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1、 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体刚体平动平动 质点运动质点运动 平动：若刚体中所有点平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始连线总是平行于它们的初始位置间的连线位置间的连线 .2.1 2.1 2.1 2.1 刚体及刚体的运动刚体及刚体的运动刚体及刚体的运动刚体及刚体的运动 2.1.
2、1 刚体刚体 (与质点同为理想模型与质点同为理想模型) 2.1.2 刚体的运动刚体的运动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转转动动 又分定轴转动和非定轴转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的刚体的平面运动平面运动 . 刚体的刚体的一般一般运动运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+参考平面参考平面角位移角位移角位移角位移: : 角坐标角坐标角坐标角坐标: :q约定约定约定约定: :沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 角速度矢量角速度矢量角速度矢量角速度矢量: : 方向方向: 右手右手螺旋方向螺
3、旋方向参考轴参考轴2.1.3 刚体转动的描述刚体转动的描述角加速度角加速度角加速度角加速度: :定轴转动的特点定轴转动的特点定轴转动的特点定轴转动的特点 刚体刚体定轴定轴转动（一维转转动（一维转动）的转动方向可以用角速动）的转动方向可以用角速度的正负来表示度的正负来表示 .1） 每一质点均作圆周运动，圆面为每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .2.32.3、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律 2.3.1 力力 矩矩 P*O 刚体绕刚体
4、绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用作用在刚体上点在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径矢的径矢 . : 力臂力臂 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 O讨论讨论 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩:3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O例例1：如图，质量为：如图
5、，质量为m，长为长为L的匀质细杆，在水平面内可的匀质细杆，在水平面内可以绕固定点以绕固定点O逆时针转动。细杆与水平面之间的滑动摩擦逆时针转动。细杆与水平面之间的滑动摩擦系数为系数为 。求：摩擦力对于。求：摩擦力对于O点的力矩。点的力矩。OL解：取一微分元解：取一微分元dl，则，则dm=dl， = m/L方向如图方向如图dm对对O点的力矩为点的力矩为:OdldfzxylO2.3.2 转动定律转动定律2）刚体刚体:质量元外力质量元外力 ，内力，内力 1）单个质点单个质点m与转轴刚性连接与转轴刚性连接外外力矩力矩内内力矩力矩O 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩
6、合外力矩成正比成正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 . 转动定律：转动定律：定义转动惯量定义转动惯量:O2.3.3 转动惯量转动惯量 物理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量：质量元：质量元：质量元：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度2 对质量体分布的刚体：对质量体
7、分布的刚体：质量体密度：质量体密度OO 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 例例2 一一质量为质量为m、长为长为 l 的的均匀细长棒，求：通过棒中心均匀细长棒，求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量并与棒垂直的轴的转动惯量 .OO如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒 例例3 一质量为一质量为m、半、半径为径为R的均匀圆盘，求的均匀圆盘，求: 通通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直并与盘面垂直的轴的转动惯量的轴的转动惯量 .ORO 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环而而
8、圆环质量圆环质量所以所以圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量平行轴定理：平行轴定理：P转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形状及转轴形状及转轴的位置的位置 . 质量为质量为m 的刚体的刚体，如果对其质如果对其质心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为JC，则对任一与该则对任一与该轴平行轴平行，相距为相距为d 的转轴的转动的转轴的转动惯量惯量CO注意注意例如：圆盘对例如：圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量O垂直轴定理：垂直轴定理：竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？ 飞轮飞轮的质量为什么的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 例例4 质量为质量为mA的物体的
9、物体 A 静止在光滑水平面上，和一质静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为质量为mB 的圆的圆柱形滑轮柱形滑轮 C，并系在另一质量为并系在另一质量为mC的物体的物体 B 上上. 滑轮与绳索滑轮与绳索间没有滑动，间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（力各为多少？（2） 物体物体 B 从静止落下距离从静止落下距离 y 时，其速率是时，其速率是多少？（多少？（3）
10、若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为的摩擦力矩为 再求线加速度及绳的张力再求线加速度及绳的张力. ABCABCO 解解 （1）隔离物体分别）隔离物体分别对物体对物体A、B 及滑轮作受力及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律顿第二定律 、转动定律列、转动定律列方程方程 . O如令如令 ，可得，可得（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律结合（结合（1）中其它方程）中其它方
11、程ABC例例5：一根长为：一根长为l，质量为质量为m的匀质细杆，一端与光滑的水平的匀质细杆，一端与光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是m的的小球，且小球半径小球，且小球半径Rl。设杆由水平位置自由释放。设杆由水平位置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角加速度求：杆下摆至任意角度时的角速度和角加速度 mgmgO解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，即：即：小球的重力矩：小球的重力矩：由转动定律：由转动定律：所以有：所以有：即：即：即：即：解得：解得：例例6. 如图所示，
12、质量为如图所示，质量为m，半径为，半径为R的薄圆盘置于水平面上，的薄圆盘置于水平面上，二者之间的滑动摩擦系数为二者之间的滑动摩擦系数为 ，圆盘开始以，圆盘开始以 0绕过圆心且垂绕过圆心且垂直于盘面的轴转动，求：（直于盘面的轴转动，求：（1）圆盘转动的角加速度；）圆盘转动的角加速度；（2）圆盘经多长时间停止？（）圆盘经多长时间停止？（3）圆盘停止时转了多少圈）圆盘停止时转了多少圈？ 例例6 一长为一长为l 质量为质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此竖直放置的细由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动 .试计算细杆转动到试计算细杆转动到与竖直线成与竖直线成角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度 .式中式中得得代入代入初始条件积分初始条件积分 得得: 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得:
