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1、5.3解三角形高考理数高考理数1.正弦定理、余弦定理(1)正弦定理在ABC中,=2R(R为ABC的外接圆半径).(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;推论:cosA=,cosB=,cosC=.2.解三角形的类型(1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解.知识清单(2)已知两边及其一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下几种(在ABC中,已知a、b和角A):上表中,若A为锐角,当absinA时,无解;若A为钝角,当a=b,ab时均无解.(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦
2、定理,必有一解.3.三角形的面积设ABC的三边为a、b、c,所对的三个角分别为A、B、C,其面积为S.(1)S=ah(h为BC边上的高);(2)S=absinC=acsinB=bcsinA;A为锐角A为钝角图形关系式a=bsinAbsinAab解个数一解两解一解一解(3)S=2R2sinAsinBsinC(R为ABC的外接圆半径);(4)S=(R为ABC的外接圆半径);(5)S=.4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图a).(2)方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做
3、方位角,如点B的方位角为(如图b).【知识拓展】【知识拓展】判断三角形形状的基本思想:利用正、余弦定理进行边角的统一,即将条件化为只含角的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形,如等边三角形,等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形等.另外,在变形过程中要注意A、B、C的范围对三角函数值的影响.应熟练掌握正、余弦定理及其推论.解三角形时,可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.例例1(2015东北三省四市教研联合体第一次模拟,17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,
4、b,c,且bsinA=acosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.解析解析(1)由bsinA=acosB及正弦定理,得sinB=cosB,所以tanB=,所以B=.(2)由sinC=2sinA及=,得c=2a,由b=3及b2=a2+c2-2accosB,突破方法方法方法1正、余弦定理的应用正、余弦定理的应用得9=a2+c2-ac.联立可得a=,c=2.1-1(2015贵州六盘水第一次联考,17)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=a.(1)求;(2)若c2=b2+a2,求B.解析解析(1)由正弦定理得,s
5、in2AsinB+sinBcos2A=sinA,即sinB(sin2A+cos2A)=sinA.故sinB=sinA,所以=.(2)由余弦定理和c2=b2+a2,得cosB=.由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2,可得cos2B=,又易知cosB0,故cosB=,所以B=45.1.灵活运用正、余弦定理实现边角转化.2.合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等.3.三角形的面积公式形式多样,选择合适的形式入手是顺利解题的关键.例例2(2016皖南八校联考,8,5分)在ABC中,=3,SABC,则B的取值范围是()A.B.C.D.解题思路解题思路由已知及三角形面积公式得
6、SABC=tanB由SABC的范围得tanBB解析解析由题意知accosB=3,方法方法2有关三角形面积问题的求解方法有关三角形面积问题的求解方法所以ac=,SABC=acsinB=sinB=tanB.因为SABC,所以tanB,所以B.答案答案C2-1(2016北京丰台期末)已知在ABC中,AB=,BC=1,sinC=cosC,则ABC的面积为.答案答案解析解析由sinC=cosC得tanC=,又C(0,),所以C=.根据正弦定理可得=2,所以sinA=,因为ABBC,所以AC,所以A=,所以B=,所以ABC为直角三角形,所以SABC=1=.例例3(2016安徽合肥三检,14,5分)如图,一
7、栋建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为m.解析解析如图,在RtABM中,AM=20(m).又易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15-60=105,从而方法方法3实际应用问题中的解三角形实际应用问题中的解三角形ACM=30.在AMC中,由正弦定理得=,解得MC=40(m).在RtCMD中,CD=40sin60=60(m),故通信塔CD的高为60m.答案答案603-1(2016东北三校联考(二)一艘船向正北方向航行,看见它的正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上.船继续航行半小时后,看见这两个灯塔中,一个灯塔在船的南偏西60方向上,另一个灯塔在船的南偏西75方向上,则这艘船的速度是每小时()A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里如图,依题意有BAC=60,BAD=75,ABD=90,CD=10海里,所以CAD=CDA=15,从而CA=CD=10海里.在RtABC中,AB=ACcos60=5(海里),所以这艘船的速度是=10(海里/小时).答案答案D解析解析
