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1、第三章第三章线性方程组线性方程组11 1 消元法消元法2 n2 n维向量空向量空间3 3 线性相关性性相关性4 4 矩矩阵的秩的秩5 5 线性方程性方程组有解判有解判别定理定理6 6 线性方程性方程组解的解的结构构第一第一节 消元法消元法21一般线性方程组是指形式为一般线性方程组是指形式为(1)是方程的个数是方程的个数;的方程组，其中的方程组，其中代表代表个未知量的系数，个未知量的系数，称为方程组的称为方程组的系数系数；称为称为常数项常数项 。 一、一般一、一般线性方程性方程组的基本概念的基本概念32方程组的解方程组的解设设是是个数，如果个数，如果分别用分别用代入后，代入后，(1)中每一个式子
2、都变成恒等式中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组则称有序数组是（是（1）的一个）的一个解解.(1)的解的全体所成集合称为它的的解的全体所成集合称为它的解集合解集合解集合是空集时就称方程组（解集合是空集时就称方程组（1）无解无解4(1)3同解方程组同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是是同解的同解的5(1)线性方程性方程组解的个数有哪几种情况？解的个数有哪几种情况？无解，无解，唯一解，唯一解，有两个解？有两个解？设6是方程是方程组的两个解的两个解，则7两两组等式两等式两边分分别乘以乘以1/2后，相加得后，相加得也是方程也是方程组的解。的
3、解。8也是方程也是方程组的解。的解。第一第一组等式两等式两边乘以乘以1/3，第二，第二组等式两等式两边乘以乘以2/3，相加得，相加得9也是方程也是方程组的解。的解。若若是方程是方程组的两个解的两个解，则也都是方程也都是方程组的解。的解。若方程若方程组有两个有两个解，解，则一定有无一定有无穷多解。多解。显然然10(1)线性方程性方程组的解有哪几种情况？的解有哪几种情况？无解，无解， 唯一解，唯一解，无无穷多解多解例例1解方程组解方程组解解 方程组方程组(1)中第中第2个方程减去第个方程减去第1个方程的个方程的2倍，倍，第第3个方程减去第个方程减去第1个方程，得个方程，得再将方程组再将方程组(2)
4、中第中第2个方程减去第个方程减去第3个方程的个方程的4倍，得倍，得11将方程组将方程组(3)中第中第2，3方程交换，得方程交换，得得方程组有唯一解得方程组有唯一解12例例2 解方程组解方程组解解 方程组方程组(1)中第中第2个方程减去第个方程减去第1个方程的个方程的2倍，倍，第第3个方程减去第个方程减去第1个方程，得个方程，得再将方程组再将方程组(2)中第中第2个方程加上第个方程加上第3个方程，得个方程，得13取遍所有取遍所有实数数整理得整理得解得解得14该方程方程组有有无无穷多解。多解。例例3 解方程组解方程组解解 方程组方程组(1)中第中第2个方程减去第个方程减去第1个方程，个方程，第第3
5、个方程减去第个方程减去第1个方程的个方程的2倍，得倍，得再将方程组再将方程组(2)中第中第2个方程乘以个方程乘以1/2，得，得15此方程此方程组无解。无解。方程组方程组(3)中第中第3个方程减去第个方程减去第2个方程，得个方程，得16定义定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换线性方程组的初等变换是指下列三种变换用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；将一个方程的倍数加到另一个方程上；将一个方程的倍数加到另一个方程上；交换两个方程的位置交换两个方程的位置性质性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解组与原线性方程组同解2
6、线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换17例例1解方程组解方程组通通过初等初等变换，化，化为阶梯形方程梯形方程组中，方程个数中，方程个数为3，未知数的个数未知数的个数为3， 此此时，方程，方程组有唯一解。有唯一解。阶梯形方程梯形方程组18例例2 解方程组解方程组通通过初等初等变换，化化为阶梯形方程梯形方程组中，方程个数中，方程个数为2，未知数的个数未知数的个数为3， 此此时，方程，方程组有无有无穷多解。多解。19例例3 解方程组解方程组通通过初等初等变换，化化为阶梯形方程梯形方程组中，出中，出现0=3，此此时，方程，方程组无解。无解。20阶梯形方程梯形方程组中，方程个数中，方程个数为3，未知
