=1/5，P()4/5也就是说，也就是说，第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.休息休息结束结束由于由于由乘法公式由乘法公式也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，计算得：计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5休息休息结束结束同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此(4/5)继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入入场券场券”的概率都是的概率都是1/5.抽签不必
27、争先恐后！结论：结论：(3/4) (1/3) =1/5 全概率公式与全概率公式与Bayes 公式公式引例引例有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装号箱装有有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（出一球，（1）求取得红球的概率。（）求取得红球的概率。（2）已知）已知取出的是红球，求此球来自取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。号箱的概率。(1)解：解：记记Bi=球取自球取自i号箱号箱,i=1,2,3;A=取得红球取得红球B1A,B2A,
28、B3A两两互斥两两互斥休息休息结束结束将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得得到在概率计算中常用的到在概率计算中常用的全概率公式。依题意，依题意，P(A|B1)=1/5,P(A|B2)=2/5,P(A|B3)=3/3全概率公式B1BnAB1AB2ABnAB2休息休息结束结束全概率公式的来由全概率公式的来由“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和。被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:在较复杂情况下直接计算 P(A) 不易,但 A总是伴随着某个 Bi出现，适当地去构造这一组 Bi 往往可以简化计算。休息休息结束结束(
29、2)解解：引例引例有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3。1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装号箱装有有3红球红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（一球，（1）求取得红球的概率。（）求取得红球的概率。（2）已知取出）已知取出的是红球，求此球来自的是红球，求此球来自1号箱的概率。号箱的概率。休息休息结束结束AB1Bayes公式这类问题，是这类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”是已知是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。设
30、设B1,B2,Bn是是两两两两互互斥斥的的事事件件，且且P(Bi)0，i=1,2,n,另另有有一一事事件件A，它它总总是是与与B1,B2,Bn之之一同时发生，则一同时发生，则休息休息结束结束该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在它是在观察到事件观察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的发生的每个原因的概率。每个原因的概率。贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能）发生的最可能原因。原因。休息休息结束结束每每100件产品为一批，已知每批产品
31、中的件产品为一批，已知每批产品中的次品数不超过次品数不超过4件，每批产品中有件，每批产品中有i件次品的概件次品的概率为：率为： i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求：认为这批产品合格。求：（1）一批产品通过检验的概率一批产品通过检验的概率；（2）通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有i件次品的概率件次品的概率。例例休息休息结束结束设设Bi：一批产品中有：一批产品中有i件次品件次品 i=0,1,4A：
32、一批产品通过检验：一批产品通过检验则由全概率公式与Bayes公式可计算P( A )与解：解：休息休息结束结束结果如下表所示 i01234P(Bi)0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080P(A|C)=0.95,P(A|)=0.05某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种，患者对一种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验，正常人对这种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.05，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率
33、有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解解:设设C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，已知已知P(C)=0.005,P()=0.995,求求P(C|A).例例3休息休息结束结束=0.0872结果的意义：结果的意义：P(A|C)=0.95,P(A|)=0.05已知已知P(C)=0.005,P()=0.995,休息休息结束结束1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率为：他是患者的概率为：P(C)=0.005若试验后得阳性反应，则根据试验得来的若试
