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1、一、前言一、前言1在前面的学习中，我们讨论的是一元函数微积分，在前面的学习中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数函数多元函数，也提出了多元微积分问题多元函数，也提出了多元微积分问题 本章内容为多元函数微分学。本章内容为多元函数微分学。多元微积分的概多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于理问题的思想方法）又有许多本质的不同
2、，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。理解，融会贯通。 函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。数。二、教学计划二、教学计划21 1、课时安排、课时安排多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的极限和连续性二元函数的极限和连续
3、性 2 2课时课时 偏导数偏导数 2 2课时课时全微分全微分 2 2课时课时多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法 2 2课时课时偏导数的应用偏导数的应用 2 2课时课时复习以及习题课复习以及习题课 2 2课时课时 三、本章的教学目标三、本章的教学目标3基本要求基本要求1.1.掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续元极限、连续2.2.深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，阶偏导数，3.3.掌握全微分概念掌握全微分概念4.4.会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法
4、，会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，5.5.会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，会求多元函数极值线，会求多元函数极值第一节第一节 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的极限和连续性二元函数的极限和连续性2024/7/31学习目标：学习目标：正确理解二元函数的概念，能求正确理解二元函数的概念，能求二元函数的定义域以及知道二元二元函数的定义域以及知道二元函数的几何意义函数的几何意义理解二元函数的极限的定义理解二元函数的极限的定义理解二元函数连续性的定义理解二元函数连续性的定义多元函数的概念多元函数的概念引例1.圆柱体的体积2.定量理想气体的
5、压强3.三角形面积5多元函数的概念多元函数的概念4.某种商品的市场需求量Q不仅与市场价格p有关，而且与消费者平均收入以及需要这种商品的人数N有关,同时，还与这种商品的其他代用品的价格等因素有关；从而决定该商品需求量的自变量不只一个而是多个 以上引例说明，在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系， 也引入多元函数的必要性6多元函数的概念多元函数的概念二元函数的定义7多元函数的概念多元函数的概念8多元函数的概念、定义域多元函数的概念、定义域类似地，可以定义三元函数 以及n元函数 多于一个自变量的函数统称为多元函数 9同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义同一元函数一样，定义
6、域和对应规律是二元函数定义的两要素。对于以算式表示的二元函数的两要素。对于以算式表示的二元函数 其定义域就是其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围使式子有意义的自变量的变化范围一组概念：一组概念：1.1.区域：全部区域：全部xyxy坐标平面或由曲线所围成的部分平面坐标平面或由曲线所围成的部分平面常用字母常用字母D D表示表示2.2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界边界：围成区域的曲线称为该区域的边界3.3.开区域：不包括边界的区域开区域：不包括边界的区域4.4.闭区域：连同边界在内的区域闭区域：连同边界在内的区域多元函数的定义域多元函数的定义域5.有界区域（无界区域）：如果一个区域可以
7、被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内，否则为无解区域6.内点：开区域内的点7.边界点：边界上的点8.区域的表示：与用区间表示不定式一样，区域也可以用不等式或不等式组表示10多元函数的定义域多元函数的定义域11其图形为：其图形为：其图形为：其图形为：多元函数的定义域多元函数的定义域12其图形为：其图形为：其图形为：其图形为：多元函数的定义域多元函数的定义域例2 13二元函数的几何意义二元函数的几何意义思考：14二元函数的二元函数的几何意义？几何意义？一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面函数，在空间直角坐标
8、系中一般表示曲面二元函数的几何意义二元函数的几何意义15二元函数的几何意义二元函数的几何意义16二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限定义17二元函数的极限二元函数的极限说明（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。18二元函数的极限二元函数的极限说明19（3 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换
9、等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。（2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限二元函数的极限二元函数的极限 一元极限与二元极限的异同？20相同点相同点一元函数在某点的极限存在的充要一元函数在某点的极限存在的充要定义相同定义相同. .不同点不同点而多元函数而多元函数于P0时,条件是条件是左右极限都存在且相等左右极限都存在且相等; ;都有极限都有极限, ,且相等且相等. .必需是点必需是点P P在定义域内以任何方式和途径趋在定义域内以任何方式和途径趋二元函数的极限二元函数的极限确定极限不存在的方法21则
10、可断言极限不存在则可断言极限不存在; ;(1)(2) 找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式, ,但两者不相等但两者不相等, ,二元函数的极限二元函数的极限22二元函数的极限二元函数的极限例23说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题的极限问题二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性的定义24二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性的定义25如果定义全增量如果定义全增量与一元函数一样与一元函数一样, , 可用增量形式来描述函数的连可用增量形式来描述函数的连续性。由此，可得到二元函数的连续性的另外一续性。由此，可得到二元函数的连续性
11、的另外一种表述种表述二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性的定义26二元函数的连续性二元函数的连续性函数在区域D内连续的定义 27与一元初等函数的与一元初等函数的连续性类似，多元连续性类似，多元初等函数在定义区初等函数在定义区域内是连续的域内是连续的有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质1.最值定理（最大值、最小值定理）28在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得最大值和最小值能取得最大值和最小值2.2.介值定理介值定理在有界闭区域上连续的二元函数在必能取得介于它的在有界闭区域上连续的二元函数在必能取得介于它的最大值和最
12、小值之间的任何值至少一次最大值和最小值之间的任何值至少一次多元数极限、连续性的应用多元数极限、连续性的应用练习129多元数极限、连续性的应用多元数极限、连续性的应用30归纳梳理归纳梳理1.二元函数的定义31归纳梳理归纳梳理2.二元函数的极限定义32归纳梳理归纳梳理3.二元函数的连续性的定义33归纳梳理归纳梳理3.有界闭区域上连续函数的性质。34在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取得最大值和最小值能取得最大值和最小值（2 2）. .介值定理介值定理在有界闭区域上连续的二元函数在必能取得介于它的在有界闭区域上连续的二元函数在必能取得介于它的最大值和最小值之间的任何值至少一次最大值和最小值之间的任何值至少一次（1 1）. .最值定理（最大值、最小值定理）最值定理（最大值、最小值定理）课外作业课外作业35