7、数的个数未知数的个数为3，方程方程组有唯一解。有唯一解。21阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为2，未知数的个数未知数的个数为3，方程方程组有无有无穷多解。多解。阶梯形方程梯形方程组中，出中，出现0=3，方程方程组无解。无解。用初等用初等变换将方程将方程组化化为22例例4解解线性方程性方程组阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为3，未知数的个数未知数的个数为4，此此时，方程，方程组有无有无穷多解。多解。用初等用初等变换将方程将方程组化化为23例例5解解线性方程性方程组24阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为4，未知数的个数未知数的个数为4，方
8、程方程组有唯一解。有唯一解。25阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为3，未知数的个数未知数的个数为4，此此时，方程，方程组有无有无穷多解。多解。阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为4，未知数的个数未知数的个数为4，方程方程组有唯一解。有唯一解。若若阶梯形方程梯形方程组为方程方程组无解。无解。用初等用初等变换将方程将方程组化化为26例例6解解线性方程性方程组阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为3，未知数的个数未知数的个数为4，此此时，方程，方程组有无有无穷多解。多解。用初等用初等变换将方程将方程组化化为27例例7解解线性方程性方程组阶梯形方程
9、梯形方程组中，出中，出现0=-4，此此时，方程，方程组无解。无解。3 3利用初等利用初等变换解一般解一般线性方程性方程组（化（化阶梯方程梯方程组）先检查先检查(1)中中的系数，若的系数，若全为零，全为零，则则没有任何限制，即没有任何限制，即可取任意值，从而方程组可取任意值，从而方程组(1)可以看作是可以看作是的方程组来解的方程组来解28如果如果的系数不全为零，不妨设，的系数不全为零，不妨设，分别把第一个方程分别把第一个方程的倍加的倍加到第到第i个方程个方程(2)于是于是(1)就变成就变成其中其中2930(2)依次下去，依次下去，最后就得到一个最后就得到一个阶梯形方程组阶梯形方程组.这时去掉它们
10、不影响方程组的解这时去掉它们不影响方程组的解方程组中的方程组中的“”这样一些恒等式可能不出现这样一些恒等式可能不出现也可能出现，也可能出现，311阶梯形方程组阶梯形方程组时，方程组无解时，方程组无解时，方程组有解时，方程组有解321）若非零方程的个数等于未知数若非零方程的个数等于未知数方程方程组有唯一解。有唯一解。时，方程组有解时，方程组有解由由Cramer法法则知知此时方程组有无穷多个解。此时方程组有无穷多个解。 事实上，任意给事实上，任意给一组值，一组值，由方程组就唯一定出的由方程组就唯一定出的 一组值一组值332）若非零方程的个数小于未知数若非零方程的个数小于未知数这时方程方程组可化可化
11、为而而一般地，我们可以把一般地，我们可以把这样一组表达式称为方程组这样一组表达式称为方程组(1)的的一般解一般解，表示出来表示出来34通过通过称为一组称为一组自由未知量自由未知量35阶梯形方程梯形方程组中，中，非零方程个数非零方程个数为2，未知数的个数未知数的个数为3，方程方程组有无有无穷多解。多解。是自由未知量是自由未知量整理得整理得回代回代经过初等初等变换化化为阶梯形方梯形方程程组用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，若阶梯形方程组中出现若阶梯形方程组中出现“0=非零常数非零常数”否则有解。否则有解。方程个数方程个数=未知数个数未知数个数，有解的情况下
12、：有解的情况下：36在在阶梯形方程梯形方程组中中有有唯一解唯一解；有有无穷多无穷多解。解。3 3利用初等利用初等变换解一般解一般线性方程性方程组（化（化阶梯方程梯方程组）方程组方程组无解无解，阶梯形方程梯形方程组中，出中，出现0=-6，此方程此方程组无解。无解。37解解线性方程性方程组 2 2 练习38解解齐次次线性方程性方程组2 2 阶梯形方程梯形方程组中，非零方程个数中，非零方程个数为2，未知数的个数未知数的个数为4， 此此时，方程，方程组有无有无穷多解。多解。练习齐次次线性方程性方程组39一定有零解。一定有零解。齐次次线性方程性方程组解的情况：解的情况： 唯一零解，唯一零解，无无穷多解多
13、解齐次次线性方程性方程组一定有无一定有无穷多解多解三、齐次线性方程组的解三、齐次线性方程组的解定理定理1对齐次线性方程组对齐次线性方程组因为：因为：方程方程组化化为阶梯形后，梯形后，阶梯形方程梯形方程组中，中，故一定小于未知数的个数故一定小于未知数的个数n。40若方程的个数小于未知数的个数，若方程的个数小于未知数的个数，非零方程的个数不会超非零方程的个数不会超过原来方程的个数原来方程的个数s，即：如果即：如果，则它必有非零解。，则它必有非零解。则它必有无它必有无穷多解。多解。由由mn个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称称为m 行行 n 列矩列矩阵，简称称mn 矩矩阵记作作矩