34、验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为信息，此人是患者的概率为P(CA)=0.0872将近增加约将近增加约17倍倍说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。症有意义。休息休息结束结束2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为P(CA)=0.0872即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有8.72%(平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有87人确患癌症人确患癌症)，此时
35、医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认.休息休息结束结束称称P(Bi)为为先验概率先验概率，它是由以往的经，它是由以往的经验得到的，它是事件验得到的，它是事件A的原因。的原因。称称为为后验概率后验概率，它是得到了信，它是得到了信息息A发生，再对导致发生，再对导致A发生的原因发生的原因Bi发生发生的可能性大小重新加以修正。的可能性大小重新加以修正。值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”。 可见贝叶斯公式的影响可见贝叶斯公式的影响 。休息休息结束结束
36、例例4用用Bayes公式分析伊索寓言公式分析伊索寓言孩子与狼孩子与狼中村中村民对小孩的信赖程度是如何下降的。民对小孩的信赖程度是如何下降的。解解:A：小孩说谎；小孩说谎； B：小孩可信；小孩可信；小孩第一次说谎后的可信度为：小孩第一次说谎后的可信度为：不妨设：不妨设：P(B)=0.8；休息休息结束结束小孩第二次说谎后的可信度为：小孩第二次说谎后的可信度为：休息休息结束结束1.5 1.5 独立性独立性引例引例在在52张牌中，有放回地抽取两次，令：张牌中，有放回地抽取两次，令：A= = “第一次是第一次是” ; ; B= = “第二次是第二次是K” 求：求：解：解：两个事件的独立性两个事件的独立性
37、两个事件的独立性两个事件的独立性休息休息结束结束定义定义：若事件若事件 A、B满足满足则称事件则称事件A、B相互独立相互独立，简称，简称独立独立。 事件的独立性可根据实际经验判断。如：天气好坏与学习成绩，二人打枪各自的命中率。又：甲乙两人上课讲话（不独立），前后两次抽牌（无放回和有放回）。 休息休息结束结束两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥. . 两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考请同学们思考 二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系休息休息结束结束由此
38、可见两事件由此可见两事件互斥互斥但但不独立不独立. . 休息休息结束结束两人射击，甲射中概率两人射击，甲射中概率0.90.9，乙射中概率，乙射中概率0.80.8，各射一次，求目标被击中的概率。，各射一次，求目标被击中的概率。A：“甲中甲中”， B：“乙中乙中”。“目标被击中目标被击中” ： 例例1解解1：解解2：休息休息结束结束定理一定理一：设：设A,B是两事件，且是两事件，且P(A)0。若。若A,B相互独立，则相互独立，则。反之。反之也然。也然。定理二定理二：若事件：若事件A,B相互独立，则下面相互独立，则下面个事件对也相互独立。个事件对也相互独立。休息休息结束结束多个事件的独立性多个事件的
39、独立性三个事件的独立性三个事件的独立性定义定义定义定义： 设设A,B,C是三个事件，如果满足是三个事件，如果满足：则称事件则称事件A,B,C相互独立相互独立。休息休息结束结束 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以A，B，C分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问问A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红、由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，
40、白、黑分别出现两面，因此因此又由题意知又由题意知 休息休息结束结束故有故有因此因此A，B，C不相互独立不相互独立.则三事件则三事件A,B,C两两独立两两独立.由于由于休息休息结束结束强调几个概念强调几个概念v独立性和不相容性不要混淆（不影响与不相交）。v事件的独立性是很普遍的现象，概率性质简单。v有放回的抽样是相互独立的，无放回的取样是不独立的。当总数很庞大时，可认为近似独立。休息休息结束结束对目标进行三次射击，命中率依次为对目标进行三次射击，命中率依次为0.4，0.5，0.7，求至少有一次命中的概率。，求至少有一次命中的概率。解解：设：设Ai“第第i次命中次命中”(i=1,2,3)，展开有展
41、开有7项，（项，（4正，正，3负）负）太麻烦!例例2休息休息结束结束另一种算法是计算未击中的概率另一种算法是计算未击中的概率依题意，依题意，P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,休息休息结束结束n个事件的独立性定义：个事件的独立性定义：等式总数为：等式总数为：设设A1,A2,An是是n个个事件，如果对任意事件，如果对任意k(1kn),任意任意1i1i22)个事件个事件相互独立相互独立两两独立两两独立？休息休息结束结束例例3独立性的概念在可靠性理论计算中的应用独立性的概念在可靠性理论计算中的应用下面是一个系统示意图下面是一个系统示意图.由由n个独立工作的元件个独立工作的元件
42、1,2,n.串连组成。每个元件正常工作的概率串连组成。每个元件正常工作的概率（元件可靠性）为（元件可靠性）为r。求系统可靠性。求系统可靠性R（即系统正（即系统正常工作的概率）。常工作的概率）。21n解解：将系统正常工作记为：将系统正常工作记为W，元件，元件i正常工作记为正常工作记为Ai由于各元件独立工作，有由于各元件独立工作，有:返回返回休息休息结束结束为提高系统可靠性，有两种选择方案：为提高系统可靠性，有两种选择方案：系统系统1：系统系统2：21n21nS2S11122nnSnS2S1返回返回休息休息结束结束分别计算两个方案的可靠性。分别计算两个方案的可靠性。系统系统1：2系统系统2：n系统系统2优于优于系统系统11S2休息休息结束结束我们介绍了事件独立性的概念. 不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化。休息休息结束结束作业一P24 1(1,4) 2 , 3 , 休息休息结束结束作业二P24 5，8， 13，休息休息结束结束作业三P26 14，19， 23，24，25， 26，休息休息结束结束作业四P27 28，34（1），35，37休息休息结束结束课 间 休 息
