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1、版权所有：武汉理工大学理学院数学系第二章 矩 阵第一节 矩阵及其运算第四节 习题课第三节 分块矩阵第二节 逆矩阵版权所有：武汉理工大学理学院数学系第一节 矩阵及其运算一、问题的提出二、矩阵定义三、矩阵运算四、思考题五、练习题六、练习题参考答案版权所有：武汉理工大学理学院数学系例例1.1.某商场9月份电视机销售统计表21寸29寸34寸48寸长虹康佳创维1540377213040107251810一、问题的提出与数表对应与数表对应版权所有：武汉理工大学理学院数学系例例2.2.线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3
2、=b3与数表对应与数表对应版权所有：武汉理工大学理学院数学系 上述问题必须引进一些新的概念，如矩阵概念.就矩阵概念而言，它是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.版权所有：武汉理工大学理学院数学系二、矩阵的定义定义：定义：m n个数aij (i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)排成的矩形数表版权所有：武汉理工大学理学院数学系称为m行n列矩阵，简称 矩阵， 称为矩阵A的第i行的第j列元素，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵. 矩阵A记为 或 ，在不引起混淆时简记为版权所有：武汉
3、理工大学理学院数学系mn矩阵有矩阵有m行，行，n列列行下标列下标矩阵第矩阵第 i 行第行第 j 列的元素表为：列的元素表为：版权所有：武汉理工大学理学院数学系下面介绍一些特殊矩阵1、n阶矩阵：行数与列数相同，且都是为n的矩阵 称为n阶矩阵或n阶方阵即2、零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O 注意：不同阶的零矩阵不同.版权所有：武汉理工大学理学院数学系3、行矩阵、列矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵只有一行的矩阵版权所有：武汉理工大学理学院数学系4、对角矩阵：称为对角矩阵记为= 除主对角线上元素外，其它元素都为零的n阶方阵版权所有：武汉理工大学理学院数学系5、单位矩阵：若对角线元素
4、为1，其它元素为零的矩阵，称为n阶单位矩阵，记为En（或In），简记为E.即版权所有：武汉理工大学理学院数学系6、数量矩阵：若对角线元素为k（k为常数），其余元素都为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵，记为kE即版权所有：武汉理工大学理学院数学系7、同型矩阵：若两个矩阵A、B的行列数相同，则称A、B为同型矩阵.8、矩阵相等：若两个同型矩阵 的对应元素分别相等.即则称这两个矩阵相等，记为A=B版权所有：武汉理工大学理学院数学系三、矩阵运算1、矩阵的和（1）加法定义 设 、 为两个同型矩阵，将它们的对应元素分别相加，得到一个新的矩阵称为矩阵A、B的和，记为A+B.版权所有：武汉理工大学理学院数学系即A
5、+B=（2）减法 将矩阵 的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A版权所有：武汉理工大学理学院数学系称A+(-B) 为A与B的差，记为A-B，即即-A=A-B=A+(-B) =版权所有：武汉理工大学理学院数学系（3） 运算规律结合律 （A+B）+C=A+(B+C)交换律 A+B=B+A A+（-A）=A-A=O例12、矩阵的数乘（1）定义 设是一个数, 是一 个矩阵,则矩阵称为数与矩阵A的数乘矩阵,记为A（或A)即A=版权所有：武汉理工大学理学院数学系设A,B为 矩阵, 、 为常数分配律 （A+B ）= A+ B （+）A=A+A 结合律（A）=（）A =（A） （2)运算规
6、律版权所有：武汉理工大学理学院数学系例2 设A= ，B= ，求2A+B。解 2A+B = 2+版权所有：武汉理工大学理学院数学系3、矩阵乘法（1）定义 设 是一个（i=1,2,m;j=1,2,n）构成的 矩阵是一个 矩阵，则由元素矩阵，版权所有：武汉理工大学理学院数学系称为矩阵A与矩阵B的乘积, , 记为注意 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵A与B才能相乘，乘积矩阵C的第i行第j列元素 等于A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和.例如要计算 ,就是用A的第2行各元素分别乘以B的第3列相应的各元素，然后相加.用图表示即为：简记为：C=AB版权所有：武汉理工大学理学院数学系第i行j列版
7、权所有：武汉理工大学理学院数学系（2)矩阵A，B乘积的行数、列数间的关系是（m,s）.（s,n）=（m，n）用图示表示就是=mssnmn例3 设A= ，B= ，求AB.版权所有：武汉理工大学理学院数学系解 AB=其中c11=11+11=2 c12=1(-1) +11=0 c13=11+10=1 c21=01+11 =1 c22=0(-1)+11=1 c23=01+10=0所以 AB=版权所有：武汉理工大学理学院数学系例4 求矩阵A与矩阵B的乘积AB及BA， 其中A=（0 1 -1） B=解 A B=（0 1 -1）B A= -2( 0 1 -1 ) =版权所有：武汉理工大学理学院数学系例5 求