14、阵矩阵定定义41简记为元素是元素是实数的矩数的矩阵称称为实矩矩阵，元素是复数的矩元素是复数的矩阵称称为复矩复矩阵. .这mn 个数称个数称为矩矩阵A的的元素元素，简称称为元元. .42例如：例如：是一个是一个实矩矩阵,是一个是一个复矩复矩阵n行数不一定等于列数行数不一定等于列数n共有共有mn个元素个元素n本本质上就是一个数表上就是一个数表n行数等于列数行数等于列数n共有共有n2个元素个元素矩矩阵行列式行列式43nn 矩矩阵也称也称为n 级方方阵。 一个一个n 级方方阵定定义一个一个n 级行列式行列式称称为矩矩阵A的行列式，的行列式，记作作|A|。44对线性方程组对线性方程组(1)称称为方程方程
15、组的的系数矩系数矩阵称称为方程方程组的的增广矩增广矩阵4546 2474 48 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；将一个方程的倍数加到另一个方程上；将一个方程的倍数加到另一个方程上；交换两个方程的位置交换两个方程的位置对应对应增广矩阵增广矩阵的行变换的行变换用一个非零的数乘矩阵的某一行；用一个非零的数乘矩阵的某一行；将矩阵的某一行的倍数加到另一行；将矩阵的某一行的倍数加到另一行；交换矩阵中两行的位置交换矩阵中两行的位置49所所谓矩矩阵的初等行的初等行变换是指下列三种是指下列三种变换 用一个非零的数乘矩用一个非零的数乘矩阵的某一行的某
16、一行； 将矩将矩阵的某一行的倍数加到另一行的某一行的倍数加到另一行； 交交换矩矩阵中两行的位置中两行的位置定定义25051阶梯形方程梯形方程组称称该种形式的矩种形式的矩阵为行行阶梯形梯形矩矩阵对应的增广矩的增广矩阵为定定义352行行阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下的下方全方全为零；零；2.每个台每个台阶只有一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.称具有以下形式的矩称具有以下形式的矩阵为行行阶梯形梯形矩矩阵。53行行阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下的下方全方全为零；零；2.每个台每个台阶只有
17、一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.不是不是行行阶梯形梯形例例54行行阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下的下方全方全为零；零；2.每个台每个台阶只有一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.不是行不是行阶梯形梯形例例行行阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下的下方全方全为零；零；2.每个台每个台阶只有一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行后面是非零行的第一个非零元素的第一个非零元素.定理定理任何一个矩任何一个矩阵经过一系列初等一系列
18、初等行行变换总能能变成成行行阶梯形梯形矩矩阵。55565758作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组为阶梯形方程梯形方程组该方程方程组有无有无穷多解多解阶梯形矩梯形矩阵中，中，作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有无有无穷多解多解非零行的行数非零行的行数列数减列数减159作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组为作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有唯有唯一解一解阶梯形方程梯形方程组该方程方程组有唯一解有唯一解阶梯形矩梯形矩阵中，中，非零行的行数非零行的行数列数减列数减160作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组
19、为阶梯形方程梯形方程组该方程方程组无解无解方程方程组中出中出现0=1出出现某一行，某一行，该行只有行只有最后一列元素不最后一列元素不为0作作为增广矩增广矩阵，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组无解无解阶梯形矩梯形矩阵用初等用初等行行变换化变换化增广矩阵增广矩阵为为行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵消元法解方程消元法解方程组的矩的矩阵表示：表示：根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。61该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有有无无穷多解多解；2.阶梯形矩梯形矩阵中，中，非零行的行数非零行的行数=列数减列数减1，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有有唯一解唯一解；3.阶
