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1、A不同特征值所不同特征值所对应的特征向量线性无关对应的特征向量线性无关.若若A有有n个个互异互异特征值特征值, ,则则一定一定有有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量. .属于不同特征值的线性无关的特征向量仍属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关线性无关.复习上讲主要内容复习上讲主要内容实对称阵不同特征值的实特征向量必正交实对称阵不同特征值的实特征向量必正交.实对称阵的实对称阵的ri重特征值重特征值 i一定有一定有ri个个线性无线性无关的关的实特征向量实特征向量.1A不同特征值所对应的特征向量线性无关本节主要内容本节主要内容l相似矩阵相似矩阵的概念的概念l方阵方阵相似对角化相似对角
2、化的的条件与方法条件与方法l几何重数几何重数与与代数重数代数重数l实对称矩阵实对称矩阵正交相似对角化正交相似对角化的方法的方法7.2 相似矩阵相似矩阵2A不同特征值所对应的特征向量线性无关设设A,B是两个是两个n阶方阵阶方阵,如果存在如果存在可逆矩阵可逆矩阵T, 使使T-1AT =B则称则称A与与B相似相似, 记作记作AB. 从从A到到B 的这种变换的这种变换称称为相似变换为相似变换, T为为相似变换相似变换矩阵矩阵.7.2.1 相似矩阵的概念相似矩阵的概念1 定义定义例如例如 T-1ET =E,3A不同特征值所对应的特征向量线性无关即相似关系即相似关系满足满足: (1) 自反性自反性:AA;
3、(2) 对称性对称性:若若AB, 则则BA;(3) 传递性传递性:若若AB,BC,则则AC.矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是 上的一种等价关系上的一种等价关系, , 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, ,最简单的代表元就是最简单的代表元就是对角阵对角阵. .4A不同特征值所对应的特征向量线性无关2 2 相似矩阵的相似矩阵的特征多项式特征多项式定理定理7.2 7.2 若若A与与B相似相似, 则特征多项式同则特征多项式同, 即即证证因因A与与B相似相似, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵T, 使使T-1AT =B5A不同特征值所对应的特征向量线性无关则则 是是A 的
4、的n个特征值个特征值. .推论推论 若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵相似相似, ,结论成立结论成立. .6A不同特征值所对应的特征向量线性无关3 相似矩阵有相似矩阵有5 5同同(4) 迹同迹同:(1) 特征多项式同特征多项式同:(2) 特征值同特征值同:(3) 行列式同行列式同:(5) 秩同秩同: 如果如果A, B是两个是两个n阶方阵阶方阵, AB.则则有有但逆命题不成立即但逆命题不成立即特征值同但不相似特征值同但不相似阵阵(2)的反例如下的反例如下:7A不同特征值所对应的特征向量线性无关(1) 相似矩阵有相同的可逆性相似矩阵有相同的可逆性, 当当A可逆时可逆时, , 若若AB,则则A-1
5、-1B-1-1, B*A*, ,B*=T- -1A*T . . (2) 若若AB, 则则Am Bm, 其中其中m是正整数是正整数.(3) 若若AB, 设设 f(x) 是一个一元多项式是一个一元多项式, 则则 f (A)f (B),4 相似矩阵相似矩阵的性质的性质(5) 若若AB,则对则对 常数常数t t有有(4) 若若AB,则则AT BT .8A不同特征值所对应的特征向量线性无关与与相似相似, ,解解由由|5E A|=5- -5x=0x = 1tr(A) = tr( ) y = - -1.例例1 1求求 x , y .两矩阵相似两矩阵相似等价等价5 矩阵的相似与等价的关系矩阵的相似与等价的关系
6、显然显然A有特征值有特征值 5,-,-5. .9A不同特征值所对应的特征向量线性无关7.2.2 相似对角化的条件及方法相似对角化的条件及方法1 定义定义若若A与对角阵相似与对角阵相似, ,称称A可以可以相似相似对角化对角化. . . .2 相似相似对角化的条件对角化的条件定理定理7.3 n阶方阵阶方阵A与对角阵相似与对角阵相似A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.A的的n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,且且 的主的主对对角线上元素是与其对应的角线上元素是与其对应的特征值特征值.T-1AT= 为对角阵为对角阵 T的的n个列向量是个列向量是10A不同特征值所对应的特征向量线性
