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1、 哈工大汽车工程学院哈工大汽车工程学院工程图学部工程图学部画法几何及机械制图画法几何及机械制图Geometrical and mechanical drawing 31 平行问题平行问题相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行 平面与平面平行平面与平面平行包包括括 直线与平面平行直线与平面平行 定定 理理 若一直线平行于某平面的一条直若一直线平行于某平面的一条直线，则此直线平行于该平面。线，则此直线平行于该平面。n a c b m abcmn例例1：过：过M点作直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有
2、多少解？正平线正平线例例2：过：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 平面与平面平行平面与平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef例：已知平面例：已知平面ABCABC与面外一点与面外一点S S，试过点试
3、过点S S作作一平面与平面一平面与平面ABCABC平行。平行。e d de作图：过点作图：过点S S作直线作直线SD/ABSD/AB、SE/AC,SE/AC,即：即：sdsd/abab、se/acse/ac、sd/ab,se/ac,sd/ab,se/ac,相交直线相交直线SDSD和和SESE所确定的所确定的平面即为所求。平面即为所求。sc b s a abc例例 判别平面判别平面ABCABC与四边形与四边形DEFGDEFG是否平行。是否平行。XOefdgabcef dgabcmnnm分析：在任一分析：在任一平面内作两相平面内作两相交直线，若在交直线，若在另一平面内也另一平面内也能作出与之对能作
4、出与之对应平行的两相应平行的两相交直线，则两交直线，则两平面平行。平面平行。 作图：作图： d m /a b 、 d n /a c ，再作出其水平投再作出其水平投影影dm和和dn,由于由于dm/ab、 dn/ac所以所以ABC与四与四边形边形DEFG平行。平行。直直线与平面相交与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 3-2 相交问题相交问题要要讨论的的问题： 求求直直线与平面的与平面的交点交点或或求求两平面的两平面的交线。交线。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别判别 可见性。可见性。 积聚性投影的出现，相当于共有元素的一积聚性投影的出现，相当于共有元素的一 个投
5、影已知，就使问题的性质转化为面上个投影已知，就使问题的性质转化为面上 找点或线上找点的问题。找点或线上找点的问题。 可见性一般能直接看出，不必另行作图判断。可见性一般能直接看出，不必另行作图判断。 当直线或平面垂直投影面时，利用其当直线或平面垂直投影面时，利用其投影积聚性来求解的方法。投影积聚性来求解的方法。一、利用投影积聚性法一、利用投影积聚性法 直直线与平面相交，其与平面相交，其交点是直交点是直线与平与平面的共有点。面的共有点。 直线与平面相交直线与平面相交要要讨论的的问题： 求求直直线与平面的与平面的交点。交点。 判判别两者之两者之间的相互遮的相互遮挡关系，即关系，即判判别可可 见性。性
6、。例：求直例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判并判别可可见性。性。空空间及投影分析及投影分析 平面平面ABC是一是一铅垂面，垂面，其水平投影其水平投影积聚成一条直聚成一条直线，该直直线与与mn的交点即的交点即为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判判别可可见性性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可可见。还可通可通过重影点判重影点判别可可见性。性。作作图用用线上上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k1 (2 )21k 直线为特殊位置直线为特殊位置空空间及投影分析及投影分析
7、直直线MN为铅垂垂线，其水，其水平投影平投影积聚成一个点，故交点聚成一个点，故交点K的水平投影也的水平投影也积聚在聚在该点上。点上。 求交点求交点 判判别可可见性性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 为不可不可见。作作图用面上取点法用面上取点法km(n)bm n c b a ac2 1k 两平面相交两平面相交 两平面相交其交两平面相交其交线为直直线，交交线是两平是两平面的共有面的共有线，同同时交交线上的点都是两平面的上的点都是两平面的共有点。共有点。要要讨论的的问题： 求求两平面的两平面的交交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个
8、共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交一个共有点及交线的方向。的方向。 判判别两平面之两平面之间的相互遮的相互遮挡关系，即：关系，即： 判判别可可见性。性。可通可通过正面投影正面投影直直观地地进行判行判别。abcdefc f d b e a m (n )空空间及投影分析及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为正垂面正垂面，它，它们的的交交线为一一条正垂条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即影的交点即为交交线的正面的正面投影，投影，交交线的水平投影垂的水平投影垂直于直于OX轴。 求交求交线 判判别可可见性性作作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交出，在交线左左侧，平面，平
