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1、优化案例四 高速公路问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望A城和城和B城之间准备建一条高速公路，城之间准备建一条高速公路，B城位于城位于A城正南城正南20公里和正东公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，下图给出了整起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，下图给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。地形带
2、。你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？1.当道路转弯是，角度至少为当道路转弯是，角度至少为1400。2.道路必须通过一个已知地点（如道路必须通过一个已知地点（如P）。）。问题分
3、析问题分析 在在建建设设高高速速公公路路时时，总总是是希希望望建建造造费费用用最最小小。如如果果要要建建造造的的起起点点、终终点点在在同同一一地地貌貌中中，那那么么最最佳佳路路线线则则是是两两点点间间连连接接的的线线段段，这这样样费费用用则则最最省省。因因此此本本问问题题是是一一个个典典型型的的最最优优化化问问题题，以以建建造造费费用用最最小小为为目目标标，需需要要做做出出的的决决策策则则是是确确定定在在各个地貌交界处的汇合点。各个地貌交界处的汇合点。变量说明变量说明 xi：在在第第i个个汇汇合合点点上上的的横横坐坐标标（以以左左下下角角为为直直角角坐坐标标原原点点），i1，2，。，4；x53
4、0（指目的地指目的地B点的横坐标）点的横坐标）li：第第i段段南南北北方方向向的的长长度度（i1，2，。，5）Si：在在第第i段段上上地地所所建建公公路路的的长长度度（i1，2，。，。，5）。）。由问题分析可知，由问题分析可知，C1：平原每公里的造价（单位：万元平原每公里的造价（单位：万元/公里）公里）C2：高地每公里的造价（单位：万元高地每公里的造价（单位：万元/公里）公里）C3：高山每公里的造价（单位：万元高山每公里的造价（单位：万元/公里公里） 模型假设模型假设1、假设在相同地貌中修改高速公路，建、假设在相同地貌中修改高速公路，建造费用与公路长度成正比；造费用与公路长度成正比；2、假设在
5、相同地貌中修改高速为直线。、假设在相同地貌中修改高速为直线。在理论上，可以使得建造费用最少，当在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。然实际中一般达不到。模型建立模型建立 在在A城城与与B城城之之间间建建造造一一条条高高速速公公路路的的问问题题可可以以转转化化为为下下面面的的非非线线性性规规划划模模型型。优优化化目目标标是是在在A城城与与B城城之之间间建建造造高高速速公公路路的费用。的费用。模型求解模型求解 这里采用这里采用Matlab编程求解。编程求解。模型求解时，分别取模型求解时，分别取Ci如下。如下。平原每公里的造价平原每公里的造价C1400万元万元/公里；公里；高地每公里
6、的造价高地每公里的造价C2800万元万元/公里；公里；高山每公里的造价高山每公里的造价C31200万元万元/公里。公里。（注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或（注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）者题目给定有数据） 模型结果及分析模型结果及分析 通过求解可知，为了使得建造费用最小。通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。建造地点的选择宜采取下列结果。 建造总费用为建造总费用为2.2584亿元。亿元。总长度为总长度为38.9350公里。公里。 求解模型的主程序文件求解模型的主程序文件model_p97 functionx=model_p97%数
7、学建模教材数学建模教材P97高速公路高速公路clearallglobalCLC=4008001200;L=44444;x=fmincon(objfun_97,1,1,1,1,zeros(1,4),ones(1,4)*30,mycon_p97);optans=objfun_97(x)C=ones(3,1);len=objfun_97(x) 模型中描述目标函数的模型中描述目标函数的Matlab程序程序objfun_97.m functionobj=objfun_97(x)globalCLobj=C(1)*sqrt(L(1)2+x(1)2)+C(2)*sqrt(L(2)2+(x(2)-x(1)2)+
8、.C(3)*sqrt(L(3)2+(x(3)-x(2)2)+C(2)*sqrt(L(4)2+(x(4)-x(3)2)+.C(1)*sqrt(L(5)2+(30-x(4)2); 描述约束条件的描述约束条件的Matlab函数函数mycon_p97.m functionc,ceq=mycon_p97(x)%c(1)=x(1)-x(2);c(2)=x(2)-x(3);c(3)=x(3)-x(4);c(4)=x(4)-30;ceq=;主程序运行结果主程序运行结果model_p97optans = 2.2584e+004len = 38.9350ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269
