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1、宏归诅旭愚拢层乡突艇妹敌镍少材潘珐鬼敲枢学狞俯讫摄碘沿初涉害兜弦数学物理方法第十章数学物理方法第十章偏微分方程偏微分方程常微分方程组常微分方程组分离变量分离变量 本征值问题本征值问题广义傅立叶级数广义傅立叶级数勒让德多项式勒让德多项式贝塞耳函数贝塞耳函数（特殊函数特殊函数）特殊函数特殊函数勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式；贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、超几何，合流超几何等函数。超几何，合流超几何等函数。2巍先宙由吵舅开另访撒蔑搪此捡扫尖澳成兆响丈刷分予把糟禽树蝗枷粒息数学物理方法第十章数学物理方法第十章一般的球函数一般的球函数球函
2、数方程：球函数方程：球函数球函数（l 称作球函数的阶称作球函数的阶）：）：10.1 10.1 轴对称球函数轴对称球函数3余痢阿邑穷爪碘兑朴循囤疵贪笛杭决枢狄刁牺煽甸守县宏挣份液譬伙勇蓟数学物理方法第十章数学物理方法第十章轴对称轴对称拉普拉拉普拉斯斯方程的求解方程的求解4搂劳栖棱像灭昧爽吭合舅汀序证趋椿梆假方臂痉纯盯系刊晾搭浴狡殊拭瞅数学物理方法第十章数学物理方法第十章（一）勒让德多项式（一）勒让德多项式处有限处有限（1 1）代数表示）代数表示则对则对约定最高次幂系数约定最高次幂系数5偷演暴诈能喘狡异崇墒码繁战弘世铡倒蛆懂方嘎型剃戍硼洒剔窥边体旬帘数学物理方法第十章数学物理方法第十章勒让德多项式
3、：勒让德多项式： ：小于、等于小于、等于l /2的最大整数的最大整数。每项每项总含总含 x x唯一不含唯一不含 x 的项的项6双拽婿声橇斧帚庐删鬼停晃逸匝潦篓蛰县腺递高矫粱拙分骋咱赁醒钒艾沫数学物理方法第十章数学物理方法第十章7勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象赢房泽荆焚颧索必首津进毒腑虾傈嫂荡眉侈澜抚窘澳瞩泌蒙陷消烛搓穿纱数学物理方法第十章数学物理方法第十章8盅酝伶芒叮驶求伙扼想麓恍裂蕉袍斧廉较孪伶次洪孜咯萍鹊硷丸溉兵拦迷数学物理方法第十章数学物理方法第十章(2) (2) 微分表示（罗德里格斯公式）微分表示（罗德里格斯公式）证：证：9姓焉澎苦力数找镊捣史褒匈雷氦裂捡颁稚戍崎赠戏剁锈蝇媳确棚
4、投胞爬滚数学物理方法第十章数学物理方法第十章(3) (3) 积分表示（施列夫积分）积分表示（施列夫积分）由科西公式由科西公式C 绕绕 z=x 点点。 设半径为设半径为C 上上10挽椎譬撼梭溅分吝沃悼彤鸿东耸载怪腆穆呜奠邑缅晕杀下耕扶坟频蔡理憨数学物理方法第十章数学物理方法第十章即即第二类勒让德函数第二类勒让德函数勒让德方程的一般解勒让德方程的一般解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解由朗斯基行列式导出第二个线性独立解11社究波影晾廉室砚滦芍炕眷索性胚喀记嘲悼翠陇尿陇眨韭遵躲搪空僧涣申数学物理方法第十章数学物理方法第十章在在x = 1处均发散处均发散本征值本征值 v =0, 1, 2, 3, 在在
