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1、5 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . 若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变
2、号. .验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行
3、（列）乘以 ，记作，记作 . .推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如例如：则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质6 把行列式的某
4、一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将将第第 列都加到第一列得列都加到第一列得
5、例例3 设设 证明证明 证明证明对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故 ( (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质
6、把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性质个性质6 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .一、引言结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第
7、所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . 结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 例如例如 即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般
8、情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？思考题：思考题：能否以能否以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能不能. . 被调换到第被调换到第1行，第行，第1列列二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.12例例7续）续） 证明证明 用数学归纳
9、法用数学归纳法例例 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 计算行列式计算行列式解解例例 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用及及解解
