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1、8.3 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3复习100个产品尺寸的频率分布直方图个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸mm)频率组距复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线高尔顿板高尔顿板11总体密度曲线0YX导入导入产品尺寸的品尺寸的总体密度曲体密度曲线就是或近似地是以下函数的就是或近似地是以下函数的图象：象：1
2、、正、正态曲曲线的定的定义：函数函数式中的式中的实数数、(0)是参数，分是参数，分别表示表示总体的平均数与体的平均数与规范差，称范差，称f( x)的的图象称象称为正正态曲曲线cdab平均数XY 假设用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,那么X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率为:2.正态分布的定义正态分布的定义:假假设对于任何于任何实数数 ab,随机随机变量量X满足足: 那么称那么称为X 的正的正态分布分布. 正正态分布由参数分布由参数、独一确定独一确定.正正态分布分布记作作N ，2.其其图象称象称为正正态曲曲线.假假设随机随机变量量X服从正服从正态分布，分布，那么那么记作
3、作 X N ，2 在实践遇到的许多随机景象都服从或近在实践遇到的许多随机景象都服从或近似服从正态分布：似服从正态分布：在消在消费中，在正常消中，在正常消费条件下各种条件下各种产品品的的质量目的；量目的； 在丈量中，丈量在丈量中，丈量结果；果； 在生物学中，同一群体的某一特征；在生物学中，同一群体的某一特征； 在气候中，某地每年七月份的平均气在气候中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度温、平均湿度 以及降雨量等，水以及降雨量等，水文中的水位；文中的水位； 总之，正之，正态分布广泛存在于自然界、消分布广泛存在于自然界、消费及科学技及科学技术的的许多多领域中。域中。正正态分布在概率和分布在概率和统计
4、中占有重要位置。中占有重要位置。 m 的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均程度平均程度x3x4平均数x= x= 产品 尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均程度平均程度总体规范差反映总体随机变量的总体规范差反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s的意义正态总体的函数表示式正态总体的函数表示式当= 0，=1时规范正态总体的函数表示式规范正态总体的函数表示式012-1-2xy-33=0=1规范正态曲线，+1当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.2 的值域为 4当
5、时 为增函数.当 时 为减函数.012-1-2xy-33=0=1规范正态曲线规范正态曲线正态总体的函数表示式正态总体的函数表示式 =例例1、以下函数是正态密度函数的是、以下函数是正态密度函数的是 A. B. C. D.B3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有两具有两头低、中低、中间高、左右高、左右对称的根本特征称的根本特征012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=21 1曲曲线在在x x轴的上方，与的上方，与x x轴不相交不相交.
6、.2曲曲线是是单峰的峰的,它关于直它关于直线x=对称称. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质4曲曲线与与x轴之之间的面的面积为13曲曲线在在x=处到达峰到达峰值(最高点最高点)方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1假设假设 固固定定, 随随 值的变化值的变化而沿而沿x轴轴平移平移, 故故 称为位置称为位置参数；参数；均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0假设假设 固定固定, 大时大时, 曲线矮而曲线矮而胖；胖； 小时小时, 曲线瘦曲线瘦而高而高, 故称故称 为外形参数。为外形参数。=0.50
7、12-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定一定时，曲，曲线的外形由的外形由确定确定 .越大，曲越大，曲线越越“矮胖，表示矮胖，表示总体的分布越分散；体的分布越分散；越小，曲越小，曲线越越“瘦高，表示瘦高，表示总体的分布越集中体的分布越集中.5当当 x时,曲曲线下降下降.并且当曲并且当曲线向左、右两向左、右两边无限延伸无限延伸时,以以x轴为渐近近线,向它无限接近向它无限接近. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质动画动画例例3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右挪动沿着横轴方向向右挪动2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的一条曲线b。以下说法中不正确的选项。以下说法中不正
8、确的选项是是 A.曲线曲线b依然是正态曲线；依然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。C正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X
9、)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m-m-a am+am+ax=假设假设XN ,那么对于任何实数那么对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这阐明的减少而变大。这阐明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们
10、从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需4.6，在，在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需0.3 。 由于由于这些概率些概率值很小普通不超越很小普通不超越5 ，通常称，通常称这些情况些情况发生生为小概率事件。小概率事件。例例3:3:分别求正态总体分别求正态总体 在区间在区间: : 内取值的概率内取值的概率. .解：解： 同理，正态总体同理，正态总体 在区间在区间: 内取值的概率是：内取值的概率是： 正态总体正态总体 在区间在区间: 内取值的概率是：内取值的概率是：上述计算结果可用下表和图来表示：上述计算结果可用下表和图来表示： 区间区间 取值概率取值概率7假设检验方法的根
11、本思想；假设检验方法的根本思想；小概率事件的含小概率事件的含义： 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需4.6，在，在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需0.3 。 由于由于这些概率些概率值很小普通不超越很小普通不超越5 ，通常称通常称这些情况些情况发生生为小概率事件。小概率事件。即事件在一次即事件在一次实验中几乎不能中几乎不能够发生。生。例例4、在某次数学考试中，考生的成果、在某次数学考试中，考生的成果 服从一个正服从一个正态分布，即态分布，即 N(90,100).1试求考试成果试求考试成果 位于区间位于区间(70,110)上的概率上的概
12、率是多少？是多少？2假设这次考试共有假设这次考试共有2000名考生，试估计考试成名考生，试估计考试成果在果在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：练习：1、知一次考试共有、知一次考试共有60名同窗参与，考生的成名同窗参与，考生的成果果X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分数人的分数在以下哪个区间内？在以下哪个区间内？ (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115C2、知、知XN (0,1)，那么，那么X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于等于 A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0
13、2283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),那么那么 = , = .4、假设、假设XN(5,1),求求P(6X7).D0.50.9544引入引入 正正态分布在分布在统计学中是很重要的分布。我学中是很重要的分布。我们知知道，离散型随机道，离散型随机变量最多取可列个不同量最多取可列个不同值，它等于，它等于某一特定某一特定实数的概率能数的概率能够大于大于0，人，人们感感兴趣的是趣的是它取某些特定它取某些特定值的概率，即感的概率，即感兴趣的是其分布列；趣的是其分布列；延延续型随机型随机变量能量能够取某个区取某个区间上的任何上的任何值，它等，它等于任何一个于任何一个实数的概率都数的概率都为0，所以通常感，所以通常感兴趣的趣的是它落在某个区是它落在某个区间的概率。离散型随机的概率。离散型随机变量的概率量的概率分布分布规律用分布列描画，而延律用分布列描画，而延续型随机型随机变量的概率量的概率分布分布规律用密度函数曲律用密度函数曲线描画。描画。