9、面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可可见。能能!如何判如何判别？例：求两平面的交例：求两平面的交线 MN并判并判别可可见性。性。能否不用重能否不用重影点判影点判别？mnb例：求两平面的交例：求两平面的交线 MN并判并判别可可见性。性。acdefc f d b e a m (n )mnabcdefc f d b e a m (n )nm同面的异侧，异面的同侧可见性相反。同面的异侧，异面的同侧可见性相反。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1( (2 ) )空空间及投影分析及投影分析 平面平面DEFH是一是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与聚性，其与a
10、c、bc的的交点交点m 、n 即即为两个共两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即即为交交线MN的水平投的水平投影影。 求交求交线 判判别可可见性性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可可见。作作图21 mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnmaa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1( (2 ) )21 mmnnc d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影 n位于位于def 的外面，的外面， 说明点明点N位于位于DEF所所确定的平面内，但不确定的平面内，但不位于
11、位于DEF这个个图形形内。内。 所以所以ABC和和DEF的交的交线应为MK。m 互交互交m nkn k 互交互交c d e f a b abcdefmkk m c d e f a b abcdef nn m kmk 引入辅助平面引入辅助平面PP过已知直线作投过已知直线作投影面的垂直面，则转化为垂直面与一影面的垂直面，则转化为垂直面与一般位置平面相交问题。般位置平面相交问题。辅助平面辅助平面PP目的是利用积聚性的条目的是利用积聚性的条件以简化作图。件以简化作图。二、二、辅助平面法辅助平面法1 1、一般位置直线与一般位置平面相交、一般位置直线与一般位置平面相交11包含直线包含直线MNMN作辅助平面
12、作辅助平面P P。22求辅助平面求辅助平面P P与平面与平面ABCABC 的交线的交线。33求交线求交线与直线与直线MNMN的交点的交点K K即为直线与平面的交点。即为直线与平面的交点。44判别可见性根据重影点判别可见性根据重影点判别出可见性判别出可见性pMNABC 根据重影点根据重影点、可判别出正面投影的可见性；可判别出正面投影的可见性；根据重影点根据重影点、可判别出水平投影的可见性。可判别出水平投影的可见性。PHXOnmabcanmbc212kk343（4）（ ）551空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是是一一般位置平面，直线般位置平面，直线MN是一般位置直是一般位置直线。过线。
13、过MN作作铅垂铅垂面，求交线。面，求交线。过过mn作铅垂面作铅垂面作作 图图例：例：求铅垂面与求铅垂面与ABC 交线及交点交线及交点K 判别可见性判别可见性nmabcanmbc212kk343（4）（ ）551 nmabcanmbckk45 kk2 2、两一般位置平面相交、两一般位置平面相交（1）线面交点法）线面交点法 在任一平面内任取两条直线，作出它们与另一在任一平面内任取两条直线，作出它们与另一平面的交点，将所得交点连成直线即为所求。平面的交点，将所得交点连成直线即为所求。XOadbefcdaefcb1212m3434mnn分分析析：视视平平面面DEF的的 两两 边边DE、DF为为空空间间
14、一一般般位位置置直直线线，分分别别求求出出它它们们与与ABC的的 交交 点点 M、N，连连接接MN即即为所求为所求。XOadbefcdaefcb1212m3434mnn55( )667(7)判断可见性：判断可见性：交线是两相交平面投影重叠部分可见与不交线是两相交平面投影重叠部分可见与不 可见的分界线。可见的分界线。在每个投影上分别选则一对重影点判断。在每个投影上分别选则一对重影点判断。同面的异侧，异面的同侧可见性相反。同面的异侧，异面的同侧可见性相反。XOadbefcdaefcb2m43mnn566(7)mnmn2、三面共点法、三面共点法Q 求两面交线求两面交线时，作一辅助平面时，作一辅助平面
15、P P1 1，该辅助平面与该辅助平面与两已知平面产生交两已知平面产生交线，两条交线的交线，两条交线的交点即为三面共有点。点即为三面共有点。即两已知平面共有即两已知平面共有点。点。P1VP2Vefgefgacbdabdc1234k1k212345566k1k2A：求两面交线时，求两面交线时，作一辅助平面作一辅助平面P1，该辅助平面与两已该辅助平面与两已知平面产生交线，知平面产生交线，两条交线的交点即两条交线的交点即为三面共有点。即为三面共有点。即两已知平面共有点。两已知平面共有点。B：同样作辅助同样作辅助平面平面P2又可求出又可求出一共有点，将两一共有点，将两共有点连线即为共有点连线即为两平面的
16、交线。两平面的交线。例：例：综综合合作作图图举举例例一一 解题的一般步骤解题的一般步骤 1 1、 题意分析题意分析主要分析题中给出的已知条件，判断题中主要分析题中给出的已知条件，判断题中所给或要求的几何元素是否处于特殊位置，明确题目所给或要求的几何元素是否处于特殊位置，明确题目要求求解的几何元素或几何量；要求求解的几何元素或几何量；2 2、 空间分析空间分析分析题示已知条件与待求几何元素、几何量分析题示已知条件与待求几何元素、几何量之间有何几何关系，以明确解题思路，确定解题方法之间有何几何关系，以明确解题思路，确定解题方法及方案。及方案。3 3、 投影作图投影作图根据解题思路及解题步骤，找出相
