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1、 4.5 分部积分法分部积分法14.5 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式例例 题题小结小结 思考题思考题 作业作业integration by parts第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4.5 分部积分法分部积分法2解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式特点特点 被积函数是两个不同函数的乘积被积函数是两个不同函数的乘积.具有连续导数具有连续导数.两边求不定两边求不定积分积分一、一、分部积分公式分部积分公式 4.5 分部积分法分部积分法3 恰当选取恰当选取u和和dv是一个关键是一个关键,v要易求要易求;分部积
2、分公式分部积分公式选取选取u和和dv的一般原则是的一般原则是:(1)(2) 4.5 分部积分法分部积分法4例例 解解显然显然,法一法一法二法二二、例二、例 题题选择不当选择不当, 积分更难进行积分更难进行. 4.5 分部积分法分部积分法5例例 求求解解(再次使用分部积分法再次使用分部积分法) 4.5 分部积分法分部积分法6 4.5 分部积分法分部积分法7例例 求求解解 4.5 分部积分法分部积分法8例例 求求解解 化化简简型型 4.5 分部积分法分部积分法9 4.5 分部积分法分部积分法10例例 求求解解注意循环形式注意循环形式uudvuudv 应用分部积分法时应用分部积分法时,可不明显地写出
3、如何选可不明显地写出如何选取取u、dv, 而直接套用公式而直接套用公式. (对较简单的情况对较简单的情况) 4.5 分部积分法分部积分法11注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数. 4.5 分部积分法分部积分法12例例 求求解解udv 循循环环型型 4.5 分部积分法分部积分法13 使用分部积分法的关键是正确地选取使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为因为“幂三指幂三指”好积好积, 把被积函数视为两个函数的乘积把被积函数视为两个函数的乘积, 按按“反对幂三指反对幂三指”的顺序的顺序, 前者为前者为 后者为后者为常用的方法常用的方法:它自己简单它自己简单.)小结小结
4、 “反对反对”的导数比的导数比 4.5 分部积分法分部积分法14曾用换元积分做过曾用换元积分做过, 现可用分部积分做现可用分部积分做!例例u 4.5 分部积分法分部积分法15dvu 利用分部积分法可以得到一些递推公式利用分部积分法可以得到一些递推公式:例例 试证递推公式试证递推公式 证证由分部积分法得由分部积分法得 4.5 分部积分法分部积分法16由此推出由此推出 4.5 分部积分法分部积分法17 利用这个递推公式及公式利用这个递推公式及公式 递递推推型型如如递推型递推型 递推公式递推公式, 虽然积分没有具体求出来虽然积分没有具体求出来, 但每但每用一次公式用一次公式n就降低一次至两次就降低一
5、次至两次, 连续应用连续应用. 就可以求出每个积分就可以求出每个积分In . 4.5 分部积分法分部积分法18定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式设设u(x), v(x)在区间在区间a, b上有上有连续的导数连续的导数,则则由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法及及N-L公式公式.对于定积分对于定积分, 有类似的分部积分公式有类似的分部积分公式. 4.5 分部积分法分部积分法19例例 解解 原式原式= 4.5 分部积分法分部积分法20例例 解解考研数学考研数学(一一)计算计算5分分原式原式= 4.5 分部积分法分部积分法21解解考研数学考研数学(一一)填空填空4分分原式原式=分部积分
6、分部积分 4.5 分部积分法分部积分法22例例 解解无法直接求出无法直接求出f (x),因为因为没有初等原函数没有初等原函数,分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,所以用所以用分部积分法分部积分法做做. 选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为u. 4.5 分部积分法分部积分法23注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算. 4.5 分部积分法分部积分法24例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数 J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis
7、 给出给出. 4.5 分部积分法分部积分法25积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止因为因为 4.5 分部积分法分部积分法26所以所以, 当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时, 4.5 分部积分法分部积分法27例例 n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注 4.5 分部积分法分部积分法28例例 解解用公式用公式n为正偶数为正偶数 4.5 分部积分法分部积分法29解解用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式 4.5 分部积分法分部
8、积分法30解解则则是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数,n为正偶数为正偶数由于被积函数以由于被积函数以 为周期为周期, 周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等. 4.5 分部积分法分部积分法31分部积分公式分部积分公式1. 原则原则: :2. 经验经验:3. 题目题目类型类型 :化简型化简型; 循环型循环型; 递推型递推型.三、小结三、小结v要易求要易求;易求易求.“反对幂三指反对幂三指”的顺序的顺序,前为前为u, 后为后为dv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 4.5 分部积分法分部积分法32两边同时对两边同时对x求导求导,得得分部积分分部积分解解思考题思考题1已知已知f (x)的一个原函数为的一个原函数为因为因为所以所以 4.5 分部积分法分部积分法33思考题思考题2解解 4.5 分部积分法分部积分法34解解考研数学考研数学(二二), 填空题填空题, 4分分原式原式=或先不定积分的分部积分再定积分或先不定积分的分部积分再定积分. 4.5 分部积分法分部积分法35考研数学三考研数学三, 6分分解解 令令则有则有于是于是在积分过程中常常兼用各种积分法在积分过程中常常兼用各种积分法. 4.5 分部积分法分部积分法36作业作业习题习题4.5(1224.5(122页页) )