8、矩阵A与B的乘积AB及BA，其中解版权所有：武汉理工大学理学院数学系例例6 6 设解：解：因为A的列数等于B的行数，所以A与B可以相乘，其乘积是一个34的矩阵版权所有：武汉理工大学理学院数学系21+322(2)+3(1)2(3)+3020+3111+(2)21(2)+(2)(1)1(3)+(2)010+(2)131+123(2)+1(1)3(3)+1030+11= BA=？版权所有：武汉理工大学理学院数学系 从例4、例5 、例6可以看出，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA.另外，从例6还可看出，A O，B O时，可以有AB=O.因此由AB=O，不能推出A=O或B=O.这一点必须注
9、意.（3）运算规律结合律（AB）C=A (BC）分配律 A(B+C）=AB+AC (B+C) A=BA+CA (AB) = (A)B=A (B)版权所有：武汉理工大学理学院数学系4、矩阵的乘幂（1）定义 设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak即k个（2）运算规律（其中k、l为正整数)版权所有：武汉理工大学理学院数学系例7 设A=解由例6，可得，求A3 .版权所有：武汉理工大学理学院数学系5、矩阵的转置（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A （或AT）即A =版权所有：武汉理工大学理学院数学系譬如则
10、（2）运算规律（其中为常数）版权所有：武汉理工大学理学院数学系例8 设 解所以验证（AB） =B A ，并求A B 版权所有：武汉理工大学理学院数学系或者，由得版权所有：武汉理工大学理学院数学系由例8可知，在一般情况下，下面介绍一类与转置矩阵有关的一类矩阵.如果n注意（1）只有方阵才谈得上是对称矩阵阶方阵A满足 A =A即则称A为对称矩阵.如果A =-A，即，则称A为反对称矩阵.（2）如果A为实矩阵且A= A ，则称A为实对称矩阵，因而版权所有：武汉理工大学理学院数学系例9 设A，B为n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证 必要性：设AB是对称矩阵，即(AB) =AB
11、.又（AB) =B A =BA，所以AB=BA. 充分性：设AB=BA，因为(AB) =BA =BA=AB，所以AB是对称矩阵.证毕版权所有：武汉理工大学理学院数学系6、方阵的行列式（1）定义 由n阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记为譬如则=-2或detA.注意:方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是由n2个数排成的n行n列的数表，而n阶行列式是一个数.版权所有：武汉理工大学理学院数学系（2）运算规律 设A、B为n阶方阵，为常数，则版权所有：武汉理工大学理学院数学系注意： （1）公式可以推广到有限个方阵乘积的情况，即A= ，B= ，C= ，（2）由可知，
12、其中这个公式称为行列式的乘积公式，它表明两个行列式的乘积可以像矩阵的乘积一样来计算. 版权所有：武汉理工大学理学院数学系（3）由公式 可得（行（行列）列）（列（列列）列）（列（列行）行）（行（行行）行）例11 设A= B=解 因为所以求版权所有：武汉理工大学理学院数学系而则这样也有同理版权所有：武汉理工大学理学院数学系7、矩阵共轭（1）定义 当 是复矩阵时，用 表示 的共轭复数，以 为元素的矩阵，称为A的共轭矩阵，记为A 即譬如 A= 则A=版权所有：武汉理工大学理学院数学系（2）运算规律设A、B为复矩阵，为常数，则 A B =A B A= A A+B=A+B 版权所有：武汉理工大学理学院数学
13、系四、思考题1、两个同型矩阵一定可以相乘，对吗？2、(AB )2=A2B2，对吗？解 1、不一定，如AB是23矩阵时，AB是无意义的. 2、不对，因为矩阵乘法不满足交换律.版权所有：武汉理工大学理学院数学系五、练习题1、判断下列命题是否正确，如不正确，举例说明.（1）若A2=0，则A=0（2）若AB=0，则A=0或B=0（3）若A2=A，则A=0或A=E（4）若AB=AC，则B=C版权所有：武汉理工大学理学院数学系（5）若A为n阶矩阵，则2、A=3、计算下列矩阵乘积（1）（6）( AB ) =A B 求A+B，2A-3BB=版权所有：武汉理工大学理学院数学系（2）4、计算方阵的幂（其中n为正整
14、数）（1）（2）（3）版权所有：武汉理工大学理学院数学系5、设A=6、设A是任意n阶方阵，证明： （1）A+A 是对称矩阵（1）AB=BA （2）(A+B )2=A2+2AB+B2（3）(A+B) (A-B）=A2-B2是否成立.问下列等式，B=版权所有：武汉理工大学理学院数学系（2）A-A 是反对称矩阵（3）AA 是对称矩阵7、已知A= f (x) =x2-5x+3定义 f (A)=A2-5A+3E试求f (A)版权所有：武汉理工大学理学院数学系六、练习题参考答案1、（1） （2） （3） （4） （5） （6） 版权所有：武汉理工大学理学院数学系2、 A+B= 2A-3B=3、（1）4、（1）（2）版权所有：武汉理工大学理学院数学系（2）（3）5、都不成立6、提示：利用定义7、