7、无关证证设设A与对角阵相似与对角阵相似, 则则 可逆阵可逆阵T, 使使所以有所以有 AT = T 用用T1, T2, Tn表示表示T 的的n个列向量个列向量, 即即T=(T1, T2, Tn)(注意注意:证明过程给出相似对角化的方法证明过程给出相似对角化的方法)11A不同特征值所对应的特征向量线性无关即即 A(T1, Tn)=(AT1, ATn)=等式两边的列向量应当对应相等等式两边的列向量应当对应相等, 所以所以:由由T可逆知可逆知, T1, Tn线性无关线性无关,故是故是A的的 n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.12A不同特征值所对应的特征向量线性无关 设设T1,T2,Tn是是n
8、个线性无关的列向量个线性无关的列向量, 满足满足: : ATi = iTi, i=1,2,n如果令如果令 T=(T1,T2,Tn) AT =A(T1,T2,Tn) =(AT1,AT2,ATn) =( 1T1, 2T2, nTn) =(T1,T2,Tn) diag( 1, 2, , n) =Tdiag( 1, 2, , n) T-1AT13A不同特征值所对应的特征向量线性无关A可相似对角化可相似对角化.若若A有有n个个互异互异特征值特征值l 例如例如, n阶单位阵阶单位阵E 可对角化可对角化, 但是它的但是它的 互异特征值只有互异特征值只有1个个( n重重 ). 属于属于A的的不同特征值的特征向
9、量线性无关不同特征值的特征向量线性无关问题问题：若若A可相似对角化可相似对角化, 那么那么A一定一定有有n个个 互异互异特征值特征值? ?推论推论114A不同特征值所对应的特征向量线性无关7.2.3 几何重数与代数重数几何重数与代数重数l几何重数几何重数:矩阵矩阵A的每个特征值的每个特征值 i的特征子的特征子 空间空间 V i的维数为的维数为 i的的几何重数几何重数. (即即 ( iE-A)X=0基础解系含向量的个数基础解系含向量的个数).l代数重数代数重数:( i在特征在特征方程中的重根数方程中的重根数) ). .A的特征值的几何重数的特征值的几何重数 代数重数代数重数. .定理定理7.47
10、.4注注 复矩阵复矩阵A的所有特征值的代数重数之和的所有特征值的代数重数之和每个特征值几何重数每个特征值几何重数= =代数重数时代数重数时. .复矩阵复矩阵A可相似对角化可相似对角化= =n,所以有所以有15A不同特征值所对应的特征向量线性无关解解x = y.R(E A)=1,可相似对角化可相似对角化, ,求求x , y满足的条件满足的条件. .例例2 2R(3E A)=2特征值为特征值为1，1，3.16A不同特征值所对应的特征向量线性无关设三阶方阵设三阶方阵A 的特征值为的特征值为1,-1,-1,依次是对应的特征向量依次是对应的特征向量, ,求求A与与A9 . .T1 = ,100T2 =
11、, 0 1-1T3 = 3 2-1解解 设设则则经验证经验证T1, ,T2 , T3线性无关线性无关, A可相似对角化可相似对角化.例例3 317A不同特征值所对应的特征向量线性无关7.3 7.3 实对称阵的实对称阵的的正交相似对角化的正交相似对角化18A不同特征值所对应的特征向量线性无关7.3.17.3.1 实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的特征值与特征向量实对称阵的性质实对称阵的性质: :性质性质1 1 实对称阵的特征值都是实数实对称阵的特征值都是实数.性质性质2 2 实对称阵实对称阵对应于不同特征值的对应于不同特征值的实实 特征向量必正交特征向量必正交.证证 设设A是是n阶实对称矩阵阶
12、实对称矩阵, 是是A的的的特征值的特征值, ,且且A = , A 2= 2 2往证往证 1T 2= 0. 1 1T 2 = ( 1 1 ) T 2= (A 1 )T 2 = 1TAT 2 = 1T(A 2) = T( 2 2)= 2 1T 2 ( 1 - - 2) 1T 2 = 0 1T 2 = 0. 19A不同特征值所对应的特征向量线性无关7.3.2 7.3.2 实对称阵实对称阵的正交相似对角化的正交相似对角化实对称矩阵可以正交相似对角化实对称矩阵可以正交相似对角化. .其中其中 是是A的特征值的特征值. .证证 A为为n阶实对称阵阶实对称阵, 有有定理定理7.67.6即即: :若若A为为n
13、阶实对称阵阶实对称阵, 则则 正交阵正交阵P, 使得使得(证明过程给出方法证明过程给出方法)20A不同特征值所对应的特征向量线性无关 不同特征值不同特征值 1 2 s代数重数代数重数 r1 r2 rs几何重数几何重数 r1 r2 rs无关特征向量无关特征向量无关特征向量无关特征向量 X11 X1r1 X21X2r2 Xs1Xs rs标准正交化标准正交化标准正交标准正交特征向量特征向量则则 为正交阵为正交阵为正交阵为正交阵令令令令21A不同特征值所对应的特征向量线性无关推论推论 实对称阵的任一特征值的实对称阵的任一特征值的 代数重数代数重数=几何重数几何重数.即方程组即方程组的基础解系恰好含有的