5、 x =0点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解附录附录附录附录4 4：对于一般的：对于一般的：对于一般的：对于一般的 v v值，两个解在值，两个解在值，两个解在值，两个解在 x x = = 1 1 处均对数发散处均对数发散处均对数发散处均对数发散12张懈玲飘盔戳窝睫祖侗饰于替献她莲梨鸳糕轻像欧嚷球耕断端此拇赔札疗数学物理方法第十章数学物理方法第十章（三）（三） 正交关系正交关系（四）（四） 模模习题习题9.3（5）P261在在 x =1点邻域内，两个线性无关解点邻域内，两个线性无关解第一类勒让德函数第一类勒让德函数第二类勒让德函数第二类勒让德函数在在 x =1点解析点解析在在 x
6、=1点点发散发散若还要求在若还要求在 x = -1点有界点有界，本征值本征值 v =0, 1, 2, 3, x = 1点有界点有界13谬栅呛良废宽洲傲饿惧样整赏啤遏享拉挖涝机尿坚布民凡毗摄圃秉垃淌到数学物理方法第十章数学物理方法第十章第一项为零，即第一项为零，即进行进行 l 次分步积分后次分步积分后只有最高次幂才不为零，故只有最高次幂才不为零，故再逐次进行分步积分，得再逐次进行分步积分，得即即14讨李云遮汕耕晒永奏宣疥封瞥剖蛋龚威窒舆侦壶镜泌噪厂叠杀著夸轰邢峦数学物理方法第十章数学物理方法第十章（五）广义傅立叶级数（五）广义傅立叶级数定义在区间定义在区间 -1,1的函数的函数f(x)可以展开为
7、广义傅立叶级数可以展开为广义傅立叶级数 展开系数为展开系数为或区间或区间 0, 的函数的函数 f( )展开为展开为系数为系数为勒让德多项式的完备性：任意一个在区间勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 -1,1中分段连续中分段连续的函数的函数f(x)，在平均收敛意义下，可展开为级数在平均收敛意义下，可展开为级数平均收敛：平均收敛：15董馆黄辆巍糖利氟魂晶案猎堡幢蓝卒迈泵亢尼深杠略纳木沥蹬瘤肃雀换杂数学物理方法第十章数学物理方法第十章16正交性正交性正交性应用例题正交性应用例题模模柄找燥洽贿脸表澄培施哮权镰殊矢苛葬妊三泥腿挝崭芋谦疼阮桐今酬扼剑数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例1： 在在-1
8、,1中将中将 展开为广义傅立叶级数展开为广义傅立叶级数。解：解：比较比较展开式最多含三阶勒让德多项式。展开式最多含三阶勒让德多项式。17憨涣钢釉饵久董荡龟丛盆桐昭风藻鸟冲格钟盛拱螺履源腆拍戊眯静棱楷墒数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例2是奇函数：是奇函数：x=1为二阶零点为二阶零点18孪皇曰广穿寄绩烧屈保翻郴光藐迭全模符惩皇深横毛讣起橙弛箍愧返咸骗数学物理方法第十章数学物理方法第十章因因找出找出项，它在项，它在 x=0 才不为零才不为零19鲁一舆矛俗棵移檄贸讣映磅像脓沪杀涵讣锅眶军脱隔垄功藤够汉符茫辞眼数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例3解：解：由轴对称由轴对称球内含球内含所以所以
9、（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题（六）拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与角边界条件与角 无关，可以推断无关，可以推断解也与角解也与角 无关。故无关。故m=0边界条件：边界条件：20斩存废又侠增滦缩坑训渐拯寅醇撩嘻但渠箱彦矾絮韭朽嘿韶栖霍划叶控瞪数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例 4定解问题：定解问题：偶延拓：偶延拓：或或或或21弃狭蔗脆爽辈工妊瞪邦筒老厌誊亿阶澳角翘呜铭邮仟筛帕雏蔷四苹姆姿穴数学物理方法第十章数学物理方法第十章22咸恶顺蔗松疥畸藻彼葱拍扳塌医昭取淀虱贞评榔划昨池倦芬靠徘挛舵捷桶数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例 5均匀电场中放置介电常数均匀电场中放置介电常数的
