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1、第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数2009年12月30日1南京航空航天大学 理学院 数学系无穷级数的例子无穷级数的例子2009年12月30日2南京航空航天大学 理学院 数学系例例1小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下, 每次跳起的高度每次跳起的高度减减少一半少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理说明道理.由自由落体运动方程由自由落体运动方程知知则小球运动的时间为则小球运动的时间
2、为( s )设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 2009年12月30日3南京航空航天大学 理学院 数学系2009年12月30日4南京航空航天大学 理学院 数学系第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数常数项级数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数2009年12月30日5南京航空航天大学 理学院 数学系第第1 1节节 常数常数项级数项级数1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 1.2 正项级数的审敛准则正项级数的审敛准则1.3 1.3 变号级数的审敛准则变
3、号级数的审敛准则2009年12月30日6南京航空航天大学 理学院 数学系1.1 1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理常数项级数的概念、性质与收敛原理1. 1. 级数的定义级数的定义: :(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列级数的部分和级数的部分和或或（1）2009年12月30日7南京航空航天大学 理学院 数学系2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :余项余项定义定义1.12009年12月30日8南京航空航天大学 理学院 数学系例例1解解2009年12月30日9南京航空航天大学 理学院 数学系例例2解解2009年12月30日10南京航空航天大学 理学院
4、数学系EX.2009年12月30日11南京航空航天大学 理学院 数学系EX.解解2009年12月30日12南京航空航天大学 理学院 数学系2解解2009年12月30日13南京航空航天大学 理学院 数学系2009年12月30日14南京航空航天大学 理学院 数学系说明说明: (1): (1)级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .(2) (2) 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 3 级数的简单性质级数的简单性质(3) (3) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , , 则则必发散必发散 .2
5、009年12月30日15南京航空航天大学 理学院 数学系性质性质1.2任意删去、添加或改变级数的有限项，任意删去、添加或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性不改变级数的敛散性.k可取足够大使其不包含删除的那些项！可取足够大使其不包含删除的那些项！2009年12月30日17南京航空航天大学 理学院 数学系（无穷级数和的结合律无穷级数和的结合律）证明证明2009年12月30日18南京航空航天大学 理学院 数学系注2009年12月30日19南京航空航天大学 理学院 数学系4 4 收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件证明证明2009年12月30日20南京航空航天大学 理学院 数学系1.1.逆命题不成立
6、（必要条件不充分）逆命题不成立（必要条件不充分）. .2.2.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 发散发散 发散发散注2009年12月30日21南京航空航天大学 理学院 数学系 定理定理2.92.9 柯西极限存在准则柯西极限存在准则( (柯西审敛原理柯西审敛原理) )复习复习2009年12月30日22南京航空航天大学 理学院 数学系的的充要条件是充要条件是: :定理定理1.11.1有有证证设所给设所给级数部分和数列为级数部分和数列为因为因为所以所以, , 利用数列利用数列 的的柯西审敛原理柯西审敛原理即得本定理的结论即得本定理的结论 . .5 5
7、级数的柯西收敛原理级数的柯西收敛原理2009年12月30日23南京航空航天大学 理学院 数学系例例5 5 解解 有有利用柯西审敛原理判别级数利用柯西审敛原理判别级数 2009年12月30日24南京航空航天大学 理学院 数学系当当 nN 时时,都有都有由由柯西审敛原理可知柯西审敛原理可知, , 级数级数 2009年12月30日25南京航空航天大学 理学院 数学系例例6 6证法证法1 1 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 则则但但矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 .证法证法2 2 应用应用Cauchy收敛原理收敛原理可以取：可以取：2009年12月30日26南京航空航天大学 理学院 数学系小结小结常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法.Cauchy收敛原理收敛原理.2009年12月30日30南京航空航天大学 理学院 数学系