14、基础解系恰好含有ri个向量个向量.22A不同特征值所对应的特征向量线性无关设三阶实对称阵设三阶实对称阵A 的特征值为的特征值为- -1,1,1, - -1所所对应的特征向量为对应的特征向量为(0,1,1)(0,1,1)T T . .求求1 1对应的特征向量对应的特征向量. .例例1 1X= k( (1,0,0) )T +l ( (0,- -1,1) )T 解解设设 X =(x1, ,x2, ,x3 ) T, ,k ,l是是不全为零的任意常数不全为零的任意常数.23A不同特征值所对应的特征向量线性无关解解例例2 2 设三阶实对称阵设三阶实对称阵A 的特征值为的特征值为1,2,2, 2对应的特征向
15、量为对应的特征向量为(1,1,0)(1,1,0)T T (0,1,1)(0,1,1)T T . .求求A的属于的属于1的实单位特征向量的实单位特征向量. .设设 X =(x1, ,x2, ,x3 ) T,24A不同特征值所对应的特征向量线性无关或或所以得所以得25A不同特征值所对应的特征向量线性无关例例3 3 设设求求正交阵正交阵 使使 为对角阵为对角阵 .解解特征值为特征值为26A不同特征值所对应的特征向量线性无关将将代入代入(2E- -A)X = 0得基础解系得基础解系正交化正交化单位化单位化27A不同特征值所对应的特征向量线性无关将将代入代入(- -7E- -A)X = 0得基础解系得基
16、础解系单位化单位化故故为正交阵为正交阵diag(2, 2, -7)28A不同特征值所对应的特征向量线性无关已知矩阵已知矩阵A是三阶实对称阵是三阶实对称阵, 它的特征它的特征值分别是值分别是 1, 1, 2, 且属于且属于2 的特征向量的特征向量是是 ( 1, 0, 1, )T, 求求A=? 解解 A是三阶实对称阵是三阶实对称阵, 正交相似于对角阵正交相似于对角阵 diag(1, 1, 2), 属于特征值属于特征值1 1的特征向量与的特征向量与 属于属于2 2的特征向量的特征向量 ( 1, 0, 1, )T正交正交, 由此得由此得 到属于到属于1的特征向量为的特征向量为(0,1,0)T, (1,
17、0,-1)T, 单位化得到相应的正交矩阵单位化得到相应的正交矩阵: 例例4 429A不同特征值所对应的特征向量线性无关由由PTAP=diag(1,1,2)可以得到可以得到A.30A不同特征值所对应的特征向量线性无关例例5 5设设n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的的特征特征值都值都大于零大于零, 试证试证证证因为因为A是是实对称阵实对称阵, ,所以存在正交所以存在正交阵阵P ,使使31A不同特征值所对应的特征向量线性无关预预 习习习习 题题 六六(-) Bye!32A不同特征值所对应的特征向量线性无关1.1.若若A有有n个个互异互异特征值特征值 A可相似对角化可相似对角化.2. A可对角化可对角化A
18、有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.3. A可对角化可对角化A每个特征值的每个特征值的几何重数几何重数R(iE A)=n- ri (i=1,2,s)=代数重数代数重数.总总 结结(A为方阵为方阵)4. .实矩阵在实数域内对角化实矩阵在实数域内对角化, ,首先特征值都首先特征值都是是实数实数, ,且每个特征值的且每个特征值的几何重数几何重数= =代数重数代数重数.5.实对称阵实对称阵一定可以正交相似对角化一定可以正交相似对角化33A不同特征值所对应的特征向量线性无关(1) 特征多项式特征多项式, (2) 特征值特征值,(1) A的的k次幂次幂, (2)(4)已知特征值已知特征值,特征
19、向量特征向量, 反求矩阵反求矩阵A.(3) 判断矩阵相似判断矩阵相似(若若A ,B ,则则AB.)(A可相似对角化可相似对角化).2.可以简化方阵可以简化方阵A的某些计算如求的某些计算如求A相似与对角阵相似与对角阵 的应用的应用：1.有有5同同,所以易求所以易求(3)行列式行列式, (4) 迹迹, (5) 秩秩.34A不同特征值所对应的特征向量线性无关设设求正交阵求正交阵P,使得使得PTAP成对角阵成对角阵. .解解 (1)例例6 635A不同特征值所对应的特征向量线性无关求得基础解系求得基础解系: (2) 将将 代入代入(E ,得得36A不同特征值所对应的特征向量线性无关先将其正交化先将其正
20、交化:37A不同特征值所对应的特征向量线性无关再单位化再单位化:38A不同特征值所对应的特征向量线性无关将将 4 代入代入 (E , 得得解得基础解系解得基础解系:单位化单位化:39A不同特征值所对应的特征向量线性无关(3) 令令则则P是正交阵是正交阵,且且40A不同特征值所对应的特征向量线性无关 若若给定给定n阶方阵阶方阵A,直接计算直接计算 往往比较往往比较困难困难, 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵T使得使得T-1AT= 为为对角形对角形,那那 的计算就能转化为的计算就能转化为 的计算的计算. 所以将矩阵化为对角形能简化方阵所以将矩阵化为对角形能简化方阵A的的某些计算某些计算,也能给理论研究带来方便也能给理论研究带来方便. 问题的提出问题的提出: :41A不同特征值所对应的特征向量线性无关