20、梯形矩梯形矩阵中，出中，出现某一行，某一行，该行只有最后一列行只有最后一列元素元素不不为0， 该矩矩阵对应的的线性方程性方程组无解无解。例：例：求解非求解非齐次次线性方程性方程组解：解：原原线性方程性方程组有无有无穷多解多解62阶梯形矩梯形矩阵中，非零行的行数中，非零行的行数为3小于列数减小于列数减1（5-1=4），），例：例：求解非求解非齐次次线性方程性方程组解：解：原原线性方程性方程组无解无解63阶梯形矩梯形矩阵中，第三行只有最后一列元素中，第三行只有最后一列元素为0，64 2654 66 易算出易算出67回代回代最最简行行阶梯形矩梯形矩阵4非零行的第一个非零元非零行的第一个非零元为1;5
21、这些非零元所在的列的其它些非零元所在的列的其它元素都元素都为零零.求解方程组的矩阵表示求解方程组的矩阵表示:由最后一个矩阵得方程组的解由最后一个矩阵得方程组的解68将增广矩将增广矩阵先化先化为行行阶梯形梯形再将行再将行阶梯形化梯形化为最最简行行阶梯形梯形所所谓矩矩阵的初等列的初等列变换是指下列三种是指下列三种变换 用一个非零的数乘矩用一个非零的数乘矩阵的某一的某一列；列； 将矩将矩阵的某一列的倍数加到另一的某一列的倍数加到另一列；列； 交交换矩矩阵中两列的位置中两列的位置定定义4矩矩阵的初等行的初等行变换和初等列和初等列变换统称初等称初等变换。69定义定义1线性方程组的初等变换是指下列三种变换
22、线性方程组的初等变换是指下列三种变换用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；将一个方程的倍数加到另一个方程上；将一个方程的倍数加到另一个方程上；交换两个方程的位置交换两个方程的位置性质性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解与原线性方程组同解小结小结70用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，若阶梯形方程组中出现若阶梯形方程组中出现“0=非零常数非零常数”否则有解。否则有解。方程个数方程个数=未知数个数未知数个数，有解的情况下：有解的情况下：71在在阶梯形方程梯形方程组中中有有唯一
23、解唯一解；有有无穷多无穷多解。解。方程组方程组无解无解，消元法解方程消元法解方程组的的过程：程：由由mn个数个数 排成的排成的 m 行行 n 列的数表列的数表称称为m 行行 n 列矩列矩阵，简称称mn 矩矩阵记作作矩阵矩阵定定义72所所谓矩矩阵的初等行的初等行变换是指下列三种是指下列三种变换 用一个非零的数乘矩用一个非零的数乘矩阵的某一行的某一行； 将矩将矩阵的某一行的倍数加到另一行的某一行的倍数加到另一行； 交交换矩矩阵中两行的位置中两行的位置定定义2定定义3 称具有以下形式的矩称具有以下形式的矩阵为行行阶梯形梯形矩矩阵。73行行阶梯形矩梯形矩阵：1.可画出一条可画出一条阶梯梯线，线的下方全
24、的下方全为零；零；2.每个台每个台阶只有一行；只有一行；3.阶梯梯线的的竖线后面是非零行的第一个非后面是非零行的第一个非零元素零元素.定理定理任何一个矩任何一个矩阵经过一系列初等行一系列初等行变换总能能变成成阶梯形矩梯形矩阵。用初等用初等行行变换化变换化增广矩阵增广矩阵为为行阶梯形行阶梯形矩阵矩阵消元法解方程消元法解方程组的矩的矩阵表示：表示：根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。74该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有有无无穷多解多解；2.阶梯形矩梯形矩阵中，中，非零行的行数非零行的行数=列数减列数减1，该矩矩阵对应的的线性方程性方程组有有唯一解唯
25、一解；3.阶梯形矩梯形矩阵中，出中，出现某一行，某一行，该行只有最后一列行只有最后一列元素不元素不为0， 该矩矩阵对应的的线性方程性方程组无解无解。求解方程组的矩阵表示求解方程组的矩阵表示:4由最后一个矩阵得方程组的解由最后一个矩阵得方程组的解751给出方程出方程组的增广矩的增广矩阵3再将行再将行阶梯形化梯形化为最最简行行阶梯形梯形2将增广矩将增广矩阵先化先化为行行阶梯形梯形所谓矩阵的初等列变换是指下列三种变换所谓矩阵的初等列变换是指下列三种变换用一个非零的数乘矩阵的某一列；用一个非零的数乘矩阵的某一列；将矩阵的某一列的倍数加到另一列；将矩阵的某一列的倍数加到另一列；交换矩阵中两列的位置交换矩阵中两列的位置定定义4矩矩阵的初等行的初等行变换和初等列和初等列变换统称初等称初等变换。76
