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1、1 1.2 2充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.2.会判断p是否为q的充分条件、必要条件、充要条件.121.一般地,“若p,则q”为真命题,即由pq,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.【做一做1-1】“|x|=|y|”是“x=y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若x=1,y=-1,则|x|=|y|,但xy;而x=y|x|=|y|.答案:B12【做一做1-2】若pq,则 q p.(填“”或“”)解析:“若p,则q”和“若 q,则 p”互为逆否命题,具有等价性.pq就是“若p,则q”为真命题,
2、故 q p.答案:122.若pq,且qp,则pq,就说p是q的充分必要条件,简称充要条件.如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.名师点拨名师点拨 p与q互为充要条件可以理解为“p成立当且仅当q成立”或者“p等价于q”.【做一做2-1】已知a,b是实数,则“a0,且b0”是“a+b0,且ab0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:“a0,且b0”可以推出“a+b0,且ab0”,反之也是成立的.答案:C12A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A1.从逻辑关系
3、和集合关系上看充分条件、必要条件和充要条件的意义剖析(1)从逻辑关系上看:例如,“若x0,则x20”,即由x0可推出x20,记作x0x20,我们说“x0”是“x20”的充分条件,即只要“x0”成立,就一定有“x20”成立.p是q的充分条件,“充分”的意思是要使q成立,条件p成立就足够了,即有p成立,可充分保证q成立.由x0x20,而说“x20”是“x0”的必要条件,即如果要“x0”成立,就必须“x20”成立.如果缺少“x20”就不会有x0,换句话说,如果“x20”不成立,即“x2=0”成立,就不会有“x0”成立.qp的逆否命题是 p q,即“若p不成立,则q就不成立”,换句话说,缺少了p,q是
4、不会成立的.这就更能从字面的意思上理解必要条件.(2)从集合与集合之间的关系上看:若命题p,q分别以集合A、集合B的形式出现,则p,q之间的关系可借助集合知识来判断(如图).若AB,则p是q的充分条件,因为若有xA,可得xB,如图;若AB,则p是q的必要条件,因为要使xB,则xA是必不可少的,如图;若A=B,则p是q的充要条件,如图;若A不属于B,且B不属于A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件,如图.例如,A=中学生,B=学生,AB,即某人是中学生,必是学生,所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分条件.“某人是学生”那么他不一定是中学生;而“某人不是学生”,那么他一定不是中学生,
5、所以“某人是学生”是“某人是中学生”的必要条件.2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法和应注意的问题剖析(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要采用以下思路:确定条件p是什么,结论q是什么;尝试从条件推结论,若pq,则充分性成立,p是q的充分条件;考虑从结论推条件,若qp,则q是p的充分条件,即p是q的必要条件,必要性成立;要证明命题的条件是充要的,既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题成立即证明条件是结论成立的充分条件,证明逆命题成立即证明条件是结论成立的必要条件.(2)对于充要条
6、件,要熟悉它的同义词语.在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和运用数学知识是十分重要的.题型一题型二题型三题型四【例1】判断下列各题中p是q的什么条件.(1)p:x1,q:x21;(2)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思反思 1.判断p是q的什么条件,主要是判断pq及qp这两个命题是否成立,若pq,q p,则p是q的充分不必要条件;若p q,qp,则p是q的必要不充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件.2.关于充分不必要条件、必要不充分条件
7、、充要条件,当不容易判断pq及qp的真假时,也可以从集合的角度去判断,并结合集合中“小集合大集合”的关系来理解,这对于解决与逻辑有关的问题是大有益处的.题型一题型二题型三题型四A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:x2+x+m=0有实数解,答案:A题型一题型二题型三题型四【例2】设p:2x2-3x+10,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若 p是 q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思反思 涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包含、相
8、等关系上来考虑制约关系.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知P=x|a-4xa+4,Q=x|x2-4x+30.若“xP”是“xQ”的必要条件,求实数a的取值范围.解:Q=x|x2-4x+30=x|1x3.“xP”是“xQ”的必要条件,即xQxP,QP.故实数a的取值范围是-1,5.题型一题型二题型三题型四【例3】已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.证明(1)必要性:a+b=1,a+b-1=0.a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.题型一题型二题型三题型四(2)充分性:a3+b3+ab-a2-b2=0,(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab0,a0,且b0.a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.反思反思 有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件,由“条件”“结论”是证明命题的充分性,由“结论”“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性,要搞清它的叙述格式,避免在论证时将充分性错当必要性来证明,而又将必要性错当充分性来证明.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四
