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1、微积分微积分1212无穷级数无穷级数定义定义1 1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项. . 一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念2课件性质性质2 2 如果级数 、 分别收敛于即9课件性质性质3 3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质性质4 4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.10课件注意：注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推
2、论：推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.11课件性质性质5 5 (收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即级数12课件结论：结论：由此我们可得13课件注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.14课件第二节第二节 正项级数及其敛散性正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法15课件 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义 设级数的每一项都是非负数,则称此级数是 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加
3、的，即正项级数.16课件定理定理1 1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.17课件证明证明: :这是一个正项级数，其部分和为:故sn有界，所以原级数收敛.18课件定理定理2 2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散. 二、正项级数收敛的比较判别法二、正项级数收敛的比较判别法19课件则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，20课件例例2 2 判定p-级数的敛散性.常数 p0.21课件22课件由此可得结
4、论，p级数当 时发散，p1时收敛.23课件24课件由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；25课件定理定理(达朗贝尔比值判别法) 设 为正项级数，如果(1)当 时，级数收敛；(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.(2)当 ( )时，级数发散. 三、正项级数收敛的比值判别法三、正项级数收敛的比值判别法26课件27课件28课件例例7 7 判别级数解解: :由比值判别法可知所给级数发散.29课件此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;30课件第三节绝对收敛与条件收敛第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛31课件 一、
5、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法定义定义 正负项相间的级数，称为交错级数.32课件定理定理1 1(莱布尼兹定理)则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 如果交错级数33课件证明证明: :先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.55课件性质性质1 1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式56课件即幂级数在其收敛区间内可以逐
6、项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.57课件性质性质3 3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.58课件59课件60课件61课件第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数一、泰勒级数二、二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数62课件 一、泰勒级数一、泰勒级数定义定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.63课件定理定理1 1 (泰勒中值
7、定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：其中：64课件公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.65课件定理定理2 2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：66课件 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：67课件68课件69课件70课件间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.71课件分别令q=x、x2有：72课件将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：73课件74课件