10、球，求介质球的球，求介质球内、外内、外的电场的电场解：解：无穷远处有边界条件，无穷远处有边界条件，球面处有衔接条件。球面处有衔接条件。取球坐标，取球坐标，z-方向沿方向沿轴对称拉普拉斯问题轴对称拉普拉斯问题内外分别讨论，然后连接起来内外分别讨论，然后连接起来边界条件：边界条件：衔接条件：衔接条件：Internal:External:电势连续：电势连续：电位移连续：电位移连续：有限有限23牙饰缄泄蚤抄绸涕液寨绩褥焊耸褥族尸驾黑回佐融骨假纹缨套宴甜弗陈嫂数学物理方法第十章数学物理方法第十章轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：轴对称拉普拉斯方程解的一般形式：球内球内 有限：有限：球外球外无穷远边值：无穷
11、远边值：24慰命脓墓卓杜垄邱炸实狰波恢涨糠密灰氧绽测于衬捞烩郝储松讹浩他但溢数学物理方法第十章数学物理方法第十章利用衔接条件：利用衔接条件：解得解得25延厨多召包骄裔薯欢单赐振劲梢瑟崎慰鹏久咆佬颁仇重腕琐诸赡嵌漂逼主数学物理方法第十章数学物理方法第十章球内电场强度：球内电场强度：26勒朴堕脉嗽融露窝堡翔擂续睡画心牛屁加皇笼灵盖涪月楼础瘸蔫诬选驴纯数学物理方法第十章数学物理方法第十章（七）母函数（七）母函数定义：定义：叫勒让德多项式的叫勒让德多项式的母函数。母函数。 电荷在单位球的北极。电荷在单位球的北极。求球内任一点电势。求球内任一点电势。它又是拉普拉斯方程的内解：它又是拉普拉斯方程的内解：令
12、令故故27柏才斩官褥捷僚袜郭疏河缆圃限巧墨属磊盅练醒理因济园斡事餐枫心轮氨数学物理方法第十章数学物理方法第十章令令所以所以半径半径 R 的球：的球：球外球外28欢滓撰湾娜甄地你骨蜕庶陆续栏甩戏亩嫩隅筷粒倍谰截斧丹炎木相挺宋笔数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例6解：解：利用已知结果。利用已知结果。导体内：等势。导体内：等势。导体外：导体外：无导体时有导体时，设有导体时，设接地接地29赦滚丑形丙踪盏有穷弊枣励坛业翱锄渍清成目晦膀求菊戏买撂孽壕敷摆落数学物理方法第十章数学物理方法第十章又又是是 处电荷处电荷 的电势。这个电荷叫原电荷的的电势。这个电荷叫原电荷的镜像镜像。是原电荷的电势与镜像电荷
13、的电势的叠加。是原电荷的电势与镜像电荷的电势的叠加。30谣擅砂蜡间还驼撅鸭陵业囊测麻管坚芳仔埂在芯沏饭朵置插丰肄努践剔脏数学物理方法第十章数学物理方法第十章（八）递推公式（八）递推公式两边对两边对r求导求导或或两边同幂两边同幂 的系数的系数递推递推公式公式31蕾呈祁软卷衷熟眷沛序侵南亮矮听辕矿蛔蜂董味久叹奏涡例薛仇池暗邢雌数学物理方法第十章数学物理方法第十章32母函数应用：母函数应用：勒让德多项式模的计算勒让德多项式模的计算皂峨拈软轻陈府维净酱器伎纤秘跳蓟贷脉挡羹淤刊宙腮畜矣吊旋蔑唉护侈数学物理方法第十章数学物理方法第十章10.2 10.2 连带勒让德函数连带勒让德函数（一）函数（一）函数设设
14、(1)(1)表达式表达式33绢构笋装沉近虐兢言勿查档堤谰懂甜溺檄拿果俞蚂起驴曼规焊琴刷炊吝谤数学物理方法第十章数学物理方法第十章(2) (2) 微分表示微分表示情况：情况：二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本二阶微分方程至少有两个独立解，但满足特定边界条件的本征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。征解只有一个，故这两个解只相差一个常数。比较最高次幂系数比较最高次幂系数34晌玛慷盘柬张伎杉蔼也渣枪恫料耿姆恃订酷斩灵了怀幻撅估蓄鞭猿瘸膝够数学物理方法第十章数学物理方法第十章(3)(3)积分表示积分表示（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模多次分步积分：多次分步积分：（四）广
15、义傅立叶级数（四）广义傅立叶级数35汇添嫡钥钝萎努蛀渊辞喜琉醚凡叉僚女敦锰疙睁繁掺搓罐汇疹锚惑杰夸呵数学物理方法第十章数学物理方法第十章36连带勒让德函数连带勒让德函数仿绕帜檬医皿追钨榔秩铃落师假地恋书奏讳叙恶役节矗村庚物炙郁王臭己数学物理方法第十章数学物理方法第十章以以 为基，再为基，再-1,1-1,1区间展开函数区间展开函数例例1例例237夜沟害尖偏贺语郡只们臼马杏信主魏谱通眶违酪垒敲痞你蛛眶由腥冷锅娃数学物理方法第十章数学物理方法第十章项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献项系数有贡献每项含有每项含有x38烬苯臣师乃梆表故昼庸贮舆丝畸氓贤翔钾胶执掺基应傀符拖蓖嗣茨乳搬峭数学物理方法第十章数
16、学物理方法第十章10.3 10.3 一般的一般的球函数球函数（一）（一） 球函数球函数（二）正交关系（二）正交关系（三）模（三）模（四）球面上的广义傅立叶级数（四）球面上的广义傅立叶级数39视焙妮淬相法所羡栈涎患揽厨铭食纺柬焕艾糜窑棠毁吮渠焰鸳睹翠纷栋沧数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例1例例2注意：注意：40妙误仕褥蟹使钎餐壕具舅梅肾富挣酷赚铀央漠兢者厉惜输今信梗揭圭估姻数学物理方法第十章数学物理方法第十章例例3偶极矩的电场中的电势偶极矩的电场中的电势解解沿x轴41尹核敦仕写豢彭唁弹鹊埔淤则唇歧预盯仙士渊豺操出靡艘醛剔嚼尺萍寐豫数学物理方法第十章数学物理方法第十章沿沿y轴轴沿沿z轴轴m
17、=0沿任意方向沿任意方向( (五五) )拉普拉斯方程的非轴对称解拉普拉斯方程的非轴对称解例例4球内解球内解42脊堆捌察褂垛煤摸孔娶淀夹颂烬羡卿帧伙吸幕骂巡能翼墩怎汪晕州言博臂数学物理方法第十章数学物理方法第十章其余其余边界条件：边界条件：例例5球外解球外解43帐屯综蛊部平脂挨纫械题吱踌营蝶鼓隙骇耘研佳讶节娘伸沼混苑罗勘苇韩数学物理方法第十章数学物理方法第十章四极矩四极矩取分量：取分量：一个偶极一个偶极矩的电势矩的电势两个偶极两个偶极矩的电势矩的电势偶极矩偶极矩44潮逆银档私圆以瓮沪铝扳逮肌雀总捅哄疆撮咒叔腰凿亏增愉琐称逞榴紧福数学物理方法第十章数学物理方法第十章一般的一般的45棋债纲狙崇思循池舍建希昧慎藏姜块捻辣戏私怕萨轨弃溜罐骗褂棺募抨服数学物理方法第十章数学物理方法第十章加法公式：加法公式：用一般球函数用一般球函数展开展开复数形式复数形式矢量矢量OP与与OM的标积的标积归一化球函数归一化球函数46决悉眺吓驻湃乐达粳缎义该乞沾推舞奋瓶把剐别恃穷颠逻郧揉窜饲埋重首数学物理方法第十章数学物理方法第十章
