《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理 北师大版（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.6空间向量及其运算基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念知识梳理名称概念表示零向量模为的向量0单位向量长度(模)为的向量相等向量方向且模 的向量ab相反向量方向且模 的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量ab共面向量平行于同一个的向量01相等相同相反相等平行或重合平面2.空间向量中的有关定理空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，
2、那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底.e12e23e33.空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作，其范围是，若a，b，则称a与b，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫作向量a，b的数量积，记作 ，即ab.a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律(a)b(R)；交换律：ab；分配律：a(bc) .4.空间向量的坐标表示及其应用空
3、间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).(ab)baabac向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)垂直ab0(a0，b0)模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1，a2b2，a3b3a1b1a2b2a3b30知识拓展知识拓展几何画板展示几何画板展示几何画板展示几何画板展示判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()思考辨析
4、思考辨析1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为考点自测答案解析则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.2.(2016大连模拟)向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是A.ab，acB.ab，acC.ac，abD.以上都不对答案解析因为c(4，6,2)2(2，3,1)2a，所以ac.又ab(2)2(3)0140，所以ab.故选C.3.与向量(3，4,5)共线的单位向量是_.答案解析因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3，4,5)的模为，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4，5)(3，4,5).
5、答案解析5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.答案解析1222122(12cos120021cos120)2，题题型分型分类类深度剖析深度剖析题型一空间向量的线性运算题型一空间向量的线性运算例例1(1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.答案解析解答思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.(20
6、16青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：解答因为P是C1D1的中点，解答题型二共线定理、共面定理的应用题型二共线定理、共面定理的应用例例2(2016天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明连接BG，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面.(2)求证：BD平面EFGH；证明所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.证明思维升华(1)证明空
7、间三点P，A，B共线的方法(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法跟跟踪踪训训练练2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.(1)判断三个向量是否共面；解答(2)判断点M是否在平面ABC内.解答M，A，B，C四点共面.从而点M在平面ABC内.题型三空间向量数量积的应用题型三空间向量数量积的应用例例3(2016济南模拟)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；解答(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；解答(3)求证：AA1BD.证明思维升华(1)利用向量的数量积可
8、证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求的长；解答则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，解答b2a2acbc1，典典例例如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点.坐标法在立体几何中的应用思想与方法系列思想与方法系列18规范解
9、答思想方法指导课时课时作作业业1.在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.31234567891011121314答案解析12345678910111213142.(2016郑州模拟)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于A.9B.9C.3D.3答案解析由题意知cxayb，即(7,6
10、，)x(2,1，3)y(1,2,3)，12345678910111213143.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为答案解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.12345678910111213144.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是答案解析12345678910111213145.已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于A.30B.45 C.60D.90答案解析所以异面直线a，b所成的角等于60，故选C.1
11、234567891011121314答案解析1234567891011121314答案解析所以CBD为锐角.同理BCD，BDC均为锐角.锐角解析12345678910111213148.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若，则x，y，z的值分别为_.答案12345678910111213149.(2016合肥模拟)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.答案解析(3，2,2)解得x2，y4，此时a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2).其中正确的序号是_
12、.10.(2016天津模拟)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，答案解析12345678910111213141234567891011121314*11.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正确说法的个数为_.答案解析312.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：解答1234567891011121314解答1234567891011121314解答(3)EG
13、的长；12345678910111213141234567891011121314解答(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.*13.(2016沈 阳 模 拟 )如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABCABC中 ，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点.(1)求证：CEAD；证明12345678910111213141234567891011121314(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.解答解答1234567891011121314证明(2)求证：MN平面ABB1A1.AB1平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.1234567891011121314