17、应的各根据解题思路及解题步骤，找出相应的各种基本作图原理和作图方法进行投影作图；种基本作图原理和作图方法进行投影作图；4 4 、题解讨论题解讨论必要时，还应对题解进行讨论，证明答案必要时，还应对题解进行讨论，证明答案确能满足题目要求的几何条件或解答的存在性，是唯确能满足题目要求的几何条件或解答的存在性，是唯一解还是多解等。一解还是多解等。二二 举例举例分分析析：所所求求的的直直线线MN平平行行AB，MN一一定定属属于于与与AB平平行行的的平平面面P，MN与与交交叉叉两两直直线线CD、EF相相交交，则则平平面面P应应包包含含其其中中一一直直线线CD（或或EF），平平面面P与与 另另 一一 直直
18、线线 EF（ 或或CD）相相交交，交交点点为为M，过过M作作直直线线AB的的平平行行线线与与CD（或或EF）相相交交于于点点N，即即为为所所求求的的直线直线MN。例：例： 已知三直线已知三直线AB、CD、EF，求作一直线求作一直线MN与与CD、EF相交且与相交且与AB平行。平行。ababcdefcdefpp2121mnnmBACNMFEPD例：例：ABC平行直线平行直线DE、FG，补全补全ABC的水平投影。的水平投影。XOfgdeabcafgde分分析析： ABC属属于于过过点点A并并和和直直线线DE、FG都都平平行行的的平平面面，故故可可转转换换为为在在该该平平面面内内求求出出b，c两两投影
19、。投影。作图：作图：1）过）过A作作A（a 1 ，a1）平行平行FG。 2）过）过A作作A（a 2，a2）平行平行DE。 3）连）连（1 2 ，12）交交a c 于于3 求出求出3。4）连）连a3，求出求出c点。点。5）连）连c1，求出求出b点。点。112233cb例：例： 求平面求平面ABC与平面与平面DEFG交线，判别交线，判别可见性。可见性。分分 析析 ： 四四 边边 形形DEFG为为水水平平面面，V面面投投影影有有积积聚聚性性，因因此此两两平平面面交交线线为为水水平平线线，且且与与AB平行。平行。nabcdefgXOacbd (g)e (f)11mn(m)2(3)32作图作图：1）交线
20、积聚在平面）交线积聚在平面DEFG的积聚投影上。的积聚投影上。延长交线交延长交线交ac于于1点。点。2）求水平投影）求水平投影1。3）过）过1作作ab平行线交平行线交dg于于m，de于于n。4）据）据m、n求出求出m、n，MN即为两平面的即为两平面的交线。交线。5）根据重影点判）根据重影点判 断可断可见性。见性。 小小 结结 重点掌握：重点掌握：一、两平面平行的条件一定是分别位于两平面一、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的内的两组相交直线对应平行。两组相交直线对应平行。二、直线与平面的交点及平面与平面的交线是二、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点、共有线。两者的共有点、
21、共有线。解题思路：解题思路：空间及投影分析空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性判别可见性尤其是尤其是如何利用重影点判别。如何利用重影点判别。三三、直、直线与平面的相与平面的相对位置位置 直线与平面平行直线与平面平行 直直线平行于平面内的一条直平行于平面内的一条直线。 直线与平面相交直线与平面相交 投影面垂直投影面垂直线与一般位置与一般位置平面平面 求交点，利用交点的共有性和求交点，利用交点的共有性和 直直线的的积聚性，采取平面上取聚性，采取平面上取 点的方法求解点的方法求解。 一般位置直一般位置直线与特殊位置平面与特殊位置平面 求交点，利用
22、交点的共有性和求交点，利用交点的共有性和 平面的平面的积聚性，采用直聚性，采用直线上取上取 点的方法求解。点的方法求解。abcmnc n b a m m(n)bm n c b a ac四四、两平面的相、两平面的相对位置位置 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相交两相交 直直线分分别平行于另一平行于另一 平面上的平面上的两相交直两相交直线， 则这两平面相互平行两平面相互平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相相 互平行，互平行，则它它们具有具有 积聚性聚性的那的那组投影必投影必 相互平行。相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e 两平
23、面相交两平面相交 两特殊位置平面相交，分两特殊位置平面相交，分 析交线的空间位置，有时析交线的空间位置，有时 可找出两平面的一个共有可找出两平面的一个共有 点，根据交线的投影特性点，根据交线的投影特性 画出交线的投影。画出交线的投影。 一般位置平面与特殊位置一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交面的两个共有点，求出交 线。线。aabd(e)ebdh(f)cfchabcdefc f d b e a 3.3.一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 引入辅助平面引入辅助平面P过已知直线作投影面的垂直面，过已知直线作投影面的垂直面， 则转化为垂直面与一般位置平面相交问题。则转化为垂直面与一般位置平面相交问题。XOnmabcanmbc212kk343（4）（ ）513.3.一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交 两一般位置平面相交，可看作两次求一般位置直线两一般位置平面相交，可看作两次求一般位置直线与一般位置平面相交。找出两平面的两个共有点，与一般位置平面相交。找出两平面的两个共有点，求出交线。求出交线。XOadbefcdaefcb1212m3434mnn
